2017年高考天津卷理科第20题命题手法探究
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—
因 此 有 Ｉ ｔ － Ｘ ｏ Ｉ ≥ （ ＋ ） ｆ 一 Ｉ ｌ ， 令 一 手 可 得 孵） ， （ 詈 ）
≥
ｚ— 与上 述 问题 中 ， 当 ｚ∈ ［ １ ， ｚ 。 ）Ｕ （ ６ ５ 。 ， ２ ３时 ，
＞ ０ ； 当 ｚ＜ ｌ ｎ （ 一ｎ）时 ， 厂 （ ） ＜０ ． 故 ｆ（ ｘ） 的
故 存在 大 于 ０的 常数 Ａ—ｇ（ ２ ） ， 使得 对 于任
ｉ
图 ２
／
／ ｌ ｉ Ｐ ） ｏ
；
：
：
Ｉ
ｏ ） Ｏ ｍ ： （ Ⅱ ） 设 ∈ Ｉ － １ ， ｘ。 ）Ｕ （ ｚ 。 ， ２ ］ ， 函数 ｈ （ ｚ） 一 — ‰，
ｊ
图 ３
ｇ （ ｚ） （ 一ｚ ｏ ） 一ｆ （ ｍ） ， 求证 ： ｈ （ ｍ） ＾ （ ｚ ｏ ） ＜０ ； （ Ⅲ） 求证 ： 存在 大 于 ０的常 数 Ａ， 使 得 对 于
４ ＂ １
若 构 造 函 数 ｈ（ ）一 ｆ （ Ｌ ｚ ） （ ｍ — ｚ 。 ）一
ｆ（ ） ，即 可 得 ： ｈ（ ） （ ｚ 。 ） ＜ ０ ．
任 意 的正 整数 Ｐ、 ｑ， 且 ∈ ［ １ ， ｚ。 ）Ｕ （ ６。 ５ ， ２ ］ ，
ｑ
ｈ
－
１
由此 可得 问题 （ Ⅱ） ．
｛ ｔ —ｚ 。Ｉ ≥ｌ ｔ —ｚ ｓ １ ． １
由 于 Ｚ １ ： Ｙ —
／
， ０ Ｓ Ｏ Ｑ ｍ ｉ 图４
膏
ｆ （ ｔ ） （ ｚ— ｔ ） ＋ ｆ（ ｔ ），
令 —ｏ ， ￣５ ６ ｓ＝
＋ 。 一
设定 义在 区间 Ｄ 上 函数 厂 （ ｚ） 满足： ①单调 递增 ， ②下 凹 ， ③ 有 唯一零点 ｚ ．
２ ． １ 问题 （ Ⅱ） 的 命 题 思 路
如图 ４ ，Ｐ Ｑ 上 ５ ６ 轴于 Ｑ， ｚ 与 ｚ轴交 于 点 Ｓ（ ｚ ， ０ ），由 图 可
ｙ
； ／， ， ，
，
？ ｌ
／ 故ｆ ） ）
。
知： Ｊ Ｔ Ｑ Ｉ ≥Ｉ ｓ Ｑ Ｉ ， 即
３ ｐ 。 ｑ 。 一６ ｐ ｑ 。 ＋ａ ｑ ｌ 是 正 整数 ， 从而 １ ２ ＋
ｑ
３ ｐ 。 ｑ 一 ３ ｐ Ｚ ｑ Ｚ ＿６ ｐ ｑ ｓ ＋口 ｑ ｔ Ｉ ≥１ ， 所以 ｌ 鱼一 。 ｆ
、
１
’
求证 ： ｈ（ ） 九（ ｚ。 ） ＜０ ． 解析 ＿ （ Ｉ） ｆ （ ｚ）一ｅ ＋ａ ． （ ｉ ） 当 ａ≥ ｏ时 ， － 厂 （ ） ＞ｏ ， 故 ｆ（ ｘ ）的单 调 递 增 区间 为 Ｒ ； （ ｉ ｉ ） 当 ａ＜ ０时 ， 当 ｚ＞ ｌ ｎ （ 一ａ）时 ， 厂 （ ）
ｆ （ ｚ ）单调 递增 ， 因此有 ０＜ ｆ （ ６）≤ ｆ ５ （ ２ ） ，
ｆ（ ６） ５ 分别相交于 Ｍ 、 Ｎ 两点 ， 则 ｙ Ｍ— ｙ ＝
ｆ （ ￡ ）（ 一５ ６ 。 ） 一 厂（ ）．
下 面我们 来 研 究 当 Ｐ、 Ｎ 重合 或 Ｐ、 Ｔ 重 合 时 的两种极 限情况 ． 如图 ２ 、 图３ ， 由图可 知 ： 若 Ｐ、 Ｎ 重合， 则． ｙ Ｍ一 ＞ ０ ； 若 Ｐ、 Ｔ 重合 时 ， 则 Ｍ
２ ． ２ 问题 （ ｍ） 的命 题 思路
满足 ｌ 一 。ｌ ≥去 ．
ｑ Ａ ｑ
２ 命题 手法探 究 研究 完试 题 的解 题方 法 之后 ， 笔 者 思考 了更 深 层次 的问 题—— 试 题 的编 制 手 法． 命 题 者 是 如 何 编制 出试题 的呢 ？其命 题 手法 是 否 可 以模仿 、 借 鉴？通 过探 究 ， 笔者发现， 命 题 者 主 要 通 过研 究 函数 图象 与 其 切线 的关 系 ， 从 而得 到 不 等式 ， 并 提 出问题．
一
故 Ｐ Ｉ ≥
ｌ ２ ｐ ＋ ３ ｐ 。 ｑ一３ Ｐ ｑ 一 ６ ｐ ｑ 。 ＋ａ ｑ ｉ
２ ０ １ ７年 第 ６期
中学数 学教 学
５ ９
又 因为 Ｐ、 ｑ 、 口均为整 数 ， 所以 Ｉ ２ 户 ＋ ３ ｐ。 ｑ
一
， （ ｚ） （ — ｏ ）一 ｆ（ ）（ｍ ∈ Ｒ， ｍ ≠ｘ ｏ ） ，
５ ８
中学数 学教 学
２ ０ １ ７ 年 第 ６期
２ ０ １ ７年 高 考 天 津 卷 理 科 第 ２ ０题 命题 手 法探 究
福 建省泉 州 市泉 州第五 中学 杨 苍洲 （ 邮编 ： ３ ６ ２ ０ ０ ０ ）
摘 要 研 究 函数 图象与其切 、 割 线之 间的 关 系可 以得 到各 种 各样 的不 等 式． ２ ０ １ ７年 高考 天 津卷 理科 压轴 题就是 通过 观察 函数 图 象与 其切 线的 关 系， 从 而提 出问题 ， 命 制试题 的． 关键 词 高考 ； 压轴题 ； 命题 手 法
１ 试 题 展 示
一
Ｎ＜ ０ ．
题 （ ２ ０ １ ７年 高考数 学天津 卷） 设 。∈ Ｚ ， 已
知定 义在 Ｒ上 的函数 （ ｚ） ＝２ ｘ ＋３ ｘ。 一３ ｚ ｚ 一 ６ ． ｚ＋口在 区间 （ １ ， ２ ）内有一 个零 点 ｚ。 ， ｇ（ ｚ） 为 厂 （ ｚ）的导 函数 ． （ Ｉ） 求 ｇ（ ｚ）的单调 区 间 ；
如图 １ ， 曲 线 ｖ一 － 厂 （ ）在 点 Ｐ（ ， 厂 （ ） ） 的 切 线 为 Ｚ ， 过
ｆ 磅 ） ｏ ） Ｄ ｍ
图 １
Ｔ（ 。 ， ０ ）作 平 行 于 直 线 ｚ 的直 线 Ｚ ： Ｙ 一
厂 （ ￡ ） （ ６一 ５ ｏ ）， 直 线
因 此 有 Ｉ ｔ － Ｘ ｏ Ｉ ≥ （ ＋ ） ｆ 一 Ｉ ｌ ， 令 一 手 可 得 孵） ， （ 詈 ）
≥
ｚ— 与上 述 问题 中 ， 当 ｚ∈ ［ １ ， ｚ 。 ）Ｕ （ ６ ５ 。 ， ２ ３时 ，
＞ ０ ； 当 ｚ＜ ｌ ｎ （ 一ｎ）时 ， 厂 （ ） ＜０ ． 故 ｆ（ ｘ） 的
故 存在 大 于 ０的 常数 Ａ—ｇ（ ２ ） ， 使得 对 于任
ｉ
图 ２
／
／ ｌ ｉ Ｐ ） ｏ
；
：
：
Ｉ
ｏ ） Ｏ ｍ ： （ Ⅱ ） 设 ∈ Ｉ － １ ， ｘ。 ）Ｕ （ ｚ 。 ， ２ ］ ， 函数 ｈ （ ｚ） 一 — ‰，
ｊ
图 ３
ｇ （ ｚ） （ 一ｚ ｏ ） 一ｆ （ ｍ） ， 求证 ： ｈ （ ｍ） ＾ （ ｚ ｏ ） ＜０ ； （ Ⅲ） 求证 ： 存在 大 于 ０的常 数 Ａ， 使 得 对 于
４ ＂ １
若 构 造 函 数 ｈ（ ）一 ｆ （ Ｌ ｚ ） （ ｍ — ｚ 。 ）一
ｆ（ ） ，即 可 得 ： ｈ（ ） （ ｚ 。 ） ＜ ０ ．
任 意 的正 整数 Ｐ、 ｑ， 且 ∈ ［ １ ， ｚ。 ）Ｕ （ ６。 ５ ， ２ ］ ，
ｑ
ｈ
－
１
由此 可得 问题 （ Ⅱ） ．
｛ ｔ —ｚ 。Ｉ ≥ｌ ｔ —ｚ ｓ １ ． １
由 于 Ｚ １ ： Ｙ —
／
， ０ Ｓ Ｏ Ｑ ｍ ｉ 图４
膏
ｆ （ ｔ ） （ ｚ— ｔ ） ＋ ｆ（ ｔ ），
令 —ｏ ， ￣５ ６ ｓ＝
＋ 。 一
设定 义在 区间 Ｄ 上 函数 厂 （ ｚ） 满足： ①单调 递增 ， ②下 凹 ， ③ 有 唯一零点 ｚ ．
２ ． １ 问题 （ Ⅱ） 的 命 题 思 路
如图 ４ ，Ｐ Ｑ 上 ５ ６ 轴于 Ｑ， ｚ 与 ｚ轴交 于 点 Ｓ（ ｚ ， ０ ），由 图 可
ｙ
； ／， ， ，
，
？ ｌ
／ 故ｆ ） ）
。
知： Ｊ Ｔ Ｑ Ｉ ≥Ｉ ｓ Ｑ Ｉ ， 即
３ ｐ 。 ｑ 。 一６ ｐ ｑ 。 ＋ａ ｑ ｌ 是 正 整数 ， 从而 １ ２ ＋
ｑ
３ ｐ 。 ｑ 一 ３ ｐ Ｚ ｑ Ｚ ＿６ ｐ ｑ ｓ ＋口 ｑ ｔ Ｉ ≥１ ， 所以 ｌ 鱼一 。 ｆ
、
１
’
求证 ： ｈ（ ） 九（ ｚ。 ） ＜０ ． 解析 ＿ （ Ｉ） ｆ （ ｚ）一ｅ ＋ａ ． （ ｉ ） 当 ａ≥ ｏ时 ， － 厂 （ ） ＞ｏ ， 故 ｆ（ ｘ ）的单 调 递 增 区间 为 Ｒ ； （ ｉ ｉ ） 当 ａ＜ ０时 ， 当 ｚ＞ ｌ ｎ （ 一ａ）时 ， 厂 （ ）
ｆ （ ｚ ）单调 递增 ， 因此有 ０＜ ｆ （ ６）≤ ｆ ５ （ ２ ） ，
ｆ（ ６） ５ 分别相交于 Ｍ 、 Ｎ 两点 ， 则 ｙ Ｍ— ｙ ＝
ｆ （ ￡ ）（ 一５ ６ 。 ） 一 厂（ ）．
下 面我们 来 研 究 当 Ｐ、 Ｎ 重合 或 Ｐ、 Ｔ 重 合 时 的两种极 限情况 ． 如图 ２ 、 图３ ， 由图可 知 ： 若 Ｐ、 Ｎ 重合， 则． ｙ Ｍ一 ＞ ０ ； 若 Ｐ、 Ｔ 重合 时 ， 则 Ｍ
２ ． ２ 问题 （ ｍ） 的命 题 思路
满足 ｌ 一 。ｌ ≥去 ．
ｑ Ａ ｑ
２ 命题 手法探 究 研究 完试 题 的解 题方 法 之后 ， 笔 者 思考 了更 深 层次 的问 题—— 试 题 的编 制 手 法． 命 题 者 是 如 何 编制 出试题 的呢 ？其命 题 手法 是 否 可 以模仿 、 借 鉴？通 过探 究 ， 笔者发现， 命 题 者 主 要 通 过研 究 函数 图象 与 其 切线 的关 系 ， 从 而得 到 不 等式 ， 并 提 出问题．
一
故 Ｐ Ｉ ≥
ｌ ２ ｐ ＋ ３ ｐ 。 ｑ一３ Ｐ ｑ 一 ６ ｐ ｑ 。 ＋ａ ｑ ｉ
２ ０ １ ７年 第 ６期
中学数 学教 学
５ ９
又 因为 Ｐ、 ｑ 、 口均为整 数 ， 所以 Ｉ ２ 户 ＋ ３ ｐ。 ｑ
一
， （ ｚ） （ — ｏ ）一 ｆ（ ）（ｍ ∈ Ｒ， ｍ ≠ｘ ｏ ） ，
５ ８
中学数 学教 学
２ ０ １ ７ 年 第 ６期
２ ０ １ ７年 高 考 天 津 卷 理 科 第 ２ ０题 命题 手 法探 究
福 建省泉 州 市泉 州第五 中学 杨 苍洲 （ 邮编 ： ３ ６ ２ ０ ０ ０ ）
摘 要 研 究 函数 图象与其切 、 割 线之 间的 关 系可 以得 到各 种 各样 的不 等 式． ２ ０ １ ７年 高考 天 津卷 理科 压轴 题就是 通过 观察 函数 图 象与 其切 线的 关 系， 从 而提 出问题 ， 命 制试题 的． 关键 词 高考 ； 压轴题 ； 命题 手 法
１ 试 题 展 示
一
Ｎ＜ ０ ．
题 （ ２ ０ １ ７年 高考数 学天津 卷） 设 。∈ Ｚ ， 已
知定 义在 Ｒ上 的函数 （ ｚ） ＝２ ｘ ＋３ ｘ。 一３ ｚ ｚ 一 ６ ． ｚ＋口在 区间 （ １ ， ２ ）内有一 个零 点 ｚ。 ， ｇ（ ｚ） 为 厂 （ ｚ）的导 函数 ． （ Ｉ） 求 ｇ（ ｚ）的单调 区 间 ；
如图 １ ， 曲 线 ｖ一 － 厂 （ ）在 点 Ｐ（ ， 厂 （ ） ） 的 切 线 为 Ｚ ， 过
ｆ 磅 ） ｏ ） Ｄ ｍ
图 １
Ｔ（ 。 ， ０ ）作 平 行 于 直 线 ｚ 的直 线 Ｚ ： Ｙ 一
厂 （ ￡ ） （ ６一 ５ ｏ ）， 直 线