广东省广州市从化第二中学高三数学文月考试卷含解析

广东省广州市从化第二中学高三数学文月考试卷含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设集合A={x|x2－(a+3)x+3a=0},B={x|x2－5x+4=0},集合A∪B中所有元素之和为8,则实数a的取值集合为( )
A.{0}
B.{0,3}
C.{1,3,4}
D.{0,1,3,4}
参考答案：
D
2. 已知O是△ABC所在平面上一点，满足||2+||2=||2+||2，则点O( ) A．在与边AB垂直的直线上B．在∠A的平分线所在直线上
C．在边AB的中线所在直线上D．以上都不对
参考答案：
A
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据向量的减法分别设=，=，=，表示，利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出OC⊥AB．
【解答】解：设=，=，=，则=，．
由||2+||2=||2+||2，
∴||2+||2=||2+||2，化简可得，即（））?=0，
∴
∴AB⊥OC．
故选A．
【点评】本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．
3. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积
是
( )
A. B. C.
D.
参考答案：
D
4.
函数的大致图象是（）
A. B.
C. D
参考答案：
答案：C
5. F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
6. 某几何体的三视图如图所示（网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
参考答案：
A
【分析】根据几何体的三视图知该几何体是四棱锥，
结合图中数据求出该几何体的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥，
则该几何体的体积为
V四棱锥P﹣ABCD=××（1+2）×2×2=2．
故选：A．
7. 如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为（m，n），则m=（）
A．2 B．3 C．D．
参考答案：
D
【考点】4N：对数函数的图象与性质．
【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出m、n的值，计算出结果．
【解答】解：根据题意，设B（x0，2+log2x0），A（m，n），C（x0，log2x0），
∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，
∴BC=2，2+log2m=n，
∴m=2n﹣2，∴4m=2n；
又x0﹣m=，
∴m=x0﹣，
∴x0=m+；
又2+log2x0﹣n=1，
∴log2x0=n﹣1，x0=2n﹣1；
∴m+=2n﹣1；2m+2=2n=4m，
∴m=，
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．
8. 设a=sin46°，b=cos46°，c=tan46°．则（）
A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a
参考答案：
A
【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数线．
【专题】转化思想；数形结合法；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用诱导公式、正弦函数的单调性和值域，得出结论．
【解答】解：由a=sin46°，b=cos46°=sin44°，c=tan46°＞tan45°=1，
而y=sinx在（0，）上是增函数且函数值小于1，
可得 c＞a＞b，
故选：A．
【点评】本题主要考查诱导公式、正弦函数的单调性和值域，属于基础题．
9. （5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）
A． 72 B． 120 C． 144 D． 168
参考答案：
B
【考点】：计数原理的应用．
【专题】：计算题．
【分析】：根据题意，分2步进行【分析】：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因
为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．
解：分2步进行【分析】：
1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，
2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，
分2种情况讨论：
①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，
排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；
②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，
排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；
则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，
故选：B．
【点评】：本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还
要计算或分类简便．
10. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 0C”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
① 甲地：5个数据的中位数为，众数为；
② 乙地：5个数据的中位数为，总体均值为；
③ 丙地：5个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．
则肯定进入夏季的地区有 ( )
A． 0个B． 1个C． 2个
D． 3个
参考答案：
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数对于总有≥0 成立，则的取值集合为．
参考答案：
略
12. 若复数z满足（i为虚数单位），则|z|= ．
参考答案：
【考点】复数求模．
【专题】方程思想；数系的扩充和复数．
【分析】利用行列式的性质可得z﹣i（1﹣2i）=0，再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵复数z满足（i为虚数单位），
∴z﹣i（1﹣2i）=0，
化为z=i+2．
则|z|==．
故答案为：．
【点评】本题考查了行列式的性质、复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13. （不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为．
参考答案：
略
14. 设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率
参考答案：
由得，又垂直于轴，所以，即离心率为。

15. 已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2= ，
S n= ．
参考答案：
1，
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】根据等差数列的性质可求出公差，从而可求出第二项，以及等差数列的前n项和．
【解答】解：根据{a n}为等差数列，S2=a1+a2=a3=+a2；
∴d=a3﹣a2=
∴a2=+=1
S n==
故答案为：1，
【点评】本题主要考查了等差数列的前n项和，以及等差数列的通项公式，属于容易题．16. 命题“?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是．
参考答案：
x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0
考点：命题的否定．
专题：简易逻辑．
分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是：?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．
故答案为：?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．
点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．
17. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为_______.
参考答案：
4
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数。

（为常数，）
（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）求证：当时，在上是增函数；
（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围。

参考答案：
解：
（1）由已知，得且，
（2）当时，
当时，又
故在上是增函数
（3）时，由（2）知，在上的最大值为
于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立。

记
则
当时，在区间上递减，此时
由于，时不可能使恒成立，故必有
若，可知在区间上递减，在此区间上，有
，与恒成立相矛盾，故，这时，在上递增，恒有，满足题设要求，
即
实数的取值范围为
略
19. (本小题14分)已知向量a＝(，)，b＝(2，cos2x)．
(1)若x∈(0，]，试判断a与b能否平行？
(2)若x∈(0，]，求函数f(x)＝a·b的最小值．
参考答案：
20. 设集合，.
（1）当时，求A的非空真子集的个数；
（2）若，求实数m的取值范围.
参考答案：
略
21. （本小题满分12分）如图，某小区有一边长为（单位：百米）的正方形地块
，其中是一个游泳池，计划在地块内修一条与池边相切的直路（宽度不计），切点为，并把该地块分为两部分．现以点为坐标原点，以线段
所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若池边满足函数的图象，且点到边距离为．
（Ⅰ）当时，求直路所在的直线方程；
（Ⅱ）当为何值时，地块在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
参考答案：
（１）∵，∴，
过点，的切线的斜率为，所以过点的切线方程为
，即当时，则点，，
所以过点的切线的方程为：
．..….4分
（２）由（１）切线方程为．令，得，故切线
与线段的交点为，；又令，得，
所以当时，，
所以函数在区间，上单调递减；
所以，∴切线与线段交点为，
则地块在切线的右上部分的区域为一直角梯形，设其面积为，
∵，当且仅当时取等号
∴当时，的最大值为．则当点到边距离为时，
地块在直路不含游泳池那侧的面积取到最大，最大值为
．..….14分
22. 在如图所示的五面体中，，，
，四边形是正方形，二面角的大小为.
（1）在线段上找出一点，使得平面，并说明理由.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案：
（1）当点G为线段AB的中点时，EG //平面BDF；
取AB的中点G，连接EG；因为，，
，所以，又四边形是正方形，所以,, 故四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，故//平面
（2）因为四边形是正方形，二面角的大小为90°，
所以平面.
在△中，由余弦定理得，所以．
如图，以为原点，以所在直线分别为轴建立空间坐标系，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，由
所以，取，则，得，（10分）
故所求正弦值为.。