高三数学上学期第二次质检试题 理-人教版高三全册数学试题

2017届蕉岭中学高三第二次质检
理科数学
第I 卷 （选择题，60分）
一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分)
1. 已知集合{1,0,1,2}M =-，{|21,}N y y x x M ==+∈，则M
N = ( )
A. {1,1}-
B. }2,1{
C. {1,1,3,5}-
D. {1,0,1,2}-
2. 复数z 满足（1-i ）z=m+i （m ∈R, i 为虚数单位），在复平面上z 对应的点不可能．．．在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知命题p ：0x ，总有11x
x e ，则p 为( )
A. 00x ，使得0
11x x e B. 00x ，使得0
11x x e
C. 0x
，总有11x x e D. 0x
，总有11x
x e
4．函数的图象是( )
A. B. C. D.
5．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是（ ） A ．-1B ．
2
1
C ．1
D ．2 6．若6
0(5),0()2cos3,0x f x x f x tdt x π->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩
⎰，则(2017)f =( ) A.
124 B. 1124
C.56
D.12
7. 已知P 为抛物线x y 42
=上一个动点，Q 为圆
1)4(22=-+y x 上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和最小值是
( )
A ．5
B ．8
C ．25+
D ．117-
8．设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥12
340
y x x y x ，则132+++x y x 的取值X 围是( )
A ．[1，5]
B ．[2，6]
C ．[2，10]
D ．[3，11] 9．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，則()17012
f f π⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值为（ ）
A ．23-
B ．23+
C ．312-
D ．312
+ 10．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ） A ．12日 B ．16日 C ．8日 D ．9日
11．Q P ,为三角形ABC 中不同的两点，若023=++PC PB PA ，0543=++QC QB QA ，则
QAB PAB S S ∆∆:为()
A ．1：2
B ．2：5
C ．5：2
D ．2：1
12. 已知偶函数)(x f y =对于任意的)2
,
0[π
∈x 满足0sin )(cos )(>+'x x f x x f （其中
)(x f '是函数)(x f 的导函数），则下列不等式中成立的是( ) A ．)4()3(2ππ
f f <-B ．)4()3(2π
π-<-f f
C ．)4(2)0(π->
f f D ．)3
(3)6(π
πf f <
第II 卷（填空题，解答题，90分）
二、填空题（共4题,每题5分）
13．3
()8f x x x =+-在（1，6-）处的切线方程为 14.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
15．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为．
16. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且bc a c b =-+2
22，0>⋅BC AB ，
2
3
=
a ，则c
b +的取值X 围是．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.
18．（本小题满分12分）
雾霾影响人们的身体健康，越来越多的人开始关心如何少产生雾霾，春节前夕，某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度，随机采访了50人，将凋查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数
4
6
12
7
3
3
（1）以赞同人数的频率为概率，若再随机采访3人，求至少有1人持赞同态度的概率； （2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞同．．．“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
19.（本小题满分12分） 正方形
ADEF 与梯形
ABCD 所在平面互相垂直，
1
,,2,2
AD CD AB CD AB AD CD ⊥===点M 在线段EC 上且不
与E,C 重合。

（Ⅰ）当点M 是EC 中点时，求证：BM//平面ADEF ；
（Ⅱ）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为6
M -BDE 的体积.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆1:22
22=+b
y a x C )0(>>b a 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线
01=++y x 与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设P 为椭圆C 上一点，若过点)0,2(M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ， 满足OP t OT OS =+（O 为坐标原点），某某数t 的取值X 围． 21.（本小题满分12分）
已知函数x
e x
f =)(，),(,)(R b a b ax x
g ∈+= (1) 讨论函数)()(x g x f y +=的单调区间；
(2) 如果1,2
10=≤
≤b a ，求证：当0≥x 时，1)()(1≥+x g x
x f . 请考生在第22、23题中任选一题做答，在答题卡对应的题号后的小圆圈内涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，
过点()2,4P --的直线l 的参数方程为2
22242
x t
y t ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩
（t
为参数）
，l 与C 分别交于,M N ．
（Ⅰ）写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； （Ⅱ）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()4
0f x x x m m m
=-
++>． （Ⅰ）证明：()4f x ≥；
（Ⅱ）若()25f >，求m 的取值X 围．
2017届蕉岭中学高三第一次质检理科数学答案
一、选择题： ADBAB BDDAD BD
二、填空题（共4题，每题5分，20分） 13．4100x y --=14.83
π-15．3616．)23
,23(
三.解答题(
17．（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得
d===3．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3n ………3分
设等比数列{b n ﹣a n }的公比为q ，则 q 3
=
==8，∴q=2，
∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1
=2n ﹣1
， ∴b n =3n+2n ﹣1
………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =3n+2
n ﹣1
， ∵数列{3n}的前n 项和为n （n+1），
数列{2
n ﹣1
}的前n 项和为1×=2n
﹣1，
∴数列{bn}的前n 项和为；…………12分
18、解：（1）随机采访的50人中，赞成人数有：4+6+12+7+3+3=35人， ∵以赞同人数的频率为概率，∴赞同人数的概率p 1==，
∴至少有1人持赞同态度的概率p=1﹣（1﹣
）3
=0.973．………6分
（2）从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查， 记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X ， 依题意得X=0，1，2，3， P （X=0）=
=
，P （X=1）=
+
=
，
P （X=2）=2
10
252
4
24141614C C C C C C C +=，P （X=3）=•=，
∴X 的分布列是： X 0 1 2 3 P
∴X 的数学期望EX=+3×
=．………12分
19.（本小题满分12分）
解：试题解析：（Ⅰ）⊥⊥由正方形ADEF 得AD DE ，又面ADEF 面ABCD,且面ADEF
面ABCD=AD
ED ∴⊥面ABCD 以DA,DC,DE 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),M(0,2,1)
()2,0,1BM ∴=-,面ADEF 的一个法向量()0,4,0DC =
0,..BM DC BM DC BM ADEF =∴⊥∴面-------------------5分
（Ⅱ）依题意设M （0，t ，2－
2
t
），设面BDM 的法向量(,,)n x y z = 220,(2)02
t
DB n x y DM n ty z =+==+-=则
令y=-1，则12(1,1,
),
4t
n t
=--，面ABF 的法向量2(1,0,0),n = 121212
cos ,2n n n n n n <>=
=
=⋅，解得t=2-------------------10分 ∴M(0，2，1)为EC 的中点，1
22
DEM CDE S S ∆∆=
=，B 到面DEM 的距离h=2 14
33
M BDE DEM V S h -∆=⋅= ------------------------------------------12分
20. 解：(1)由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为
222)(a y c x =+-，∴圆心到直线01=++y x 的距离a c d =+=
2
|
1|（*）………1分 ∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
c b =∴，c b a 22==，代入（*）式得1==c b ，22==∴b a ．………3分 故所求椭圆方程为12
22
=+y x ……………4分
(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为)2(-=x k y ，
设)(00y x P ⋅，将直线方程代入椭圆方程得：0288)21(2
2
2
2
=-+-+k x k x k ，……5分
0816)28)(21(4642224>+-=-+-=∆∴k k k k ，2
1
2<
∴k . ………6分 设),(),,(2211y x T y x S ，则22
21218k k x x +=+，2
2212128k k x x +-=， ………7分
由OP t OT OS =+，
当0=t ，直线l 为x 轴，P 点在椭圆上适合题意；………8分
当0
=/t ，得⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧
+-=
-+=+=+=
+=2
212102
2210214)4(218k k
x x k y y ty k k x x tx
2202181k k t x +⋅=∴，20
2141k k t y +-⋅= ………10分 将上式代入椭圆方程得：1)21(16)21(322
222
222
4=+++k t k k t k .
整理得：222
2116k k t +=，………11分 由2
12
<k 知，,402<<t 所以)2,0()0,2( -∈t ，综上可得)2,2(-∈t . ……………12分
21．解：(l)b ax e x g x f y x
++=+=)()(,R x ∈,a e y x
+=' ………1分 若0≥a ，则0>'y 所以函数)()(x g x f y +=的单调增区间为),(+∞-∞ ………2分 若0<a ，令0>'y ，得)ln(a x ->，令0<'y ，得)ln(a x -<，
所以函数)()(x g x f y +=的单调增区间为)),(ln(∞+-a ，单调减区间为))ln(,(a --∞
……………4分
(2)当1,2
10=≤
≤b a ，0≥x 时，要证1)()(1≥+x g x x f ，即证11≥++-ax x
e x ，即证 1)1(+≥++-ax x ax e x ，即证,0)1)(1(≥++--x x e x α ……………5分
设x ax e
x h x
++-=-)1)(1()(，则0)0(=h ，a ax a e x h x -+--='-1)1()(， ………6分
下证1+≥x e x
，令1)(--=x e x x
ϕ，则1)(-='x
e x ϕ，
当)0,(-∞∈x 时，0)(<'x ϕ；当),0(+∞∈x 时，0)(>'x ϕ，所以0)0()]([min ==ϕϕx ， 所以1.+≥x e x ，即x
e x -≥-1， ……………8分
所以a e a a e a ax a e x h x
x
x
-+-+-≥-+--='--1)]1(1[1)1()(
0)12)(1(21)12(≥--=-+-=--a e a a e x x ……………11分
所以)(x h 在)0[∞+上单调递增，所以0)0()(=≥h x h ，
所以当0≥x 时，
1)
()(1≥+x g x x f . ……………12分。