2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1课件：2.2.1 双曲线及其标准方程

第二页，编辑于星期日：点 十五分。
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2.2.1
1
双曲线及其标准方程
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HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2
1.双曲线的概念
(1)双曲线的定义.
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于
解析:当3<m<5时,m-5<0,m2-m-6=(m-3)·(m+2)>0,所以该方程表示
双曲线.但当m=-3时,m-5<0,m2-m-6>0,方程也表示双曲线.
2
2
所以“3<m<5”是“方程
+
-5 2 --6
=1
表示双曲线”的充分不必要条件.
答案:A
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2
【做一做
2
2-1】 双曲线
3
A.(± 5, 0)
C.(±1,0)
2
−
2
= 1 的焦点坐标是(
)
B. (0, ± 5)
D.(0,±1)
答案:A
第八页，编辑于星期日：点 十五分。
+ 2=1
2
a
b 2
标准方程
2
y
x
或 a 2 + b 2 = 1(a>b>0)
方程的一
般形式
双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
2a<|F1F2|
c2=a2+b2,a>0,b>0,c>0
x2 y2
−
=1
a2 2 b 2 2
y
x
或 a 2 − b 2 = 1(a>0,b>0)
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n) mx2+ny2=1(mn<0)
a,b,c等数值的确定.解题步骤为:首先判断焦点的位置,其次求出关键数
据,最后写出双曲线方程.
因此,确定一个双曲线的标准方程需要三个条件——两个定形条件
a,b,一个定位条件——焦点坐标.
求双曲线的标准方程的方法还有轨迹方程法.
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2.2.1
双曲线及其标准方程
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第十一页，编辑于星期日：点 十五分。
2.2.1
椭
图
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双曲线及其标准方程
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圆
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双曲线
焦点在 x 轴上
焦点在 x 轴上
封闭型
开放型
象
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1
双曲线及其标准方程
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2
【做一做1】 若动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点
P的轨迹是(
)
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线 D.一条射线
焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n>0时,方程表示焦点在y轴上的双曲线.
知道双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,但不知道焦点在哪
2
一条坐标轴上,这时双曲线的方程可设为

2
+

= 1( < 0)(
或mx2+ny2=1,mn<0).
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2.2.1
题型一
双曲线及其标准方程
2.2.1
双曲线及其标准方程
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2.2.1
双曲线及其标准方程
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1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2.会利用双曲线定义和标准方程解决简单的应用问题.
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题型四
= 1 的焦点为(2 5, 0), (−2 5, 0),
2
2
设双曲线的方程为 2 − 2


又双曲线过点(3 2, 2), ∴
= 1( > 0, > 0), 则a2+b2=20.①
18
2
− 2
2

= 1. ②
联立①②,解得 a2=20-2 10, 2 = 2 10,
的双曲线的标准方程;
(2)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上两点 P1,P2 的坐标
9
分别为(3,-4 2), 4 ,5 , 求双曲线的标准方程.
分析:第(1)题由椭圆的方程确定焦点坐标,可求得 c 值,设双曲
2
2
线方程为 2 − 2

= 1( > 0, > 0), 用待定系数法求得a,b;第(2)题
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2.2.1
1
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2
【做一做 2-2】 以 F1(-4,0),F2(4,0)为焦点,且经过点 M(3, 15)
的双曲线的标准方程为 .
解析:可知焦点在 x 轴上,
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2.椭圆和双曲线的比较
剖析
椭
圆
|MF1|+|MF2|=2a
定义
2a 与|F1F2|
2a>|F1F2|
的关系
a,b,c 的关系 a2=b2+c2,a>b>0,c>0
x 2 y2
2
− 12
= 1.
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2.2.1
双曲线及其标准方程
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1.求双曲线的标准方程的方法
剖析求双曲线方程一般采用待定系数法,其解题方法是先定位,再定
故实数 m 的取值范围为(-3,2)∪(3,+∞).
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第十四页，编辑于星期日：点 十五分。
2.2.1
题型一
双曲线及其标准方程
题型二
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题型三
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若
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题型四
2
反思将方程化为标准方程的形式,若方程为
+
2- ||-3
= 1 表示
双曲线,则(2-m)(|m|-3)<0,解不等式即可得 m 的取值范围.
2
2
解:若方程
+
2- ||-3
= 1 表示双曲线,则(2-m)·(|m|-3)<0.
2- > 0,
于是
①
||-3 < 0
2- < 0,
或
②
||-3 > 0,
由①,解得-3<m<2;由②,解得 m>3.
2
2
∴所求双曲线的标准方程为
−
20-2 10 2 10
= 1.
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第十八页，编辑于星期日：点 十五分。
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2
归纳总结1.求双曲线的标准方程常用待定系数法,一般是先确定焦点所在
的坐标轴,再求a2,b2的值.
2.若双曲线的焦点不确定在x轴还是在y轴上,可设标准方程为
mx2+ny2=1(mn<0).
可先设出标准方程,然后把点 P1,P2 的坐标代入方程,联立方程组,求
出 a2,b2 的值.
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第十七页，编辑于星期日：点 十五分。
2.2.1
题型一
双曲线及其标准方程
题型二Leabharlann M 目标导航题型三
2
2
解:(1)椭圆 +
25
5
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2
2
设标准方程为 2 − 2

= 1( > 0, > 0).
由双曲线的定义,得||MF1|-|MF2||
=| 72 + ( 15)2 − (-1)2 + ( 15)2 |=|8-4|=4=2a,
则 a=2.
又 c=4,则 b2=c2-a2=12.
2
故双曲线的标准方程为 4
2
2
答案: 4 − 12 = 1
D典例透析
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2
归纳总结 1.在双曲线的定义中,在0<2a<|F1F2|的条件下,当|PF1||PF2|=2a时为双曲线的一支(靠近点F2的一支);当|PF2|-|PF1|= 2a时为双曲
线的另一支(靠近点F1的一支).当2a=|F1F2|时,||PF1|-|PF2||=2a表示两条
题型二
题型三
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题型四
题型一
【例 1】
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双曲线的定义
2
2
若方程
+
2- ||-3
= 1 表示双曲线, 求的取值范围.
2
2
分析:由双曲线的标准方程可知,方程
3.在双曲线的标准方程中,都有c>a>0,c>b>0.
4.判断双曲线的焦点的位置可根据标准方程中x2,y2项的系数的正负来判
定,即若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y
轴上.可以简单地记为“焦点看正负”.
第七页，编辑于星期日：点 十五分。
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2.2.1
1
双曲线及其标准方程
时,方程表示双曲线.若
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2
+
= 1, 则当mn<0
> 0,
则方程表示焦点在x 轴上的双曲线;
< 0,
< 0,
则方程表示焦点在y 轴上的双曲线.
> 0,
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第十五页，编辑于星期日：点 十五分。
2.2.1
题型一
双曲线及其标准方程
题型二
题型三
【变式训练 1】
量.“定位”是指除了中心在原点之外,还要判断焦点在哪条坐标轴上,以便
使方程的右边为1时,确定方程的左边哪一项为正,哪一项为负,同时也
就确定了焦点的位置.要求双曲线的标准方程,就要求出a2和b2这两个“待定
系数”,于是需要两个独立的条件,按条件列出关于a2和b2的方程组,解得
a2和b2的具体数值后,再按位置特征写出标准方程,因此“定量”是指
2.2.1
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双曲线及其标准方程
2
知识拓展方程

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2
+

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= 1 既可以表示椭圆又可以表示双曲线.
当方程表示椭圆时,m,n应满足m>n>0或n>m>0.
当方程表示双曲线时,m,n应满足mn<0,且当m>0,n<0时,方程表示
2.2.1
题型一
双曲线及其标准方程
题型二
题型三
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题型四
题型二
【例
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求双曲线的标准方程
2
2
2】 (1)求与椭圆 +
25
5
= 1 有共同焦点, 且过点(3 2, 2)
射线;当2a>|F1F2|时,||PF1|-|PF2||=2a不表示任何图形.
2.双曲线定义的双向运用:
(1)若||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|),则动点M的轨迹为双曲线;
(2)若动点M在双曲线上,则||MF1|-|MF2||=2a.
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2.2.1
1 表示双曲线”的(
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IANLI TOUXI
题型四
2
2
“3<m<5”是“方程
+ 2
-5 --6
=
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:C
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2.2.1
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双曲线及其标准方程
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2
2.双曲线的标准方程
(1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是
2 2
− 2 = 1( > 0, > 0), 焦点1 (−, 0), 2 (, 0).
|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
(2)双曲线的焦点与焦距.
双曲线定义中的两个定点F1,F2叫做焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
第三页，编辑于星期日：点 十五分。
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2.2.1
1
双曲线及其标准方程
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