初中数学教学论文：由一道题演变的一类题

由一道题演变的一类题
我们在解数学题时，应引导学生观察，联想，猜测，判断．由一题而涉及一批题，既解了一批习题，更重要的又掌握了解同类问题的规律，能收到由例及类，触类旁通的效果，而且有利于发展学生思维的灵活性，创造性，培养学生通过独立探索，解决问题的能力．
下面举一例：（以第１题为原题）
１．如图，已知ＡＣ⊥ＡＢ，ＢＤ⊥ＡＢ垂足为Ａ．Ｂ，ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｅ，ＥＦ⊥ＡＢ于Ｆ，又ＡＣ＝p,ＢＤ＝q,ＥＦ＝r,ＡＦ＝m,ＢＦ＝n.
（１）用m,n表示r∕p
（２）用m,n表示r/q
(3)证明1/p+1/q=1/r
此题中题设＂ＡＣ⊥ＡＢ，ＢＤ⊥ＡＢ，ＥＦ⊥ＡＢ＂的作用仅在于推出＂ＡＣ∥ＥＦ∥ＢＤ＂．因此由特殊到一般，本题可演变为：
２．如图，已知：ＡＤ∥ＢＣ，ＡＣ与ＢＤ相交于Ｅ，ＭＥ∥ＡＤ交ＡＢ于Ｍ，求证：1/AD+1/BC=1/ME
此题中从对称去考虑，若延长ＭＥ交ＣＤ于Ｎ，同理可得1/AD+1/BC=1/NE，从而有ME=NE. ３．已知：梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，对角线ＡＣ与ＢＤ交于点Ｅ，过Ｅ作平行于底的直线交ＡＢ与点Ｍ，交ＣＤ与点Ｎ，求证ＥＭ＝ＥＮ，从而有ＭＥ＝MN/2,得
1/ME=2/MN.故第２题又可演变为：
４．已知：梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，对角线ＡＣ与ＢＤ交于点Ｅ，过Ｅ作平行于底的直线交ＡＢ与点Ｍ，交ＣＤ与点Ｎ，求证：1/AD+1/BC=2/MN.
从此题的结论来看，如果已知ＡＤ．ＢＣ的长度，就可以求出ＭＮ的长度，故又可演变为：５．过底边为a.b的梯形的对角线的交点引平行于底的直线，求此直线被两腰所截得的线段的长，
从此题的计算可知：ＭＥ（ＭＮ）的长只与a,b有关，故又可演变为：
６．已知直线l1∥l2∥l3，点A.B在l1上，点C.D在l3上，AC.BD与l2分别相交于E.F，AD.BC与l2分别相交于G.H，求证ＥＨ＝ＧＦ．
在第３题中，若延长梯形的两腰相交于点Ｐ，连结ＰＥ交ＡＤ于Ｆ，则有ＡＦ＝FＤ．同理，若延长ＰＥ，则必经过ＢＣ的中点Ｇ．还可得，PF/PG=AF/BG=DF/CG=EF/EG.
７．如图△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，ＢＥ与ＣＤ相交于点Ｏ，ＡＯ与ＤＥ，ＢＣ分别相交于点Ｎ，Ｍ，求证（１）Ｍ，Ｎ分别是ＢＣ，ＤＥ的中点．
（２）AN/AM=ON/OM.
从面积角度考虑此题（或第３题）的结论，由ＤＮ＝ＮＥ，得，S△ADN=S△AEN,S△ODN=S△OEN
两式相加，得：S△ADO=S△AEO同理有S△ABO=S△ACO，故上题可演变为：
８．如图，△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，ＢＥ与ＣＤ相交于点Ｏ，求证：S△ADO=S△AEO,S△=S△ACO.
ABO
如果对第２题加强题设，使∠ABD=∠CBD，则有ＡＤ＝ＡＢ，ＭＥ＝ＭＢ．结论可演变为1/BC+1/BA=1/BM.
９．经过∠XOY的平分线上的一点Ａ，任作一直线与OX及OY分别相交于点Ｐ，Ｑ．求证1/OP+1/OQ等于定值，就是上题的演变结果．
从第９题的结论看，若已知ＯＰ，ＯＱ的长度，就可求出ＯＣ的长度．
１０．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ的平分线交ＡＢ与Ｄ，过Ｄ作ＢＣ的平行线交ＡＣ于Ｅ，已知BC＝a，ＡＣ＝b．求ＤＥ的长，就是上题的演变结果．
若对第９题加强题设，使∠XOY=120。

，则结论为1/OP+1/OQ=1/OA,故又可演变为：
１１．如图，∠XOY=120,OZ是∠XOY的平分线，直线ＰＲＱ分别交OX,OZ,OY于点Ｐ，Ｒ，Ｑ．求证：1/OP+1/OQ=1/OR.
如果学过圆的知识，则有∠XOZ＝∠YOZ=60°，联想到△ＯＰＱ的外接圆，故上题又可演变为：
１２．Ｐ为正三角形ＡＢＣ外接圆BC上任一点，ＰＡ交ＢＣ于Ｄ，求证：1/PB+1/PC=1/PD.再从面积角度考虑第１题结论，又可演变为：
１３．如图，已知：ＡＣ⊥ＢＤ，ＢＤ⊥ＡＢ，垂足分别为Ａ，Ｂ，ＡＤ与ＢＣ相交于Ｅ，求证：1/S△ABC+1/S△ABD=1/S△ABE.
类似地，第２题也可演变为：
１４．如图，已知，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｅ，求证1/S△ABC+1/S△ABD=1/S△ABE. 在此题中若把△ＡＢＰ绕ＡＢ中点旋转180，落到△ＢＡＰ的位置，上题又可演变为：
１５．在△ＡＰＣ中，点Ｂ，Ｅ分别在边ＣＰ，ＣＡ上，ＢＥ∥ＰＡ．求证：1/S△ABC+1/S
=1/S△ABE.
△ABP
１６．如图，竖直于地面的两根电线杆ＡＢ，ＣＤ，拉线ＡＤ，ＢＣ的交点为Ｏ，今发现交点Ｏ离地面太低，行人存在安全隐患，有关部门在保持电线杆ＡＢ，ＣＤ的高度不变的情况下，把两电线杆同时向两外侧移动了一段距离．这时，问拉线ＡＤ，ＢＣ的交点Ｏ是否离地面高了，（向内侧移动怎样？），这题也是由上面演变而来的．
容易得出，以上一批题皆可由第１题演变得到．因此对于这道题，应不满足于学生能顺利的解答，而是要进一步去引导学生观察，思考，分析，归纳出一批题（一类题）的解题规律，掌握了规律，问题就不难解决了．。