三角形解答题达标检测(Word版 含解析)

三角形解答题达标检测（Word 版 含解析）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；
（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．
【答案】（1）15°；（2）DCE 2
αβ
-∠=；（3）75°．
【解析】 【分析】
（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数； （2）∠DCE ＝
2
αβ
- ．
（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+1
2
∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】
解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°， 又因为CE 是∠ACB 的平分线， 所以1
352
ACE ACB ∠=
∠=︒． 因为CD 是高线， 所以∠ADC ＝90°，
所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，
所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°． （2）DCE 2
αβ
-∠=
．
（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′， 则152
DCE αβ
-'=
=︒∠．
因为CE是∠ACB的外角平分线，
所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11
+
22
ACB ACF
∠∠＝
1
(+)
2
ACB ACF
∠∠＝90°，
所以∠DCE＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°．
即∠DCE的度数为75°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．
2．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．
（1）求证：∠BAG=∠BGA；
（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B=50°．
①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；
②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；
（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出∠ABM：∠PBM的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①20°；②160°；（3）1
3
或
7
3
【解析】
【分析】
（1）根据AD//BC可知∠GAD=∠BGA，由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD，即可得答案.（2）①根据CF平分∠BCD，∠BCD=90°，可求出∠GCF的度数，由AD//BC可求出∠AEF 和∠DAB的度数，根据三角形外角的性质求出∠AFC的度数即可；②根据三角形外角性质求出即可；（3）根据M点在BP的上面和下面两种情况讨论，分别求出∠PBM和∠ABM 的值即可.
【详解】
（1）∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD，
∴∠BAG=∠BGA；
（2）①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠GCF=45°，
∵AD∥BC，∠ABC=50°，
∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD=65°，
∴∠AFC=65°﹣45°=20°；
②如图：
∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，
∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；
（3）有两种情况：
①当M在BC的下方时，如图：∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，
∴∠ABP=（100
3
）°，∠PBG=（50
3
）°，
∵AG∥CH，
∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，
∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（100
3
+25）°=（
175
3
）°，
∴∠ABM：∠PBM=（175
3
）°：25°=7
3
；
②当M在BC的上方时，如图：
同理得：∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=（100
3
﹣25）°=（25
3
）°，
∴∠ABM：∠PBM=（25
3
）°：25°=1
3
；
综上，∠ABM：∠PBM的值是1
3
或
7
3
．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角性质，熟练掌握平行线性质是解题关键.
3．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
（1）∠E= °；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．
①依题意在图1中补全图形；
②求∠AFC的度数；
（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若
∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．
【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=1
2
∠DAC，∠ACE=
1
2
∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，
根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案；（2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；
②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=1
2
y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及
∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+45
2
y
+
=∠F+
1
2
y，由此即可求得答案；
（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出
∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+2
3
∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=
22.5
3
α+
，再根据
∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.【详解】
（1）如图1，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠CAF=1
2
∠DAC，∠ACE=
1
2
∠ACB，
设∠CAF=x，∠ACE=y，
∵∠B=90°，
∴∠ACB+∠BAC=90°，
∴2y+180﹣2x=90，
x﹣y=45，
∵∠CAF=∠E+∠ACE，
∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；
（2）①如图2所示，
②如图2，∵CF平分∠ECB，
∴∠ECF=1
2 y，
∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，
∴45°+∠EAF=∠F+1
2
y ①，
同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，
∴∠EAF=45
2
y
+
②，
把②代入①得：45°+45
2
y
+
=∠F+
1
2
y，
∴∠F=67.5°，
即∠AFC=67.5°；
（3）如图3，设∠FAH=α，
∵AF平分∠EAB，
∴∠FAH=∠EAF=α，
∵∠AFM=1
3
∠AFC=
1
3
×67.5°=22.5°，
∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，∴45+α=67.5+∠FCH，
∴∠FCH=α﹣22.5①，
∵∠AHN=1
3
∠AHC=
1
3
（∠B+∠BCH）=1
3
（90+2∠FCH）=30+2
3
∠FCH，
∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，
∴α+22.5=30+2
3
∠FCH+∠FPH，②
把①代入②得：∠FPH=
22.5
3
α+
，
∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，
α﹣22.5=mα+n
22.5·
3
α+
，
解得：m=2，n=﹣3．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.
4．如图，已知，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E的线段AD(除去端点A、D)上一动点，EF⊥BC于点F.
(1)若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C的度数．
(2)当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠C＝60°.
(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由见解析
【解析】
试题分析：（1）已知：EF⊥BC，∠DEF＝10°可以求得∠EDF的度数，∠EDF又是∆ABD的外角，已知∠B的度数，可求得∠BAD的值，AD平分∠BAC，所以∠BAC的值也可求出，从而求出∠C。

（2）EF⊥BC，可得到∠EDF＝90°－∠DEF，∠EDF又是∆ABD的外角，可得到∠BAD＝∠EDF－∠B=90°－∠DEF－∠B，然后可将∠ BAC用含∠DEF、∠B的角来表示，即∠BAC =2(90°－∠DEF－∠B),最后利用∠B、∠ BAC、∠C的和为180°求得三角之间的等量关系。

试题解析：(1)∵EF⊥BC，∠DEF＝10°，
∴∠EDF＝80°.
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝∠EDF－∠B＝80°－40°＝40°.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝80°.
∴∠C＝180°－40°－80°＝60°.
(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由如下：
∵EF⊥BC，∴∠EDF＝90°－∠DEF.
∵∠EDF＝∠B＋∠BAD，
∴∠BAD＝90°－∠DEF－∠B.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝180°－2∠DEF－2∠B.
∴∠B＋180°－2∠DEF－2∠B＋∠C＝180°.
∴∠C－∠B＝2∠DEF.
【点睛】本题主要考查考生对三角形外角和性质得理解及灵活运用，以及对三角形内角和，角平分线的定义的理解。

此为易考点及重点。

考查考生等量代换思想的形成及掌握，在解题过程中涉及到角与角之间的转换。

此为难点。

5．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转。

（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；并说明理由；（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积.
【答案】（1）△EPF是等边三角形，理由见解析；（2）S△GBE3
【解析】
试题分析：（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知∠EPF=60°，只需要证PE=PF即可，可通过证△PBE和△PFC全等来得出结论，是证明全等，则需要证明FP⊥BC和
BE=PC；
（2）由（1）不难得出∠CFG=90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP 的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，即可求出△GBE的面积；
试题解析：（1）△EPF是等边三角形，理由如下：
∵PE⊥AB，∠B=60°，因此Rt△PEB中，BE=1
2
BP=
1
3
BC=PC，∴∠BPE=30°，
∵∠EPF=60°，∴FP⊥BC，∵∠B=∠C=60°，BE=PC，∠PEB=∠FPC=90°，∴△BEP≌△CPF，∴EP=PF，∵∠EPF=60°，∴△EPF是等边三角形.
（2）过E作EH⊥BC于H，由（1）可知：FP⊥BC，FC=BP=2
3
BC=4，BE=CP=
1
3
BC=2，在三角
形FCP中，∠PFC=90°-∠C=30°，∵∠PFE=60°，∴∠GFC=90°，Rt△FGC中，∠C=60°，CF=4，∴GC=2CF=8，∴GB=GC-BC=2，Rt△BEP中∠EBP=60°，BP=4，
3BE=2，∴EH=BE•PE÷3，∴S△GBE=1
2
3
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质，熟练掌握全靠三角形的判定方法和等边三角形的性质是解题的关键.
6．（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？
（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C(填
“＞”“＜”“=”)，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______.
（3）如图③,是由图①的△ABC沿DE折叠得到的,如果∠A＝30°,则
x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－＝ ,猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系
为
【答案】见解析. 【解析】 【分析】
试题分析：（1）根据三角形内角是180度可得出，∠1+∠2=∠B+∠C ；（2）△ABC 沿DE 折叠，∠1+∠2=∠B+∠C ，从而求出当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°，（3）根据以上计算可归纳出一般规律：∠BDA+∠CEA=2∠A ． 试题解析：
解：（1）∠1+∠2 = ∠B+∠C ，理由如下： 在△ADE 中，∠1+∠2 = 180°- ∠A 在△ABC 中，∠B+∠C = 180°- ∠A ∴ ∠1+∠2 = ∠B+∠C
（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，∴∠1+∠2=∠B+∠C ，当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°
（3）如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°-300°=60°，所以∠BDA+∠CEA 与∠A 的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A.
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 三角形内角和． 【详解】
请在此输入详解！
7．如图①．ABC 中，AB AC =，P 为底边BC 上一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，
CH AB ⊥，垂足分别为E 、F 、H .易证PE PF CH +=.证明过程如下：
如图①，连接AP .∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴1
2
ABP
S
AB PE =
⋅，1
2
ACP
S
AC PF =
⋅，1
2
ABC
S AB CH =
⋅ 又∵ABP
ACP
ABC
S
S
S
+=，∴AB PE AC PF AB CH ⋅+⋅=⋅
∵AB AC =，∴PE PF CH +=．
如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】PE PF CH -= 【解析】 【分析】
参考题设的证明过程，主要思路就是等面积法：ABP
ACP
ABC
S S
S
+=，同样，P 为BC
延长线上的点时，也可以用类似的等面积法：ABP
ACP
ABC
S S
S
=-，即可得出结论．
【详解】
∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴1
2
ABP
S
AB PE =
⋅，1
2
ACP
S AC PF =
⋅，1
2
ABC
S
AB CH =
⋅ 又∵ABP
ACP
ABC
S
S
S
=-，∴AB PE AC PF AB CH ⋅-⋅=⋅
∵AB AC =，∴PE PF CH -=． 故答案为：PE PF CH -=． 【点睛】
本题考查几何图形中等面积法的应用，读懂题目，灵活运用题设条件是解题的关键．
8．已知，如图甲，在△ABC 中，AE 平分∠BAC（∠C＞∠B），F 为AE 上一点，且FD⊥BC 于D ．
（1）试说明：∠EFD=（∠C﹣∠B）；
（2）当F 在AE 的延长线上时，如图乙，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）成立，证明见详解.
【解析】
【分析】
(1) 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到
∠BAE=1
2
∠BAC=
1
2
（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣1
2
（∠B+∠C），然后根据三角形的外角的
性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求得结论；
(2)根据(1)可以得到∠AEC=90°+1
2
（∠B﹣∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利
用直角三角形的两个锐角互余即可求解.【详解】
解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=1
2
∠BAC=
1
2
（180°﹣∠B﹣∠C）
=90°﹣1
2
（∠B+∠C），
∵∠FEC=∠B+∠BAE，
则∠FEC=∠B+90°﹣1
2
（∠B+∠C）
=90°+1
2
（∠B﹣∠C），
∵FD⊥EC，
∴∠EFD=90°﹣∠FEC，
则∠EFD=90°﹣[90°+1
2
（∠B﹣∠C）]
=1
2
（∠C﹣∠B）；
（2）成立．
证明：同（1）可证：∠AEC=90°+1
2
（∠B﹣∠C），
∴∠DEF=∠AEC=90°+1
2
（∠B﹣∠C），
∴∠EFD=90°﹣[90°+1
2
（∠B﹣∠C）]
=1
2
（∠C﹣∠B）．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．
9．如图，90CDE CED ∠+∠=︒，EM 平分CED ∠，并与CD 边交于点M ．DN 平分CDE ∠，
并与EM 交于点N ．
（1）依题意补全图形，并猜想EDN NED ∠+∠的度数等于 ；
（2）证明以上结论．
证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠，
∴ 12
EDN CDE ∠=∠， NED ∠＝ ．
（理由： ）
∵ 90CDE CED ∠+∠=︒，
∴EDN NED ∠+∠＝ ×（∠ ＋∠ ）＝ ×90°＝ °．
【答案】（1）45度；
（2）
1,2CED ∠ 角平分线的定义， 12 ，CDE,CED, 12
, 45． 【解析】 试题分析：
（1）按要求画∠CDE 的角平分线交ME 于点N ，根据题意易得∠EDN+∠NED=45°； （2）根据已有的证明过程添上相应空缺的部分即可；
试题解析：
（1）补充画图如下：猜想：∠EDN+∠NED 的度数=45°；
（2）将证明过程补充完整如下：
证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠，
∴ 12EDN CDE ∠=∠，NED ∠＝12
∠CED ．（理由：角平分线的定义） ∵ 90CDE CED ∠+∠=︒，
∴EDN NED ∠+∠＝
12×（∠CDE+∠CED ）＝ 12
×90°＝45°． 故原空格处依次应填上：12∠CED 、角平分线的定义、CDE 、CED 、12和45.
10．已知：如图，等边三角形ABD 与等边三角形ACE 具有公共顶点A ，连接CD ，BE ，交于点P .
（1）观察度量，BPC ∠的度数为＿＿＿＿.（直接写出结果）
（2）若绕点A 将△ACE 旋转，使得180BAC ∠=︒，请你画出变化后的图形.（示意图）
（3）在（2）的条件下，求出BPC ∠的度数.
【答案】（1）120°;（2）作图见解析；（3）∠BPC =120°．
【解析】
分析：（1）∠BPC 的度数为120°，理由为：由△ABD 与△ACE 都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB ，AC=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形DAC 与三角形BAE 全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ADC=∠ABE ，利用外角性质，等量代换即可得到所求；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）解法同（1），求出∠BPC 的度数即可．
本题解析：
（1）∠BPC 的度数为120°，理由为：
证明：∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，
∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB ，AC=AE ，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC 与△BAE 中，
{AD AB
DAC BAE AC AE
=
∠=∠
=
，∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，∵∠ADC+∠CDB=60°，∴∠ABE+∠CDB=60°，∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵△ABD与△ACE都是等边三角形，
∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，
∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，
{AD AB
DAC BAC AC AE
=
∠=∠
=
，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ABE+∠DBP=60°，
∴∠ADC+∠DBP=60°，∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．
点睛：本题考查了等边三角形的性质，外角性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.。