如何求解双动点线段长的最小值问题

如何求解双动点线段长的最小值问题
双动点线段是指线段的两个端点都在某个图形上运动的线段．由于线段的两个端点都在运动，因此增加了解决问题的难度，这类问题的解题策略是：消点——将双动点转化为单动点，然后利用“垂线段最短”确定单动点线段长的最小值，进而得到双动点线段长的最小值．下面举例说明．
例1 如图1，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是_______．
说明本题构造矩形，利用“矩形的对角线相等“将双动点线段DE转化为单动点线段CF．达到消点目的．
例2 如图2，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD＝CE．连结DE，则DE长的最小值是_______．
由“垂线段最短”可知，当DF⊥AC时DF长最小，此时，DF＝1
2
AC=
1
2
×8＝4，
∴DE长的最小值是42．
说明本题构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的斜边与直角边的关系，将双动点线段DE与单动点线段DF建立联系，进行消点．
例3 如图3，已知点A在反比例函数y＝6
x
的图象上，且点A横坐标为2．现将一
个含30°的三角板的直角顶点与点A重合并绕点A旋转，旋转时三角板的两直角边与x 轴的交点分别为点B、C，则线段BC的最小值是_________．
解析过点A作AD⊥BC于点D，取线段BC的中点E，连结AE．
当x＝2时，y＝6
x
＝3，
∴点A坐标为(2，3)，
∴AD＝3．
∵∠BAC＝90°，E为线段BC的中点，
∴BC＝2AE．
由“垂线段最短”可知，当AE⊥BC时AE最小，此时AE＝AD＝3．
∴BC的最小值为6．
说明本题构造三角形中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，将双动点线段BC与单动点线段AE建立联系，从而灵活消点．
例4 如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（－4，0）、B(O，4)，⊙O 的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_______．
解得OP＝22．
说明本题构造直角三角形，利用勾股定理将双动点线段PQ与单动点线段OP建立联系，从而巧妙消点．
例5 如图5，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝22，D是线段BC
上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______．
解析作直径EG，则∠EFG＝90°，
∠G＝∠BAC＝60°，EG＝AD．
在Rt△EFG中，
EF＝EG·sin∠G
＝AD·sin60°＝
3
2
AD．
过点A作AH⊥BC，垂足为点H，
在Rt△ABH中，
AH＝AB·sin∠ABC＝22·sin45°
＝22
2
＝2．
由“垂线段最短”可知，AD≥AH，∴线段EF长的最小值为
3 2AH＝
3
2
×2＝3．
说明本题构造直径为斜边的直角三角形，利用同圆的直径都相等，将双动点线段EF与单动点线段AD建立联系，实现消点．。