湖南省醴陵市第二中学高三数学上学期第二次月考试题理

醴陵二中2017届高三第二次月考数学理科试题
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．全集,R U =且},086|{},21|{2<+-=>-=x x x B x x A 则=⋂B A C U )(（ ） A [)1,4- B ()2,3 C (]2,3 D ()1,4-
2.
623xy x y ≠≠≠“”是“或”的（ ） A 充分不必要条件；B 必要不充分条件；C 充要条件；D 既不充分也不必要条件 3．同时具有 ①最小正周期为π；②图象关于直线x=
3
π
对称；的函数是（ ） A ．y = sin(2x －
6π) B ．y = sin(2x +6π) C ．y = sin(2x+6
π
) D ．y = sin|x|
4．等差数列{}n a 中564a a +=,则3101
22log (2
222)a a a a = （ ）
A ．10
B ．20
C ．40
D ．22log 5+
5.函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足2
()32'(2)f x x x f =+⋅，则'(5)+'(2)f f =( ) A 12- B 6 C 6- D 32
6.2
01log (43)a a y x x <<=-+当时，函数的单调增区间为（ ）
A (],2-∞
B [)2,+∞
C (),1-∞
D ()3,+∞
7．与直线2y x =平行的抛物线2
y x =的切线方程是（ ）
A 230x y -+=
B 230x y --=
C 210x y -+=
D 210x y --= 8.若“4
(0,),x x a x
∀∈+∞+
≥”与“2,20x R x x a ∃∈++=”都是真命题，则a 的取值范围是（ ）
A . 4a ≤ B. 1a ≤ C. 14a ≤≤ D. ∅
9 ．若关于x 的方程12
log 1m
x m
=
-在区间(0,1)上有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
10.已知函数2,4
()(1),4
x x f x f x x -⎧≥=⎨+<⎩则2(log 3)f 的值为( )
A 24-
B 12- C
112 D 124
11.函数'()y f x =是函数()y f x =的导函数，且函数
()y f x =在点00(,())p x f x 处的切线为000:()'()()(),()()()
l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-，如果函数()y f x =在区间
[,]a b 上的图像如图所示，且0a x b <<，那么（ ） A ．00'()0,F x x x ==是()F x 的极大值点 B ．0'()F x =00,x x =是()F x 的极小值点 C ．00'()0,F x x x ≠=不是()F x 极值点
D ．00'()0,F x x x ≠=是()F x 极值点
12．已知函数()f x 满足：①定义域为R ；②x ∀∈R ，有(2)2()f x f x +=；③当[1,1]x ∈-时，
()||1f x x =-+．则方程4()log ||f x x =在
区间[10,10]-内的解个数是（ ） A ．20 B ．12 C ．11
D ．10
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =， 则(7)f 等于________
14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，(1)0f =，则不等式
y x
1 2 3 4 5
2- 1- 3- 1
2
4 1
2
0 4log ||y x =
4log ||y x =
2(log )0f x >的解集为
15 .已知函数f(x)满足(2)()f x f x +=,且f(x)是偶函数，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，若在区间 [－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx －k 有四个零点，则实数k 的取值范围是________．
16．定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]0,1-上是增函数，下面是关于()f x 的判断： ①()x f 关于点P(
02
1
,)对称 ②()x f 的图像关于直线1=x 对称； ③()x f 在[0，1]上是增函数； ④()()02f f =.
其中正确的判断是 .(把你认为正确的判断都填上)
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (12分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

甲、乙独立来该租车点租车骑游。

各租一车一次。

设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11
,42
；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为
11
,24
；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ.
18. (本题满分12分)如图示，边长为4的正方形与
正三角形所在平面互相垂直，M 、Q 分别是PC ，AD 的
中点。

（1）求证： //PA BDM 面 （2）求多面体
的体积
（3）试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使面
若存在，指出N 的位置，若不存在，
请说明理由。

19. (12分)已知：(2sin ,3cos ),(cos ,2cos ),()a x x b x x f x a b =-==⋅设 （1
）求()f x 的最小正周期和最大值。

（2）将()f x 的图象左移3
π
个单位得到()g x 的图象，求()g x 的解析式。

（3）设()h x 是()g x 的导函数，当02
x π
≤≤时，求()h x 的值域。

20. （本小题满分12分）
已知数列}{n a 满足条件：111,21n n a a a +==+ （1）求数列n a 的通项公式
（2）令1
2n
n n n c a a +=⋅ 记n n c c c c T ++++=...321 求n T
21．（12分） 已知函数f(x)＝e
x －k
－x ，(x ∈R)
(1)当k ＝0时，若函数上恒成立在R m x f ≥)(,求实数m 的取值范围； (2)试判断当k>1时，函数f(x)在(k,2k)内是否存在零点．
（选做题,本大题共3个小题，只选一题作答，计10分） 22（10分）.如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，
割线PBC 与
O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，
AD 的延长线交O 于点E. 证明：（Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB
23. （本小题满分10）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12232x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 以坐
标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 24sin 30ρθρθ+-= （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB 的长。

24. （本小题满分10）设函数()f x =1(0)x x a a a
++->
（Ⅰ）证明：()f x ≥2； （Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.
醴陵二中2017届高三第二次月考数学理科试题
姓名： 班级：
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．全集,R U =且},086|{},21|{2<+-=>-=x x x B x x A 则=⋂B A C U )(（ C ） A [)1,4- B ()2,3 C (]2,3 D ()1,4-
2.
623xy x y ≠≠≠“”是“或”的（ A ） A 充分不必要条件；B 必要不充分条件；C 充要条件；D 既不充分也不必要条件 3．同时具有 ①最小正周期为π；②图象关于直线x=
3
π
对称；的函数是（ A ） A ．y = sin(2x －
6π) B ．y = sin(2x +6π) C ．y = sin(2x+6
π
) D ．y = sin|x|
4．等差数列{}n a 中564a a +=,则3101
22log (2
222)a a a a = （ B ）
A ．10
B ．20
C ．40
D ．22log 5+
5.函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足2
()32'(2)f x x x f =+⋅，则'(5)+'(2)f f =( C ) A 12- B 6 C 6- D 32
6.2
01log (43)a a y x x <<=-+当时，函数的单调增区间为（ C ）
A (],2-∞
B [)2,+∞
C (),1-∞
D ()3,+∞
7．与直线2y x =平行的抛物线2
y x =的切线方程是（ D ）
A 230x y -+=
B 230x y --=
C 210x y -+=
D 210x y --= 8.若“4(0,),x x a x
∀∈+∞+
≥”
与“2
,20x R x x a ∃∈++=”都是真命题，则a 的取值范围是（ B ） A . 4a ≤ B. 1a ≤ C. 14a ≤≤ D. ∅
9 ．若关于x 的方程12
log 1m
x m
=
-在区间(0,1)上有解，则实数m 的取值范围是( A ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
10.已知函数2,4
()(1),4
x x f x f x x -⎧≥=⎨+<⎩则2(log 3)f 的值为( D )
A 24-
B 12- C
112 D 124
11.函数'()y f x =是函数()y f x =的导函数，且函数
()y f x =在点00(,())p x f x 处的切线为000:()'()()(),()()()
l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-，如果函数()y f x =在区间
[,]a b 上的图像如图所示，
且0a x b <<，那么（ B ） A ．00'()0,F x x x ==是()F x 的极大值点 B ．0'()F x =00,x x =是()F x 的极小值点 C ．00'()0,F x x x ≠=不是()F x 极值点
D ．00'()0,F x x x ≠=是()F x 极值点
12．已知函数()f x 满足：①定义域为R ；②x ∀∈R ，有(2)2()f x f x +=；③当[1,1]x ∈-时，
()||1f x x =-+．则方程4()log ||f x x =在
区间[10,10]-内的解个数是（ C ） A ．20 B ．12 C ．11
D ．10
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =， 则(7)f 等于__1-______
y x
1 2 3 4 5
2- 1- 3- 1
2
4 1
2
0 4log ||y x =
4log ||y x =
14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，(1)0f =，则不等式
2(log )0f x >的解集为 1
(0,)(2,)2
+∞
15 .已知函数f(x)满足(2)()f x f x +=,且f(x)是偶函数，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，若在区间 [－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx －k 有四个零点，则实数k 的取值范围是___⎥⎦
⎤ ⎝
⎛4
1,0_____．
16．定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]0,1-上是增函数，下面是关于()f x 的判断：
①()x f 关于点P(
02
1
,)对称 ②()x f 的图像关于直线1=x 对称； ③()x f 在[0，1]上是增函数； ④()()02f f =.
其中正确的判断是 ①②④ .(把你认为正确的判断都填上)
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (12分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

甲、乙独立来该租车点租车骑游。

各租一车一次。

设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11
,42
；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为
11
,24
；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ. 17解：（1）所付费用同为0,2,4元。

付0元的概率为1111
428
P =
⨯=， 付2元的概率为2111248P =⨯= ，付4元的概率为3
111
4416
P =⨯= 则所付费用相同的概率为123
5
16
P P P P =++=………………………..4分 （2）设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8…………….5分
1(0)8
11115(2)442216
1111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξξξξ
====⋅+⋅=
==⋅+⋅+⋅=
==⋅+⋅=
==⋅=
…………………………………………….10分
分布列:
ξ 0
2
4
6
8
P
1
8
516
516
316
116
5591784822E ξ=
+++=
………………………………………………………….12分
18. (本题满分12分)如图示，边长为4的正方形与正三角形
所
在平面互相垂直，M 、Q 分别是PC ，AD 的中点。

（1）求证： //PA BDM 面 （2）求多面体
的体积
（3）试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使面
若存在，
指出N 的位置，若不存在，请说明理由。

18. 证明: (1)连接AC,BD 相交于O
,M O PC AC 分别为和中点
∴OM ∥PA ∴PA ∥平面BDM ……………………………….4分 (2) ∵ PQ ⊥AD ∴PQ ⊥平面ABCD ∵ PQ=23 ∴V=1
32
4423333
⨯⨯⨯=
……………………..8分 (3)存在. 取AB 中点N,连结CN 易知CN ⊥QB, CN ⊥PQ
∴CN ⊥平面BPQ,又CN PNC ⊂平面 PNC PQB ⊥面面…………..12分
19. (12分)已知：(2sin ,3cos ),(cos ,2cos ),()a x x b x x f x a b =-==⋅设
（1）求()f x 的最小正周期和最大值。

（2）将()f x 的图象左移
3
π
个单位，并上移3个单位得到()g x 的图象，求()g x 的解析式。

（3）设()h x 是()g x 的导函数，当02
x π
≤≤时，求()h x 的值域。

解：（1）2
()2sin cos 23cos 2sin(2)33
f x a b x x x x π=⋅=-=--
()f x ∴的最小正周期为π，()f x 的最大值为23
-（4分） （2）()g x 的解析式为：()2sin(2)
3
g x x π
=+（8分）
（3）()4cos(2)3
h x x π
=+，()h x 的值域为：[]
4,2-（12分）
20. （本小题满分12分）
已知数列}{n a 满足条件：111,21n n a a a +==+ （1）求数列n a 的通项公式
（2）令1
2n
n n n c a a +=⋅ ， 记n n c c c c T ++++=...321 求n T
20.解:（1）证明：由题意得11222(1)n n n a a a ++=+=+ ……………2分
又112a +=, {1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列． …………4分
21
n n a =-
…………5分
(2)解：由⑴知21n
n a =-， ……………7分
故1112211
(21)(21)2121
n n n n n n n n n c a a +++===-
---- 111n n a a +=-……………9分 121
1
111
11
(1)()(
)337
2121
112
1
n n n n n T c c c ++=++=-+-+
+---=-
-
…………12分
21．（12分） 已知函数f(x)＝e x －k
－x ，(x ∈R)
(1)当k ＝0时，若函数上恒成立在R m x f ≥)(,求实数m 的取值范围； (2)试判断当k>1时，函数f(x)在(k,2k)内是否存在零点． [解析] (1)当k ＝0时，f(x)＝e x
－x ，f ′(x)＝e x
－1，
令f ′(x)＝0得，x ＝0，当x<0时f ′(x)<0，当x>0时，f ′(x)>0， ∴f(x)在(－∞，0)上单调减，在[0，＋∞)上单调增．
∴f(x)min ＝f(0)＝1，
1≤m
∴实数m 的取值范围是]1,(-∞．…………6分
(2)当k>1时，f(x)＝e x －k －x ，f ′(x)＝e x －k －1>0在(k,2k)上恒成立． ∴f(x)在(k,2k)上单调增．
又f(k)＝e
k －k －k ＝1－k<0， f(2k)＝e 2k －k －2k ＝e k －2k ，令h(k)＝e k －2k ，
∵h′(k)＝e k －2>0，∴h(k)在k>1时单调增，
∴h(k)>e －2>0，即f(2k)>0，
∴由零点存在定理知，函数f(x)在(k,2k)内存在零点．…………12分 （选做题,本大题共3个小题，只选一题作答，计10分）
22.选修4—1：几何证明选讲
如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交
O 于点E.证明：（Ⅰ）
BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB
23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为122322x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 24sin 30ρθρθ+-= （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB 的长。

24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数()f x =1(0)x x a a a
++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.
22证明：（Ⅰ）连结AB ，AC ，由题设知PA=PD ，故PAD PDA ∠=∠ 因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠ PAD BAD PAB ∠=∠+∠
DCA PAB ∠=∠ 所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =
因此BE EC =…………5分
（Ⅱ）由切割线定理得2
PA PB PC =⋅
因为PA PD DC ==，所以2,DC PB BD PB ==
由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅ 所以22AD DE PB ⋅=…………10分 23解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为 22430x y y -+-=…………5分
（Ⅱ）将直线方程代入曲线C 的直角坐标方程中得：24100t t +-=
12AB t t =-=…………10分
24解：（Ⅰ）由0a >，有111()|||||()|2f x x x a x x a a a a a
=+
+-≥+--=+≥ 所以()2f x ≥…………5分
（Ⅱ）1(3)|3||3|f a a =++- 当3a >时，1(3)f a a
=+，由(3)5f <得3a <<
当03a <≤时，1(3)6f a a =-+
，由(3)5f <得132a <≤
综上，a 的取值范围是5)2
…………10分。