2020中考数学专题复习：二次函数与特殊三角形问题(含答案)

2020中考数学三轮培优冲刺二次函数与特殊三角形问题（含答案）1.已知抛物线过A(－2，0)，B(0，2)，C(
3
2
，0)三点．一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q，设点P的运动时间为t秒．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当BQ＝
1
2AP时，求t的值；
(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵抛物线经过A(－2，0)，B(0，2)，C(
3
2
，0)三点，
∴
⎩⎪
⎨
⎪⎧4a－2b＋c＝0
c＝2
9
4a＋
3
2b＋c＝0
，解得
⎩
⎨
⎧a＝－23
b＝－
1
3
c＝2
，
∴抛物线的解析式为y＝－
2
3x
2－13x＋2.
(2)如解图①，当t≤2时，点Q在点B下方，
第1题解图①
∵AQ⊥PB，BO⊥AP，
∴∠AOQ＝∠BOP＝90°，∠PAQ＝∠PBO，
∵AO＝BO＝2，∴△AOQ≌△BOP(ASA)，
∴OQ ＝OP ＝t ，BQ ＝BO －OQ ＝2－t ，AP ＝AO ＋OP ＝2＋t ， ∵BQ ＝12AP, ∴2－t ＝12(2＋t )，解得t ＝2
3；
如解图②，当t ＞2时，点Q 在点B 上方，
第1题解图②
同理可证△AOQ ≌△BOP ，
∴OQ ＝OP ＝t ，BQ ＝OQ －BO ＝t －2，AP ＝AO ＋OP ＝2＋t ， ∵BQ ＝12AP ，∴t －2＝1
2(2＋t )，解得t ＝6.
综上，当t ＝23或6时，BQ ＝1
2
AP .
(3)存在，当t ＝3－1时，抛物线上存在点M (1，1)，当t ＝3＋33时，抛物线上存在点M (－3，－3)．
【解法提示】由(2)知OP ＝OQ ，∴△OPQ 是等腰直角三角形， ∵△MPQ 是等边三角形，∴点M 在线段PQ 的垂直平分线上， 由于直线PQ 的垂直平分线为直线y ＝x ， 又∵点M 在抛物线上， ∴联立抛物线与直线y ＝x 可得,
⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝－23x 2－1
3x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3
y ＝－3. ∴M (1，1)或(－3，－3)．
当M (1，1)时，如解图③，过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，
第1题解图③
则有PD ＝|1－t |，MP 2＝1＋(1－t )2＝t 2－2t ＋2，PQ 2＝2t 2，
∵△MPQ是等边三角形，∴MP＝PQ，
∴MP2＝PQ2即t2－2t＋2＝2t2，解得t1＝3－1，t2＝－3－1(舍去)；
当M(－3，－3)时，如解图④，过点M作ME⊥x轴于点E，
第1题解图④
则有PE＝OE＋OP＝3＋t，ME＝3，PQ2＝2t2，
∴MP2＝(3＋t)2＋32＝t2＋6t＋18，
∵△MPQ是等边三角形，∴MP＝PQ，即MP2＝PQ2，
∴t2＋6t＋18＝2t2，解得t1＝33＋3，t2＝－33＋3(舍去)，
综上所述，当t＝3－1时，抛物线上存在点M(1，1)，使得△MPQ是等边三角形；当t＝33＋3时，抛物线上存在点M(－3，－3)，使得△MPQ是等边三角形．
2.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)
两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
第2题图
解：(1)由题意得
⎩⎪
⎨
⎪⎧－
b
2a
＝－1
a＋b＋c＝0
c＝3
，解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧a＝－1
b＝－2
c＝3
，
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线经过A (1，0)， ∴B (－3，0)．
设BC 的解析式y ＝mx ＋n ，
把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得
⎩⎪⎨
⎪⎧－3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝1
n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3； (2)如解图，连接MA ，
第2题解图
∵MA ＝MB ，
∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .
∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．
设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2. ∴M (－1，2);
(3)设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18， PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2， PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.
①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2； ②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即： 4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得
t 1＝3＋172，t 2＝3－17
2
.
综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋17
2)，
P 4(－1，3－17
2
)．
3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (0，－6)和点C (6，0)． (1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x 轴的负半轴交于点B ，试判断△ABC 的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)
(3)抛物线上是否存在点P ，使得△P AC 是以AC 为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第3题图
解：(1)将A 、C 两点坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c ，
得⎩⎪⎨⎪⎧ 36＋6b ＋c ＝0 c ＝－6，解得⎩
⎪⎨⎪⎧ b ＝－5 c ＝－6， 抛物线的解析式为y ＝x 2－5x －6； (2)当y ＝0时，则有x 2－5x －6＝0， (x ＋1)(x －6)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝6(舍)， ∴B (－1，0)．
由两点之间的距离公式可得：BC 2＝[(－1)－6]2＝49，AC 2＝(6－0)2＋[0－(－6)]2＝72，AB 2＝(－1－0)2＋[0－(－6)]2＝37， ∵AB 2＋BC 2>AC 2， ∴△ABC 为锐角三角形．
(3)存在满足条件的点，使得△P AC 为等腰三角形
理由：如解图，过线段AC 的中点M ，作AC 的垂直平分线交抛物线于点P ，直线MP 与抛物线必有两个交点都是满足条件的点P ，
第3题解图
∵A (0，－6)，C (6，0)， ∴点M 的坐标为(3，－3)， ∵k AC =
0(6)
160--=-，∴k MP =-1，
设直线MP 的解析式为y =-x +m ， 将M （3，-3）代入得-3=-3+m ，即m =0， 即直线MP 的解析式为y ＝－x ，
联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x
y ＝x 2－5x －6，解得⎩⎨⎧ x 1＝2－10 y 1＝10－2或⎩⎨⎧ x 2＝2＋10 y 2＝－2－10
， ∴点P 的坐标为(2－10，10－2)或(2＋10，－2－10)．
4. 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，
3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 在x 轴下方的抛物线上，过点P 的直线y ＝x ＋m 与直线BC 交于点E ，与y 轴交于点F ，求PE ＋EF 的最大值；
(3)点D 为抛物线对称轴上一点．当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的坐标．
解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3，
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；
(2)如解图①，过点P作PG∥CF交CB与点G，
第4题解图①
由题可知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.
同理可知∠OFE＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形，
∵PG∥CF，∴△GPE为等腰直角三角形，
∵F(0，m)，C(0，3)，∴CF＝3－m，
∴EF＝
2
2CF＝
2
2(3－m), PE＝
2
2PG，
设P(t，t2－4t＋3)(1<t<3), 则G(t，－t＋3)，
∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点，∴t2－4t＋3＝t＋m，
则PE＝2
2PG＝
2
2(－t＋3－t－m)＝
2
2(－m－2t＋3)，
∴PE＋EF＝
2
2(3－m)＋
2
2(－m－2t＋3)＝
2
2(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2(t
2－4t)＝
－2(t－2)2＋42，
∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为42；
(3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如解图②.
第4题解图②
当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：
(ⅰ)D在C上方D1位置时，由勾股定理得CD21＋BC2＝BD21，
即(2－0)2＋(n－3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2 ，解得n＝5；
(ⅱ)D在C下方D2位置时，由勾股定理得BD22＋BC2＝CD22，
即(2－3)2＋(n－0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n－3)2 ，解得n＝－1，
综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．
5.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐
标为(4，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第5题图
解：(1)∵抛物线经过点C(0，4)，A(4，0)，
∴
⎩
⎨
⎧
=
+
=
8
16
4
c
a
-a
c
，解得
1
-
2
4
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
a=
c=
，
∴抛物线的解析式为y＝－
1
2x
2＋x＋4；
(2)由y＝－
1
2x
2＋x＋4＝－12(x－1)2＋92可求得抛物线顶点坐标为N(1，92)，
如解图①，作点C关于x轴的对称点C′(0，－4)，连接C′N交x轴于点K，则点K即为所求，
第5题解图①
设直线C′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把C′、N 两点坐标代入可得，
⎪⎩⎪⎨⎧==+429-b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==
4
217-b k ， ∴直线C′N 的解析式为y ＝17
2
x －4， 令y ＝0，解得x ＝817，
∴点K 的坐标为(8
17
，0)；
(3)存在．要使△ODF 是等腰三角形，需分以下三种情况讨论： ①当DO ＝DF 时， ∵A (4，0)，D (2，0)， ∴AD ＝OD ＝DF ＝2，
在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4， ∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°， ∴∠ADF ＝90°.
此时，点F 的坐标为(2，2)；
令－1
2x 2＋x ＋4＝2，解得x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.
此时，点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)；
②当FO ＝FD 时，如解图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M .
第5题解图②
由等腰三角形的性质得：OM ＝1
2OD ＝1，
∴AM ＝3，
∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3， ∴F (1，3)．
令－1
2x 2＋x ＋4＝3，解得x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.
此时，点P 的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)； ③当OD ＝OF 时，
∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°， ∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为2 2. 而OF ＝OD ＝2<22，
∴在AC 上不存在点使得OF ＝OD ＝2.
此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形，所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．
6. 如图①，抛物线y ＝－1
3
x 2＋bx ＋8与x 轴交于点A (－6，0)，点B (点A 在点B 左侧)，与y
轴交于点C ，点P 为线段AO 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线l 与抛物线交于点E ，连接AE 、EC .
(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；
(2)连接AC 交直线l 于点D ，则在点P 运动过程中，当点D 为EP 中点时，求S △ADP ∶S △CDE ；
(3)如图②，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使△AEG是以AE为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，说明理由．
第6题图
解：(1)∵点A(－6，0)在抛物线y＝－1
3x
2＋bx＋8上，
∴0＝－
1
3×(－6)
2＋(－6b)＋8，
解得b＝－2
3
，
∴抛物线的表达式为y＝－
1
3x
2－23x＋8，
令x＝0，得y＝8，
∴C(0，8);
(2)设点E(t，－
1
3t
2－23t＋8)，
∴P(t，0)，
∵点D为EP的中点，
∴DP＝DE，D(t，－
1
6t
2－13t＋4)，
∵A(－6，0)，C(0，8)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋d(k≠0)，将其代入得，
8
-6k+d=
d=
⎧
⎨
⎩
，解得
4
3
8
k=
d=
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
，
∴直线AC的解析式为y＝
4
3x＋8，
∵点D在直线AC上，∴
4
3t＋8＝－
1
6t
2－13t＋4，
解得t1＝－6(舍去)，t2＝－4，∴P(－4，0)，∴AP＝2，OP＝4，
∴△
△
ADP
CDE
S
S
＝
1
2
1
2
DP AP
DE OP
＝AP
OP
＝1
2
；
(3)存在．如解图①，连接EG，AG，过点G作GM⊥l，GN⊥x轴，垂足分别为M，N，
第6题解图①
∵EC∥x轴，
∴EP＝CO＝8，
把y＝8代入y＝－1
3x
2－23x＋8，
则8＝－1
3x
2－23x＋8，
解得x＝0(舍去)或x＝－2，
∴P(－2，0)，
∴AP＝AO－PO＝4，
(ⅰ)如解图①，当∠AEG＝90°时，
∵∠MEG＋∠AEP＝90°，
∠AEP＋∠EAP＝90°，
∴∠MEG＝∠EAP，
又∵∠APE＝∠EMG＝90°，
∴△EMG∽△APE，
∴
EM
AP
＝MG
EP
，
设点G (m ，－1
3m 2－2
3m ＋8)，
则GN ＝MP ＝－13m 2－2
3
m ＋8，
∴EM ＝EP －MP ＝8－(－13m 2－23m ＋8)＝13m 2＋2
3m ，
MG ＝PN ＝PO ＋ON ＝2＋m ， ∵EM MG AP EP =,∴13
m 2＋2
3m 4＝2＋m
8， ∴m ＝－2(舍去)或m ＝32，∴G (32，254)；
(ⅱ)如解图②，当∠EAG ＝90°时，
第6题解图②
∵∠NAG ＋∠EAP ＝90°，∠AEP ＋∠EAP ＝90°， ∴∠NAG ＝∠AEP ， ∵∠APE ＝∠GNA ＝90°， ∴△GNA ∽△APE ，∴GN AP ＝AN
EP
，
设点G (n ，－13n 2－23n ＋8)，∴GN ＝13n 2＋2
3n －8，
∴AN ＝AO ＋ON ＝6＋n ，
∵GN AN ,AP EP
=∴212
+-8334n n ＝6+8n
，
∴n ＝－6(舍去)或n ＝112，∴G (112，－23
4
)，
综上所述，符合条件的G 点的坐标为(32，254)或(112，－23
4
)．
7. 如图，抛物线y ＝－1
2
x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，抛
物线的对称轴交x 轴于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)求sin ∠ABC 的值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
第7题图
解：(1)将点A (－1，0)，C (0，2)代入抛物线y ＝－1
2x 2＋bx ＋c 中得，
⎩⎪⎨⎪⎧ －12－b ＋c ＝0 c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝32 c ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋3
2
x ＋2；
(2)令y ＝－12x 2＋3
2x ＋2＝0，解得x 1＝－1（舍），x 2＝4，
∴点B 的坐标为(4，0)， 在Rt △BOC 中，BC ＝
OC 2＋OB 2＝
22＋42＝25，
∴sin ∠ABC ＝sin ∠OBC =OC BC ＝225＝5
5；
(3)存在，点P 坐标为(32，52)或(32，－52)或(3
2
，4)．
【解法提示】由抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋2得对称轴为直线x ＝3
2，
∴点D 的坐标为(3
2
，0)．∴CD ＝OC 2＋OD 2＝
22＋（32）2＝52
.
∵点P 在对称轴x ＝3
2
上，且△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，
∴当D 为顶点时，有DP ＝CD ＝5
2，
此时点P 的坐标为(32，52)或(32，－5
2
)；
当点C 为顶点时，连接CP ，有CP ＝CD ，过点C 作CG ⊥DP 于点G ，如解图，则DG ＝PG ，
第7题解图
∵DG ＝2，∴PG ＝2，PD ＝4， ∴点P 的坐标为(3
2
，4)．
综上所述，存在点P 使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，P 点的坐标为(32，52)或(32，－52)或(3
2，
4)．
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交
于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE .已知点A ，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)． (1)求抛物线的表达式；
(2)分别求出点B 和点E 的坐标；
(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m )，直线PB 与直线l 交于点Q .试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．
第8题图
解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －8经过点A (－2，0)，D (6，－8)， 将A 、D 两点的坐标代入得，
⎩⎪⎨
⎪⎧ 4a －2b －8＝0 36a ＋6b －8＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12
b ＝－3， ∴抛物线的表达式为y ＝1
2
x 2－3x －8；
(2)∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－25
2，∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，
又∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(－2，0)， ∴点B 的坐标为(8，0)． 设直线l 的函数表达式为y ＝kx ，
将点D (6，－8)代入得6k ＝－8，解得k ＝－4
3，
∴直线l 的函数表达式为y ＝－4
3x ，
∵点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，
∴点E 的横坐标为3，纵坐标为－4
3×3＝－4，即点E 的坐标为(3，－4)；
(3)需分两种情况进行讨论：
①当OP ＝OQ 时，△OPQ 是等腰三角形，如解图①，
第8题解图①
∵点E 的坐标为(3，－4)，∴OE ＝
32＋42＝5，
过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ， 则
OM OP ＝OE
OQ
，∴OM ＝OE ＝5， ∴点M 的坐标为(0，－5)，
设直线ME 的函数表达式为y ＝k 1x －5， ∴3k 1－5＝－4，解得k 1＝1
3
，
∴直线ME 的函数表达式为y ＝1
3x －5，
令y ＝0，解得x ＝15， ∴点H 的坐标为(15，0)． 又∵MH ∥PB ， ∴
OP O M ＝OB
OH ，即－m 5＝815
， ∴m ＝－83
；
②当QO ＝QP 时，△OPQ 是等腰三角形，如解图②，
第8题解图②
∵当x ＝0时，y ＝1
2x 2－3x －8＝－8，
∴点C 的坐标为(0，－8)， ∴CE ＝
32＋（8－4）2＝5，
∴OE ＝CE ，∴∠1＝∠2， 又∵QO ＝QP ，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3，∴CE ∥PB .
设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为y ＝k 2x －8， ∴3k 2－8＝－4，解得k 2＝4
3
，
∴直线CE 的函数表达式为y ＝4
3x －8，
令y ＝0，得4
3x －8＝0，∴x ＝6，
∴点N 的坐标为(6，0)．
∵CN ∥PB .∴OP OC ＝OB
ON ，
∴－m 8＝86，解得m ＝－323
.
综上所述，当m 的值为－83或－32
3
时，△OPQ 是等腰三角形．
9. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y
轴交于点C ，顶点为D . (1)请直接写出点A ，C ，D 的坐标；
(2)如图①，在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，并求出点E 的坐标；
(3)如图②，F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第9题图
解： (1)A (－3，0)，C (0，3)，D (－1，4)；
(2) 如解图①所示，作点C 关于x 轴对称的点C ′，连接C ′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小． ∵C (0，3)， ∴C ′(0，－3)，
设直线C ′D 的解析式为y ＝ kx ＋ b ，
则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3－k ＋b ＝4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－7
b ＝－3 ，
∴直线C ′D 的解析式为y ＝－7x －3， 当y ＝－7x －3中y ＝0时，x ＝－37
，
∴当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为(－3
7，0)；
(3)存在．
设直线AC 的解析式为y ＝ax ＋c ，
则有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3－3a ＋c ＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1c ＝3
，
∴直线AC 的解析式为y ＝x ＋3， 假设存在，设点F (m ，m ＋3)，
△AFP 为等腰直角三角形分三种情况(如解图②所示)：
第9题解图
①当∠PAF ＝90°时，P (m ，－m －3)， ∵点P 在抛物线y ＝－x 2－2x ＋3上， ∴－m －3＝－m 2－2m ＋3，
解得m 1＝－3(舍去)，m 2＝2，此时点P 的坐标为(2，－5)； ②当∠AFP ＝ 90°时，P (2m ＋3，0)， ∵点P 在抛物线y ＝－x 2－2x ＋3上， ∴0＝－(2m ＋3)2－2(2m ＋3)＋3，
解得m 3 ＝－3(舍去)，m 4 ＝－1，此时点P 的坐标为(1，0)； ③当∠APF ＝90°时，P (m ，0)，
∵点P 在抛物线y ＝－x 2－2x ＋3上，∴0＝－m 2－2m ＋3， 解得m 5＝－3(舍去)，m 6＝1，此时点P 的坐标为(1，0)．
综上所述，存在满足条件的点P使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2，－5)或(1，0)．
10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－
1
3x
2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ.
(1)填空：b＝________，c＝________；
(2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；
(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由．
第10题图备用图
解：(1)1
3
，4；
【解法提示】∵二次函数y＝－1
3x
2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)，
∴
-3-3+=0
16
-+4+=0
3
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
b c
b c，解得
1
=
3
=4
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
b
c
，
(2)∵点P在AC上以每秒1个单位运动，
∴AP＝t，
∵点Q在OB上每秒1个单位运动，∴OQ＝t，
∴AQ＝t＋3，
∵∠PAQ<90°，∠PQA<90°，
若要使△APQ是直角三角形，则∠APQ＝90°，
在Rt △AOC 中，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5，
设PQ 与y 轴交于点D ，如解图①，
第10题解图①
∵∠ODQ ＝∠CDP ，∠DOQ ＝∠DPC ＝90°
∴∠DQO ＝∠DCP ，
∴tan ∠DQO ＝AP PQ ＝tan ∠DCP ＝AO CO ＝34
， ∵AP ＝t, ∴PQ ＝43
t ， 由勾股定理得：AQ 2＝AP 2＋PQ 2，即(t ＋3)2＝t 2＋(43
t )2， 解得t ＝92或t ＝－ 98
(舍去)， 根据题意，点Q 在OB 上，∴0≤t ≤4，
∴不存在这样的t 值满足题意；∴△APQ 不可能是直角三角形.
(3)设存在点M 使得△PMQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，如解图②，
第10题解图②
过P 作PE ⊥x 轴于E ，过M 作MN ⊥PE 于N ，
∵∠MPN ＋∠PMN ＝90°，∠MPN ＋∠QPE ＝90°，
∴∠PMN ＝∠QPE ，
在△PMN 和△QPE 中，
PMN =QPE PNM =PEQ MP =PQ ⎧⎪⎨⎪⎩
∠∠∠∠， ∴△PMN ≌△QPE (AAS)，∴PN ＝EQ ，MN ＝PE ，
∵AP ＝t ，cos ∠CAO ＝AO AC ＝35，sin ∠CAO ＝OC AC ＝45
， ∴AE ＝35t ，PE ＝45
t ， ∴MN ＝45t ，EN ＝PN-PE =EQ －PE ＝AQ －AE －PE ＝3＋t －35t －45t ＝3－25
t ， ∴x M ＝x E －MN ＝35t －3－45t ＝－15
t －3， ∴点M 的坐标为(－15t －3，25
t －3)， ∵点M 在抛物线上，∴－13(－15t －3)2－13·(15t ＋3)＋4＝25
t －3， 整理得t 2＋65t ＝225，
解得t ＝－65＋52052或t ＝－65－52052
(舍)， 综上，存在满足条件的点M ，此时运动时间t 为－65＋52052
秒． 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (4，0)，C (8，0)，D (8，8)，抛
物线y ＝ax 2＋bx 过A 、C 两点，动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒，过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E .
(1)求出点A 的坐标和抛物线的表达式；
(2)过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，线段EG 最长？
(3)连接EQ ，在点P 、Q 运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以C 、E 、Q 为顶点的△CEQ 为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的t 值；如果不存在，请说明理由．
第11题图
解：(1)∵点B 的横坐标为4，点D 的纵坐标为8，AD ∥x 轴，AB ∥y 轴，
∴点A 的坐标为(4，8)，
将A (4，8)、C (8，0)两点坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ，
得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＝864a ＋8b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝4
， 故抛物线的表达式为y ＝－12
x 2＋4x ； (2)∵PE ∥BC ，
∴△APE ∽△ABC ， ∴PE BC ＝AP AB ，即PE 4＝AP 8
， ∴PE ＝12AP ＝12
t ，PB ＝8－t ， ∴点E 的坐标为(4＋12
t ，8－t )． ∴点G 的纵坐标为－12(4＋12t )2＋4(4＋12t )＝－18
t 2＋8. ∴EG ＝－18t 2＋8－(8－t )＝－18
t 2＋t ， ∵－18<0，∴当t ＝－1
2×（－18）＝4时，线段EG 最长为2； (3)存在t 使得以C 、E 、Q 为顶点的△CEQ 为等腰三角形，
t 1＝163，t 2＝4013
，t 3＝40－16 5. 【解法提示】∵Q (8，t )，E (4＋12
t ，8－t )，C (8，0)， ∴EQ 2＝(12t －4)2＋(8－2t )2，EC 2＝(4＋12
t －8)2＋(8－t )2，QC 2＝t 2. 当△CEQ 为等腰三角形时，分三种情况：
(Ⅰ)当EQ ＝QC 时，
(12
t －4)2＋(8－2t )2＝t 2， 整理得13t 2－144t ＋320＝0，
解得t ＝4013
或t ＝8(此时E 、C 重合，不能构成三角形，舍去)； (Ⅱ)当EC ＝CQ 时，
(4＋12
t －8)2＋(8－t )2＝t 2， 整理得t 2－80t ＋320＝0，
解得t ＝40－165，t ＝40＋165>8(此时Q 不在矩形的边上，舍去)；
(Ⅲ)当EQ ＝EC 时，
(12t －4)2＋(8－2t )2＝(4＋12
t －8)2＋(8－t )2， 解得t ＝0(此时Q 、C 重合，不能构成三角形，舍去)或t ＝163
. 综上所述，存在t 1＝163，t 2＝4013
，t 3＝40－165，能够使得以C 、E 、Q 为顶点的△CEQ 为等腰三角形．
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－2x ＋10与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，点C 的坐
标是(8，4)，连接AC ，BC .
(1)求过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；
(2)动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动．同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA ＝QA?
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
第12题图
解：(1)∵直线y＝－2x＋10与x轴、y轴相交于A、B两点，
∴A(5，0)，B(0，10)，设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx(a≠0)，把点A(5，0)和C(8，4)代入可得
⎩⎪
⎨
⎪⎧25a＋5b＝0
64a＋8b＝4
，
解得
⎩
⎨
⎧a＝16
b＝－
5
6
，
∴抛物线的解析式为y＝
1
6x
2－56x；
∵A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，
∴AB2＝125，AC2＝25，BC2＝100，
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC是直角三角形；
(2)如解图，连接AP，AQ，当P，Q运动t秒，即OP＝2t，CQ＝10－t，
第122题解图
在Rt△AOP和Rt△ACQ中，
⎩⎪
⎨
⎪⎧AC＝OA
PA＝QA
，
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，
∴OP＝CQ，
∴2t＝10－t，
∴t＝
10
3
，
∵OB＝10，BC＝10，
∴t≤5.
∴当运动时间为103
秒时，PA ＝QA ； (3)存在．
由题可得，抛物线的对称轴直线为x ＝52
， 设点M 的坐标为( 52
，b )， 利用点的坐标可求得AB 2＝102＋52＝125，MB 2＝(52
)2＋(b －10)2， MA 2＝(52
)2＋b 2， ∵△MAB 是等腰三角形，
∴可分以下三种情况讨论：
①当AB ＝MA 时，即125＝(52)2＋b 2，解得b ＝±5192
， 即点M 的坐标为(52，5192)或(52，－5192
)； ②当AB ＝BM 时，即125＝(52)2＋(b －10)2，解得b ＝10±5192
， 即点M 的坐标为(52，10＋5192)或(52，10－5192
)； ③当MB ＝MA 时，即(52)2＋(b －10)2＝(52
)2＋b 2， 解得b ＝5，此时点A 、M 、B 共线，故这样的点M 不存在．
综上所述，存在点M ，使以点A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，点M 的坐标为(52，5192
)或(52，－5192)或(52，10＋5192)或(52，10－5192
)．。