直角坐标.pdf

描述运动的相对性： 描述运动的相对性：只有事先选定一个作为参考 的物体， 的物体，才能具体描述物体如何运动. 选定的参考物体不同， 选定的参考物体不同，对同一物体运动的描 述可能有不同的结果。 述可能有不同的结果。
二.参考系和坐标系 1. 参考系 为了描述一个物体的运动而选定的另一个作为 参考的物体（～ 参考的物体（～观察者 （～观察者）， 观察者），叫参考系 ），叫参考系。 叫参考系。 任何实物物体均可被选作参考系; 任何实物物体均可被选作参考系;场虽然是物 质存在的一种形式， 质存在的一种形式，但场一般不用做参考系. 2. 坐标系 为了定量的描述物体的运动， 为了定量的描述物体的运动，在选定的参考 系上建立的带有标尺的数学坐标, 系上建立的带有标尺的数学坐标,简称坐标系。 简称坐标系。 坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。 坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。
v 2 2 ∆r = (∆ x) +(∆ y)
y
yB yA
A
r ∆r
θ
B
x r ∆ r rA r B
∆y
O
xA
xB
x
∆y θ = arctg ∆x
讨论： 讨论：
r r =r;
v ∆r = ∆r ?
位矢增量（ 大小： 位矢增量（即位移） 即位移）的 大小： r r v ∆ r = rB − rA
位矢大小的增量： 位矢大小的增量： v v ∆r = rB − rA = rB − rA
§3.1：
质点： 质点：当物体的线度和形状在所研究的问题中的
作用可以忽略不计时， 作用可以忽略不计时，将物体抽象为一个具有质 量，占有位置， 占有位置，但无形状大小的“ 但无形状大小的“点”。
质点系： 质点系：质点的集合。 质点的集合。
m1 m2 mi mn
m = ∑ mi
i =1
n
质量连续分布物体: dm
要解决任何具体力学问题, 要解决任何具体力学问题,首先应选取一个适当的参考 系,并建立适当的坐标系, 并建立适当的坐标系,否则就无从讨论物体的运动。 否则就无从讨论物体的运动。 常见的坐标系： 常见的坐标系： 直角坐标系， 直角坐标系，极坐标系， 极坐标系，柱坐标系， 柱坐标系， 球坐标系， 球坐标系，自然坐标…...
y
2 P
r r
o -2
θ
r ∆r 4
0
x
Q
r r′
4 + ( − 4 ) = 5 . 65 m −4 π =− θ o = arctg 4 4
2 2
v ∆r =
(2) 路程： 路程 ∆s =
2
∫
Q
P
ds
2
y
2 P
ds = ( dx ) + ( dy )
r r
o -2
θ0
4
x
Q
x = 2t x2 ⇒ y = 2− 2 4 y = 2− t 1 ∴ dy = − xdx 2
地球半径： Eg： Eg：地球绕太阳公转 地球绕太阳公转： 公转：地球半径： 日地距离： 日地距离： 1.50 × 10
11
6.4 × 10 m
6
m⇒
地球可看作质点。 地球可看作质点。
地球自转 地球自转： 自转：不能将地球看作质点。 不能将地球看作质点。
§3.2 参考系和坐标系
一. 运动是绝对的， 运动是绝对的，对运动的描述是相对的。 对运动的描述是相对的。 运动的绝对性： 运动的绝对性：所有物体都处于运动、 所有物体都处于运动、变化之 中，绝对静止的物体是不存在的。 绝对静止的物体是不存在的。
x = x( t ) y = y( t ) z = z( t )
消去参数
t
质点运动的 轨迹方程
例1.已知 1.已知： 已知：质点的运动方程 r r r 2 r = 2 ti + ( 2 − t ) j
(SI)
国际单位制
求： (1) (1)质点的轨迹 质点的轨迹； 质点的轨迹； (2)t = 0s及 0s及t = 2s时 2s时，质点的位置矢量。 质点的位置矢量。 解：(1)先写参数方程 消去 t 得轨迹方程： 得轨迹方程：
∆ t 时间内位置变化的净效果 时间内位置变化的净效果： 净效果：
A
r rA
r ∆r
B
r rB
r r r AB = rB − rA = ∆r
初位矢 末位矢
位移 矢量 位矢 增量
O
直角坐标表示（ 直角坐标表示（以二维情况为例）： 以二维情况为例）：
r r r rA = x A i + y A j r r r rB = x B i + y B j v v v ∆r =( xB −xA )i +( yB − yA ) j r v =∆ xi +∆ y j
x
θ b
P(x, y) C x
消去 t 得轨迹方程： 得轨迹方程：
x y + 2 =1 2 a b
2 2
椭圆规 原理
y
B
a
ω A P
b
C
O 椭圆规原理
x
2.描述质点位置变动的大小和方向 2.描述质点位置变动的大小和方向——位移矢量 定义： 定义：质点沿曲线运动
r t 时刻： 时刻：A , rA r t + ∆t 时刻 : B , rB
例1: OA = BA = AC, OA 以角速度 ω 绕O旋转, 旋转, B、C 分别沿 分别沿 y、x 轴运动, 轴运动,现有一点P,已 知BP = a , PC = b , 求P 点的轨迹方程。 点的轨迹方程。 思路： 思路： (1) 确定P 的位置
y
v v v r = xi + yj
(2) 写出参数方程
r k
P
教材中， 教材中，矢量用黑体表示
*直角坐标描述
o − xyz
r r r 单位矢量： ： i , j, k 单位矢量
y
直角坐标中位矢的表达式
z
v v v v r = x i + yj + zk
大小： 大小：
z
γ
v 2 2 2 r = r = x + y +z
方向： 方向：
x
α
β
r r
P(x , y , z)
直线直进运动 曲线运动 ∆t → 0
性质
关系
≤ ∆ s 何时取等号？ 何时取等号？
例3.求[例1]中 P、Q 两点间的位移和路程。 两点间的位移和路程。 解：(1)位移 1)位移： 位移： r r r = 2 j r r r r ′ = 4i − 2 j v v v ∆r = r ′ − r v v v = 4i − 2 j − 2 j v v = 4i − 4 j 大小： 大小： 方向： 方向：
物理思想？ 物理思想？ 类比 变速运动
Ar
r ∆r
B
rA
r rB
O
总效果相同的匀速直线运动
精确描述： 精确描述： 瞬时速度： 瞬时速度： 当△t 趋于0时， B点趋于 A 点，平均速 度的极限表示质点在 t 时刻通过 A 点的瞬时速度， 点的瞬时速度， 简称速度。 简称速度。表示为： 表示为：
r r r ∆r dr v = lim = ∆t → 0 ∆t dt
A
r rA
O
r ∆rBຫໍສະໝຸດ v ∆r ≠ ∆rr rB
∆r
比较位移和路程 r ∆r = AB
A △r
∆s B
∆s = AB
物理量
位移 矢量 描述质点位置变化的 净效果 只与始末点有关， 只与始末点有关，与 质点运动轨迹无关。 质点运动轨迹无关。
r ∆r
路程 标量 描述质点通过的实际 路径的长 与质点运动轨迹有关
一. 描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述 1.描述质点在空间的位置 1.描述质点在空间的位置——位置矢量 * 定义： 定义： 从参考点 O 指向空间 P 点的有向线段 r 叫做 P 点的位置矢量 点的位置矢量 rP ，简称位矢或矢径。 简称位矢或矢径。
r → rP = OP
z
r rP
r r j x i O
B
ω
O
a
A r
θ b
P(x, y) C x
(3) 消去 t, 得到轨迹方程
解：以 OA 与 x 轴重合时为 计时起点 则：θ =ω t 运动方程： 运动方程：
y
B
v v v ∴ r = a cos ω t i + b sin ω tj
参数方程： 参数方程：
y
O
ω
a
A r
x = a cos ω t y = b sin ω t
2 2 于是 ds = (dx ) + ( dy )
r r′
dy
ds dx
1 2 4 + x dx = 2
∆ s = ∫ ds = ∫
P
Q
4
0
1 2 2 = x 4 + x + 4ln x + 4 + x 4 = 5.91 m
[
1 4 + x 2 dx 2
(
)]
4 0
y
2 P
r r
o -2
θ0
4
x
x = 2t 2 y = 2 − t
x y = 2− 4
2
抛物线
(2) 位置矢量： 位置矢量： t=0时，x=0 y = 2 t=2时，x=4 y = -2
r r r = 2j r r r r ′ = 4i − 2 j
作图
r = 2j r r r r ′ = 4i − 2 j
位置矢量的大小
x2 y = 2− 4 r r
y
r r θ 4 θ′ o r -2 r ′
2 P
x
Q
r r = r = 2,
位置矢量的方向 r r 与 x 轴夹角 :
r 2 2 ′ ′ r = r = 4 + ( −2 ) = 4.47
2 θ = arctg = 90 o 0 r −2 o ′ ′ r 与 x 轴之间的夹角 : θ = arctg = − 26 3 2′ 4
Q
注意： 注意： 数学方法在物理问题 中的应用。 中的应用。
r r′
3.描述质点运动的快慢和方向 3.描述质点运动的快慢和方向 —— 速度矢量
r 粗略描述 t 时刻： 时刻： A , rA r t + ∆t 时刻 : B , rB r 位移： 位移： ∆ r r r ∆r 平均速度： 平均速度： v = ∆t
速度是位矢对时间的一阶导数， 速度是位矢对时间的一阶导数，其 方向沿轨道上质点所在处的切线， 方向沿轨道上质点所在处的切线， 指向前进的一侧。 指向前进的一侧。 注意速度的矢量性和瞬时性。 注意速度的矢量性和瞬时性。
§3.3
运动的描述
要解决任何具体力学问题, 要解决任何具体力学问题,首先应选取一个适当 的参考系, 的参考系,并建立适当的坐标系, 并建立适当的坐标系,否则就无从讨论 物体的运动. 物体的运动. 一. 描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述 二. 质点运动的自然坐标描述 三. 圆周运动的角量描述 四. 刚体的运动
第二篇 实物的运动规律
第三章 运动的描述
运动学 质点和 刚体 参考系 坐标系 运动的 两类基 描述 本问题 运动 相对
注意： 注意：充分重视各篇章前的文字和框图——导读
重点： 重点： 1.模型 1.模型: 模型: 质点、 质点、质点系、 质点系、刚体、 2.概念 2.概念： 概念：位矢、 位矢、位移、 位移、速度、 速度、加速度； 加速度； 角位置、 角位置、角位移、 角位移、角速度、 角速度、角加速度； 角加速度； 惯性系、 惯性系、非惯性系； 非惯性系； 3.计算 3.计算: 计算: 运动学的两类基本问题 难点: 难点: 课时: 课时: 相对运动 6
z
r r
O
P y
角向
径向
r
O
v n
P
O 自然坐标系
τ
v
P
x
直角坐标系 直角坐标系
α
极轴
极坐标系
三.惯性系和非惯性系 例如： 例如： 甲：惯性系； 惯性系； 乙：非惯性系
mg
甲
N
?
A
乙
r a0
惯性系： 惯性系：惯性定律在其中成立的参考系， 惯性定律在其中成立的参考系，即其中不受外 即其中不受外 力作用的物体（ 力作用的物体（自由粒子） 自由粒子）永远保持静止或匀速直线运 动的状态。 动的状态。 非惯性系: 非惯性系:牛顿第一定律在其中不成立的参考系. 牛顿第一定律在其中不成立的参考系. 在动力学中再进一步讨论二者的区别。 动力学中再进一步讨论二者的区别。
ρ dV
dm =
σ dS
λdl
m = ∫dm
刚 体：不计物体在外力作用下产生的形变。 不计物体在外力作用下产生的形变。
即：任意两质点间距离保持不变的质点系。 任意两质点间距离保持不变的质点系。 二、相互关系： 相互关系： * 质点 集合 特例
质点系
刚体
思考:
质点和几何学上的点有什么不同？ 质点和几何学上的点有什么不同？
y
y
x
o
x y z cos α = , cos β = , cos γ = r r r 2 2 2 cos α + cos β + cos γ = 1
质点的运动方程
r r
v 随时间变化的函数 r ( t ) 称为质点的运动方程。 称为质点的运动方程。
v v r = r( t )
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，质点运动方程的具体形式为： 质点运动方程的具体形式为： v v v v r = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k LL Θ 质点运动的轨迹方程 由Θ式写出对应的参数方程： 式写出对应的参数方程：