苏州相城实验中学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(包含答案解析)

一、选择题
1．已知X 的分布列为： X －1
1 P
12
16
a
设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是（ ） A ．16
-
B ．
23
C ．1
D ．
2936
2．两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为
56和3
4
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．
12
B ．
13
C ．
512
D ．
16
3．已知ξ的分布列如图所示，设2-5ηξ=，则()=E η（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
23
D ．
32
4．已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+=（ ） A ．4
B ．6
C ．8
D ．11
5．随机变量X 的分布列如表所示，若1
()3
E X =
，则(32)D X -=（ ） X 1-
1
P
16
a
b
A ．
59
B ．
53
C ．5
D ．7
6．下列命题中真命题是（ ）
（1）在18
3x x 的二项式展开式中，共有4项有理项；
（2）若事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =，则事件A 、B 是相互独立事件；
（3）根据最近10天某医院新增疑似病例数据，“总体均值为2，总体方差为3”，可以推测“最近10天，该医院每天新增疑似病例不超过7人”. A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（2）（3）
D ．（1）（2）（3）
7．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．
85
B ．
65
C ．
45
D ．
25
8．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值为（ ） A ．20
B ．25
C ．30
D ．40 9．已知随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(5)0.8P X <=，则(13)P X <<=（ ） A ．0.8
B ．0.2
C ．0.1
D ．0.3
10．已知离散型随机变量X 的分布列如图：则均值E (X )与方差D (X )分别为( )
A ．1.4,0.2
B ．0.44,1.4
C ．1.4,0.44
D ．0.44,0.2 11．已知随机变量X ～N (2，σ2)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )等于( )
A ．0.32
B ．0.68
C ．0.36
D ．0.64
12．某校高一（1）班共有54人，如图是该班期中考试数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[]
100,120内的学生人数为
A ．36
B ．27
C ．22
D ．11
二、填空题
13．甲、乙两人被随机分配到,,A B C 三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位）．记分配到A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的数学期望()E X =_____． 14．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正
态分布N （1000，210）.且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.
15．随机变量()2,X
N μσ，()()2
2
22x f x μσπσ
--=
满足：
（1）x R ∀∈，()()f x f x ''-=-； （2）()2f e
σπ'-=
， 则()12P X <≤=________.
附：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；
()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.
16．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为
2
3，乙在每局中获胜的概率为13
，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局， 则ξ的期望值()E ξ=______. 17．已知随机变量服从正态分布(
)2
2,N σ
，若(0)0.16P X ≤=，则
(24)P X <≤=________.
18．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1
3
，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________．
19．某仪表内装有m 个同样的电子元件,有一个损坏时,这个仪表就不能工作.如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率是p ,则这个仪表不能工作的概率是_____.
20．1000名学生成绩近似服从正态分布N (100,100)，则成绩在120分以上的考生人数约为
_________.[注：正态总体()
2
,N μσ在区间(),,μσμσ-+
()()2,2,3,3μσμσμσμσ-+-+内取值的概率分别为0.683, 0.954, 0.997]
三、解答题
21．某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为
1
2
．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工
人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．
（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率； （2）已知该厂现有4名维修工人．
（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；
（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？ 22．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间
[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示
的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()
2
,N μσ，其中
μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .
（i ）求()167.86174.28P X <<；
（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率.
参考数据：若()
2
~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，
()220.9544P X μσμσ-<<+=11510.7≈，100.95440.63≈，
90.97720.81≈，100.97720.79≈.
23．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，记正面朝上的次数为X ． （1）求随机变量X 的分布列；
（2）若随机变量21Y X =+，求随机变量Y 均值、方差．
24．超市为了防止转基因产品影响民众的身体健康，要求产品在进入超市前必须进行两轮转基因检测，只有两轮都合格才能销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为
14
，第二轮检测不合格的概率为1
9，两轮检测是否合格相互没有影响.
（1）求该产品不能销售的概率；
（2）如果产品可以销售，则每件产品可获利50元；如果产品不能销售，则每件产品亏损60元.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值()
E X. 25．在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北.某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队.
（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；
（2）记X为选出的4名选手中男性的人数，求X的概率分布和数学期望.
26．为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺炎的可能性较低．
（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩优良的人数，求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到k人的成绩是优良的可能性最大，求k的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据分布列的性质，求得
1
3
a=，得到()1
6
E X=-，再由21
Y X
=+，即可求得随机变
量Y的期望.【详解】
由题意，根据分布列的性质，可得11
1
26
a
++=，解得
1
3
a=，
所以随机变量X的期望为()
1111 101
2636
E X=-⨯+⨯+⨯=-，
又由21Y X =+，所以随机变量Y 的期望为()()12212()163
E Y E X =+=⨯-+= 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及期望的计算及性质的应用，其中解答中熟记分布列的性质和期望的公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
2．B
解析：B 【分析】
根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案． 【详解】
记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ， 即仅第一个实习生加工一等品为事件1A ， 仅第二个实习生加工一等品为事件2A 两种情况， 则()()()1251131
64643
P A P A P A =+=⨯+⨯=， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系，属于基础题.
3．C
解析：C 【分析】
根据分布列的性质，求得1
3m =，由期望的公式，可得17()6E ξ=，再根据
()()5E E ηξ=-，即可求解.
【详解】
由题意，根据分布列的性质，可得
1111663
m +++=，解得1
3m =，
所以随机变量ξ的期望为111117
()123466336
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 又由2-5ηξ=，可得172()2563
E η=⨯-=. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了随机变量的期望的计算，其中解答中熟记分布列的性质和期望的计算公式是解答的关键，着重考查了计算能力.
4．C
解析：C 【分析】
由已知条件求得()2D ξ=，再由2(23)2()D D ξξ+=⨯，即可求解. 【详解】
由题意，随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，可得()2D ξ=， 所以2(23)2()8D D ξξ+=⨯=. 故选：C . 【点睛】
本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，其中解答中熟记方差的求法是解答的关键，着重考查了计算能力.
5．C
解析：C 【分析】 由1()3E X =
，利用随机变量X 的分布列列出方程组，求出13
a =，1
2b =，由此能求出
()D X ，再由(32)9()D X D X -=，能求出结果．
【详解】 1
()3
E X =
∴由随机变量X 的分布列得：
116116
3a b b ⎧++=⎪⎪⎨
⎪-+=⎪⎩，解得13
12a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩， 2221111115
()(1)(0)(1)3633329D X ∴=--⨯+-⨯+-⨯=，
5
(32)9()959
D X D X ∴-==⨯=
故选：C ． 【点睛】
本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．D
解析：D 【分析】
对三个命题分别判断真假，即可得出结论. 【详解】
对于（1），18
的二项展开式的通项为181
5163621818r
r
r
r r
C x x C x ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 当0r =、6、12、18时，为有理项，共有4个有理项，故（1）正确； 对于（2），事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =， 所以()()()0.150.600.09P AB P A P B =⨯==，满足A 、B 为相互独立事件，故（2）正确；
对于（3），当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近于3， 所以，总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7，故（3）正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查分析法与基本运算能力，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7．B
解析：B 【分析】
由题意知，3~(5,
)3X B m +，由3
533EX m =⨯
=+，知3~(5,)5
X B ，由此能求出()D X ．
【详解】
由题意知，3
~(5,
)3
X B m +， 3
533
EX m ∴=⨯
=+，解得2m =， 3
~(5,)5
X B ∴，
336
()5(1)555
D X ∴=⨯⨯-=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
8．B
解析：B 【分析】
先求得抛掷一次的得到2枚正面向上，3枚反面向上的概率，再利用二项分布可得结果. 【详解】
由题，抛掷一次恰好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为：2555
216
C =
因为5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率是一样的，且各次试验是相互独立的，所以X 服从二项分布5
(80,
)16
X B 则5
()802516
E X =⨯= 故选B 【点睛】
本题咔嚓了二项分布，掌握二项分布是解题的关键，属于中档题.
9．D
解析：D 【分析】
由已知条件可知数据对应的正态曲线的对称轴为X=3,根据正态曲线的对称性可得结果. 【详解】
随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ， 则曲线的对称轴为X=3,
由(5)0.8P X <=可得P(X≤1)=P(X≥5)=0.2， 则(13)P X <<=12(15)P X <<=1
2
(1-0.2-0.2)=0.3 故选D 【点睛】
本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所求区间用已知区间表示，并根据对称性求解，考查数形结合的应用，属于基础题.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据离散型随机变量的分布列的性质，求得，再利用随机变量的均值和方差的公
式，即可求解，得到答案． 【详解】
由离散型随机变量的分布列的性质可得，解得
，
所以随机变量的均值为，
方差为， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及均值与方程的计算，其中解答中根据离散型随机变量的分布列的性质，求得的值，再利用均值和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
11．C
解析：C 【解析】
如图，由正态曲线的对称性可得(4)12()0.36P a X a P X a ≤<-=-<=.
故选C.
12．B
解析：B 【解析】
根据频率分布直方图，得成绩在[90120]，
内的频率为：10.0150.0.0100.005100.70-++⨯=（），∴1
20.0300.7010
a +=⨯
，解得0.020a =；∴成绩在[100120]，内的频率为0.0300.020100.50+⨯=（），所求的学生人数为
540.5027⨯=，故选B.
二、填空题
13．【分析】由题意得出的可能取值以及相应的概率再计算数学期望即可【详解】由题意可得的可能取值有012则数学期望故答案为：【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的数学期望属于中档题
解析：2
3
【分析】
由题意得出X 的可能取值以及相应的概率，再计算数学期望即可. 【详解】
由题意可得X 的可能取值有0，1，2
224(0)339P X ⨯===⨯，1
22411
(1),(2)339339
C P X P X ⨯======⨯⨯
则数学期望4()09E X =⨯412
12993
+⨯+⨯=． 故答案为：2
3
【点睛】
本题主要考查了求离散型随机变量的数学期望，属于中档题.
14．375【分析】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概率为从而求出部件正常工作超过10000小时的概率再根据二项分布求出平均值【详
解】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概
解析：375 【分析】
由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为1
2
，从而求出部件正常工作超过10000小时的概率，再根据二项分布求出平均值. 【详解】
由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为
12
， 则部件正常工作超过10000小时的概率为2113
1228
⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，
又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为3
10003758
⨯=台. 故答案为：375. 【点睛】
本题考查正态分布和相互独立事件及二项分布，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
15．1359【分析】对函数求导得导函数解析式由已知关系分别求得再由正态分布图像的对称性求得答案【详解】因为所以又则且所以故答案为：01359【点睛】本题考查由正态分布的对称性求概率问题属于中档题
解析：1359 【分析】
对函数()f x 求导得导函数解析式，由已知关系分别求得2,μσ，再由正态分布图像的对称性求得答案. 【详解】 因为(
)()2
2
2x f x μσ--=
，所以()(
)()2
2
221
x f x x μσμσ
--'=-
-
又x R ∀∈，()()f x f x ''-=-，则()(
)()2
2
02200001
f μσμμσ
--'=--=⇒=
且()(
)(
)2
2
2
2211
f σσσσσσ
--'-=-
-=
=⇒= 所以()()()220.13592122
P P X X X P μσμσμσμσ-<≤+-<≤+-<≤=≈
故答案为：0.1359 【点睛】
本题考查由正态分布的对称性求概率问题，属于中档题.
16．【分析】首先确定所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其
所对应的概率从而根据数学期望计算公式求得结果【详解】由题意可知所有可能的取值为：则；；本题正确结果：【点睛】本题考查离散型随机变量的数 解析：
266
81
【分析】
首先确定ξ所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果. 【详解】
由题意可知ξ所有可能的取值为：2,4,6
则()222152339P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()33
11221212204333381
P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()52016
6198181
P ξ==--=
()52016266
2469818181
E ξ∴=⨯+⨯+⨯=
本题正确结果：266
81
【点睛】
本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型.
17．【分析】根据正态分布对称性求解【详解】【点睛】本题考查正态分布考查综合分析求解能力属中档题 解析：0.34
【分析】
根据正态分布对称性求解. 【详解】
()()()[]111
240412010.320.34.222P X P X P X ⎡⎤<≤=
<≤=-≤=-=⎣
⎦ 【点睛】
本题考查正态分布，考查综合分析求解能力，属中档题
18．【分析】一位乘客是否在20层下电梯为一次试验这是5次独立重复试验用n 次独立重复试验概率公式即可求出P(X ＝4)【详解】一位乘客是否在20层下电梯为一次试验这是5次独立重复试验则有45所以故答案为【点
解析：10
243
【分析】
一位乘客是否在20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，153X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
～，，用n 次独立重复试验概率公式即可求出P (X ＝4). 【详解】
一位乘客是否在20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，153X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
～，，
则有()55
1233k
k
k P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，0123k =，
，，，4，5. 所以()4
1
45
1210433243
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭. 故答案为10
243
. 【点睛】
独立重复试验的特点：（1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；（2）每次试验的结果相互独立．
19．【分析】m 个电子元件中任一个电子元件损坏时这个仪表就不能工作故每个电子元件都正常时这个仪表能工作故这段时间内这个仪表能工作的概率是（1﹣P ）m 故这段时间内每个仪表不能工作的概率是1﹣（1﹣P ）m 【详 解析：()11m
p --
【分析】
m 个电子元件中任一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作，故每个电子元件都正常时，这个仪表能工作．故这段时间内这个仪表能工作的概率是（1﹣P ）m ，故这段时间内每个仪表不能工作的概率是1﹣（1﹣P ）m 【详解】
设电子元件损坏的个数为X ,则()~,X B m p ,
则这个仪表不能工作的概率()()()()0
1101111m
m
m P X P X C p p ≥=-==--=--.
故答案为()11m
p -- 【点睛】
本题考查独立事件、对立事件的概率，考查对事件的关系的理解和运用．
20．23【分析】由题意结合正态分布的性质首先求得之间的考生人数然后求解120分以上的考生人数即可【详解】在之间的为954在120分以上的为【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ
解析：23 【分析】
由题意结合正态分布的性质首先求得(80,120)之间的考生人数，然后求解120分以上的考生人数即可.
【详解】
(100,100),100,10N μσ==
在(2,2)(80,120)μσμσ-+=之间的为10000.954⨯=954.
∴在120分以上的为1
(1000954)232
⨯-=.
【点睛】
关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：
①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.
三、解答题
21．（1）12
；（2）（ⅰ）139532；（ⅱ）不应该.
【分析】
（1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过2台的概率即可； （2）（i ）求出X 的可能取值及其对应的概率，得出X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求出有5名维修工人时的工厂利润，得出结论． 【详解】
解：（1）因为该工厂只有2名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有2台大型机器出现故障．
∴该工厂正常运行的概率为：5142
2355
111111()C ()C ()()222222+⋅+⋅=⋅⋅． （2）（i ）X 的可能取值有31，44，
511(31)()232P X ===，131
(44)13232P X ==-=．
∴X 的分布列为：
∴ 3144323232
EX =⨯
+⨯=． （ⅱ）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行， 工厂所获利润为510 1.5542.5⨯-⨯=万元， 因为
1395
42.532
>， ∴该厂不应该再招聘1名维修工人． 【点睛】
本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．
22．（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21 【分析】
（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解； （2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解；
（ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由
()10
110.0228P =--即可得解.
【详解】
（1）由题知第三组的频率为
75
0.375200
=， 则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=，
第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，
所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，
故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯
4.6=；
（2）由题知170μ=， 2.14σ=
=
≈， （i ）()()167.86174.282P X P X μσμσ<<=-<<+
()()()
222
P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++
0.95440.6826
0.68260.81852
-=+
=；
（ii ）()()10.9544
174.2820.02282
P X P X μσ->=>+=
=， 故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：
()10
10110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题. 23．（1）分布列见解析；（2）()3E Y =，()2D Y = 【分析】
（1）根据抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面朝上的次数X 可能取值为0，1，2，然后利用独立重复实验求出相应的概率列出分布列.
（2）根据（1）利用期望与方差公式求得随机变量X 的期望与方差，然后由
()()()2121E Y E X E X =+=+，()()()214D Y D X D X =+=求解.
【详解】
随机变量X 的取值可以为0，1，2．
211(0)24P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()2
12111C 22P X ⎛⎫==⨯=
⎪⎝⎭；
2
22
11
(2)C 24
P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；．
因此，随机变量X 的分布列为：
1110121424EX =⨯+⨯+⨯=．()()()222
11110111214242
DX =-⨯+-⨯+-⨯=．
∴()()()21213E Y E X E X =+=+=， ∴()()()2142D Y D X D X =+==. 【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望与方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．（1）13
；（2）分布列见解析，1533.
【分析】
（1）记“该产品不能销售”为事件A ，则1
()1(19
1)(1)4
P A =--⨯-，计算得到答案. （2）X 的取值为-240，-130，-20，90，200，计算概率得到分布列，计算均值得到答案. 【详解】
（1）记“该产品不能销售”为事件A ，则11()1(1)(1)4193
P A =--⨯-=， 所以该产品不能销售的概率为
13
. （2）依据题意的，X 的取值为-240，-130，-20，90，200，
411(240)()381P X =-== ； 134128(130)()3381P X C =-==； 22241224(20)()()3381P X C =-== ；313
41232(90)()()3381P X C ===；
4216
(200)()381
P X ===.
所以X 的分布列为：
1()24013020902005381818181813
E X =-⨯
-⨯-⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查了概率的计算，分布列，均值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 25．（1）3（2）详见解析 【分析】
（1）选出的4名志愿全是女性，则从2名女医生选2人有2
2C 种选法，从3名女护士选2人有2
3C 选法，根据乘法原理可得答案.
（2）由题意有X 的取值可能为0,1,2,3，再分别计算出X 取各个值的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】
解：（1）从2名女医生选2人有22C 种选法，从3名女护士选2人有2
3C 选法 则选出的4名志愿全是女性有2
2
233C C ⋅=种不同的选法. 所以选出的4名志愿全是女性的选派方法数有3种， （2）X 的取值可能为0,1,2,3
()222322541
020
C C P X C C ===，
()11221132323122
547
120C C C C C C P X C C +===， ()221111
33323122
549
220C C C C C C P X C C +===， ()211
33122543
320
C C C P X C C ===，
列表如下：
∴()01232020202010
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查组合问题和求概率分布列以及数学期望，求概率分布列先要弄清楚随机变量的取值情况，准确求出其对应的概率时关键，属于中档题. 26．（Ⅰ）分布列见解析；()2E ξ=；（Ⅱ）7k =.
【分析】
（Ⅰ）由题意结合超几何分布的概率公式即可求得()0P ξ=、()1P ξ=、()2P ξ=、
()3P ξ=，进而可得分布列与期望；
（Ⅱ）由题意可知成绩时优良的人数210,
3X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
∼，由题意结合二项分布的概率公式可得()()1011011
1010101101110102121333321213333k k k k k k k k k k k k C C C C ------+-++⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩
，解不等式即可得解. 【详解】
（Ⅰ）由题意12人中有8人体质优良，ξ可能的取值为0，1，2，3，
()3
43121055C P C ξ===，()12843
1212
155
C C P C ξ⋅===， ()218431228255C C P C ξ⋅===，()383
1214
355
C P C ξ===， 所以ξ的分布列为：
数学期望()0123255555555
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=； （Ⅱ）由题意可知，抽取的10人中，成绩是优良的人数210,
3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∼， 所以()10102133k
k
k P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，0,1,210k =⋅⋅⋅，
令()()1011011
1010101101110102121333321213333k k k k k k k k k k k k C C C C ------+-++⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩
，解得192233k ≤≤， 又k ∈N ，所以7k =，
所以当7k =时，抽到k 人的成绩是优良的可能性最大. 【点睛】
本题考查了超几何分布及二项分布的应用，考查了离散型随机变量分布列及期望的求解，属于中档题.。