江苏省扬州中学2018-2019学年高二下学期5月月考试题数学(文)含答案

江苏省扬州中学2018-2019学年第二学期月考
高二数学(文)试卷2019.5
（本试卷满分160分，时间120分钟，请将答案写在答题纸上）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1.已知全集为R ，集合，则.
{}{}20,1,0A x x x B =-==-A B = 2.直线x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为________．
33.=.
sin(1740)-︒4.已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝，则m ＝________.
3
55.设，其中都是实数，则＝________.
(1)1i x yi +=+,x y x yi +6. 已知函数，则＝________. 32,0()tan ,02
x x f x x x π⎧≤⎪=⎨-<≤⎪⎩(())4f f π7. 观察下列各式：，……
223344551,3,4,7,11a b a b a b a b a b +=+=+=+=+=则=.
1010a b +8.已知，若，，则. 1a b >>5log log 2
a b b a +=b a a b =ab =9.已知，则.1cos sin 21cos sin x x x x
-+=-++tan x =10.在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，则“cosA>sinB”是“△ABC 是钝角三角形”的条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”)
11.在中，角的对边分别是，，的面积为
ABC ∆,,A B C ,,a b
c 8,10a b ==ABC ∆，则的最大角的正切值是.
ABC ∆
12.已知满足，则的单调递减区
32()f x x ax bx =++(1)(1)220f x f x ++-+=()f x 间是.
13.已知函数，若存在
2()2(),)f x ax g x a b R =-=∈满足是的最大值，是的最小值，则所有满足条件的整
0x 0()f x ()f x 0()g x ()g x 数对(,)
a b 是 .
14.已知方程恰有四个不同的实数根，当函数时，
2()()10f x kf x -+=2()x f x x e =实数的取值范围是.
k 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15．(本题满分14分)
已知复数在复平面内对应的点分别为12z z 、(2,1),(,3),A B a a R
-∈
(1)若,求的值;
1z -a (2)若复数对应的点在二、四象限的角平分线上,求的值.
12z z z =⨯a
16.(本题满分14分)
已知命题函数的图象与x 轴至多有一个交点，命题．
:p 2()2f x x mx m =-+2:log 11q m -≤(1)若q 为真命题，求实数m 的取值范围；
⌝(2)若p q 为假命题，求实数m 的取值范围．
∨17．(本题满分15分)
将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-
<<标不变，再向右平移个单位长度得到的图象．
6π
sin y x =(1)求函数的解析式；
()f x (2)当时，方程有唯一实数根，求的取值范围．
[]0,3x π∈()f x m =m
18．（本小题满分15分）
某度假山庄拟对一半径为1百米的圆形地块(如图)进行改造，在该地块上修建一个等腰梯形
的游泳池ABCD(A 、B 、C 、D 在圆周上)，其中，，圆心O 在梯形内部。

AB DC DAB=3
π∠设，当该游泳池的面积与周长之比最大时为“最佳泳池”。

DAO=θ∠(1)求梯形游泳池的面积S(百米2)关于的函数关系式
θ(化到最简形式)，并指明定义域；
(2)求当该游泳池为“最佳泳池”时的值。

tan θ19．(本小题满分16分)
已知函数，函数．
2()=42f x ax x -+()1()3f x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭Ⅰ若函数在和上单调性相反，求的解析式；
()()f x (],2-∞[)2,+∞()f x Ⅱ若，不等式在上恒成立，求的取值范围；()0a <()9g x ≤10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
a Ⅲ已知，若函数在内有且只有一个零点，试确定实数的取值()1a ≤2()log 8
x y f x =-[]1,2a 范围．
20. (本小题满分16分)
已知函数.
2()=4ln 1()f x x ax x a a R -+--+∈
(1)若,求的值；1()(2)02
f f +=a (2)若存在点，使函数的图象在点，
处的切线互相垂0x ∈()f x 00(,())x f x 00
11(,())f x x 直，求的最小值；
a (3)若函数在区间上有两个极值点，对任意的，求使恒成立的()f x ()1,+∞[)1,x ∈+∞()f x m <的取值范围。

(参考数据)
m ln 20.693≈
高二数学5月月考参考答案
1. 2.
6.-2
7.123{}1,0,1-3π
8. 8 9. 10.充要 或 12.4
3(1,3)
-13.(1,1)(1,3)---和
14.
2
2
4
,
4
e
e
⎛⎫
++∞ ⎪⎝⎭
15.解：（I）由复数的几何意义可知：．
z1=‒2+i,z2=a+3i
因为，所以．|z1‒z2|=5|‒2‒a‒2i|=(‒2‒a)2+(‒2)2=5解得或. ……7分
a=‒1a=‒3
（II）复数z=z1⋅z2=(‒2+i)(a‒3i)=(‒2a+3)+(a+6)i
由题意可知点在直线上
(‒2a+3，a+6)y=‒x
所以，解得. ……14分
a+6=‒(‒2a+3)a=9
16．（1）解：由，得，
2log 11m -≤21log 11m -≤-≤所以，解得，又因为真命题，所以或. 20log 2m ≤≤14m ≤≤q ⌝4m >1m <…………7分
（2）由函数图像与轴至多一个交点，所以2
()2+f x x mx m =-x ，
2(2)410m m ∆=--⨯⨯≤解得，…………9分
01m ≤≤所以当是假命题时，或，…………10分
p 0m <1m >由（1）为真命题，即是假命题，所以或，
q ⌝q 4m >1m <又为假命题，所以命题都是假命题， …………12分
p q ∨p q 、所以实数满足，解得或. …………14分
m 01
41m m m m <>⎧⎨><⎩或或4m >0m <17.
将的图象向左平移个单位长度得到的图象，保持纵坐标不变，(1)y =sinx π6y
=sin(x +π6)横坐标变为原来的2倍，得． ……7分
y =f(x)=sin(12x +π6)
，，，
(2)∵x ∈[0,3π]∴12x +π6∈[π6,5π3]sin(12x +π6)∈[‒1,1]当时，方程有唯一实数根，函数的图象和直线只有一个交∵x ∈[0,3π]f(x)=m ∴f(x)y =m 点，
如图所示：故方程有唯一实数根的m 的取值范围为
，． (15)
f(x)=m (‒32,12)∪{1‒1}分18.解：(1)分别取AB 、CD 的中点E 、F ，则E 、O 、F 三点共线，。

EF AB EF DC ⊥⊥，，2AB=2AE=2cos(),DC=2DF=2cos(),33πθπθ∴--2sin()sin()33
EF OE OF πθπθ=+=-+-。

又。

……4分，θ020********πθππππθθππθ⎧<<⎪⎪⎪<-<⇒<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩
所以112()[2cos()2cos()]3sin cos 2233
S AB CD EF πθπθθθθ=+⋅=-+-=。

……7分3sin 2,,263ππθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
(2)梯形ABCD 的周长，
2cos ,AD θ
=∴ 24cos l AB CD AD θθ=++=+游泳池的面积与周长之比。

(9)
分(),63S f l ππθθ⎛⎫=
=∈ ⎪⎝⎭
，则。

()f
θ'=()0f θ'=
3tan θ=记时，，单调增；时，，单调减；0tan θ=0(,)6πθθ∈0f '>f 0(,)3πθθ∈0f '<f
所以当时，该游泳池为“最佳泳池”。

……15分tan θ=19.Ⅰ由单调性知，函数为二次函数，
()f (x )=ax 2‒4x +2其对称轴为，解得，所求……3分
x =‒‒4
2a =2a =1∴f (x )=x 2‒4x +2.Ⅱ依题意得
，即在上恒成立，()(13)f (x )≤9=(13)‒2(13)ax 2‒4x +2≤(13)‒2x ∈(0,12]转化为在
上恒成立，在上恒成立，ax 2‒4x +2≥‒2x ∈(0,12]⇔ax 2‒4x +4≥0x ∈(0,12]转化为
在上恒成立，a ≥4x ‒4
x 2=4x ‒4x 2x ∈(0,12]令，则转化为在上恒成立
1x =t (t ≥2)a ≥4t ‒4t 2t ∈[2,+∞)即，所以 ……8分
a ≥(4t ‒4t 2)max a ≥‒8‒8≤a <0.Ⅲ，
()∵y =f (x )‒log 2x 8=ax 2‒4x +5‒log 2x 设，，，
r (x )=ax 2‒4x +5s (x )=log 2x x ∈[1,2]则原命题等价于两个函数与的图象在区间内有唯一交点．r (x )s (x )[1,2]当时，在内为减函数，，为增函数，a =0r (x )=‒4x +5[1,2]s (x )=log 2x x ∈[1,2]且，，函数在区间有唯一的交点；
r (1)=1>s (1)=0r (2)=‒3<s (2)=1∴当时，图象开口向下，对称轴为，
a <0r (x )x =2a <0在内为减函数，，为增函数，
∴r (x )[1,2]s (x )=log 2x x ∈[1,2]且，
{r (1)≥s (1)r (2)≤s (2) ⇒{a +1≥04a ‒3≤1 ⇒‒1≤a ≤1
.
∴‒1≤a <0当时，图象开口向上，对称轴为，0<a ≤1r (x )x =2a ≥2在内为减函数，，为增函数，
∴r (x )[1,2]s (x )=log 2x x ∈[1,2]则由，{r (1)≥s (1)r (2)≤s (2) ⇒{a +1≥04a ‒3≤1 ⇒‒1≤a ≤1. 综上，所求a 的取值范围为……16分
∴0<a ≤1[‒1,1]20.解：(1)代入解得 ……4分。

92a =
(2),由题意，代入化简得4()2f x x a x '=-+-00
1()(1f x f x ''=-.220000
116()8()50a x a x x x -++++=设，则在上有解.令，00
1(2,3)t x x =+∈228650t at a -++=(2,3)t ∈22()865f t t at a =-++由于，所以，即。

又，所以。

……8分2508a +>608
a >
0a >241600a ∆=-
≥a ≥当时，代入方程解得，符合要求，因此.
……10分a
=(2,3)t =min a =(3) ,令，由题意，在上有2424()2x ax f x x a x x
-+-'=-+-=2()24g x x ax =-+-(
)g x ()1,+∞两个不同的零点，则有. ……10分2320164(1)60
a a a g a ⎧∆=->⎪⎪>⇒<⎨⎪=-<⎪⎩设的两个极值点分别是(不妨)，则。

()f x 12,x x 121x x <<222-240x ax +-=,在上单调增，
.22
42a x x ∴=
+2x
=a ∈2x ∴∈且。

()()1122()(1,),,f x x x x x +∞在上减，在上增，在上增
222222222222
2222224()=()=4ln 1(24)4ln (2)1424ln 5,f x f x x ax x a x x x x x x x x x x ∴-+--+=-++--++=---+∈极大。

，则，因此
在24()24ln 5,h x x x x x x
=---+∈令222(1)(2)()0x x h x x --'=>()h x 上单调增.
.x
∈()(2)h h x h ∴<<。

又，. (16)
分()(72ln 2,34ln 2)h x ∴∈--(1)034ln 2f =<-34ln 2m ∴≥-。