期中复习——导数

导数
一．典例分析
考点1 ：导数的概念
平均变化率：
()()x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆00=()()x x x f x f ∆∆--00=()()x
x x f x x f ∆∆--∆+200
=
()()
x
x x f x x f ∆-∆+-∆-200
导数的定义：()x
y x f x ∆∆=→∆00lim
'
导数的实际意义：瞬时速度．瞬时变化率 导数的几何意义
例1． 已知函数42)(2-=x x f 图像上一点（1，-2）及邻近一点)2,1(y x ∆+-∆+，则x
y ∆∆等于（ ）
A ．4
B ．x 4
C ．x ∆+24
D ．2)(24x ∆+
变式训练1：若()1'0=x f ，则x
x f x x f x ∆-∆-→∆2)
()(lim
000
= 。

变式训练2：一木块沿某一斜面自由下滑 ，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为
2
8
1x s =
，则2=t 秒时，此木块在水平方向的瞬时速度是（ ） A ．2 B ．1 C ．21 D ．4
1
注意：当给出的点不是切点时，如：已知函数x x x f 3)(3
-=，过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程。

考点2：导数的运算
要求：熟练掌握导数的运算法则和常见函数的导数，并能熟练运用。

例2．已知函数()
()2
2332y x x =+-，则1'|x y ==（ ）
A ．19
B ．5
C ．11
D ．2
1889x x -+
变式训练1：x x y sin 2=，则='y （ ）
A ．x x sin 2
B ．x x cos 2
C ．x x x x cos cos 22
+ D ．x x x x cos sin 22
+
变式训练2：曲线y ＝x 3
在点P 处的切线斜率为3，则P 点的坐标为（ ）
A ．(－2，－8)
B ．(－1，－1)
C ．(－2，－8)或(2，8)
D ．(－1，－1)或(1，1)
考点3：导数的应用（单调性）
应用导数直接判断函数的单调性及单调区间 已知单调性求参数的取值范围 讨论函数的单调性
例3．函数4
2
25y x x =-+的单调减区间为（ ）
A 、(,1]-∞-和[0,1]
B ．(1,0)-和[1,)+∞
C ．[1,1]-
D ．(,1)-∞-和[1,)+∞
例4.已知1)6()(2
3
++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围为。

（ ） A ．21<<-a B ．63<<-a C ．21>-<a a 或 D ．63>-<a a 或
变式训练1：函数1ln 2)(2
+-=x x x f 的单调递增区间为（ ）
A ．)21,0(
B ．）
，及（∞+-2
1)0,21( C ．)21[∞+， D ．），及（210)21,(--∞
变式训练2：函数y ＝x 2e x
的单调递增区间为________．
变式训练3：若函数3()3f x ax x =++恰有3个单调区间，则a 的取值范围是 。

考点4：导数的应用（极值与最值）
直接利用导数求函数的极值与最值
利用函数存在极值的条件求参数的取值范围 利用导函数的图象分析原函数的性质 导数的综合应用 导数在生活实际中的应用
例5．函数f （x ）=x 3－3x +1在闭区间［－3，0］上的最大值．最小值分别是 （ ） A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17 D ．9，－19
例6．(2010天津高考，20)已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x
(x ∈R )，其中a ∈R . (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；
(2)当a ≠2
3
时，求函数f (x )的单调区间与极值．
例7．设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则导函数 y =f ′(x)的图象可能是（ ）
A B C D
变式训练1：函数2cos y x x =+在区间[0,]2π
上的最大值是 .
变式训练2：函数f （x ）=x 3－3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则 ( ) A ．0<b <1 B ．b <1 C ．b >0 D ．b <2
1
变式训练3：函数()y f x =的图象过原点且它的导函数()y f x '=的图象是 如图所示的一条直线，则()y f x =的图象的顶点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
变式训练4：圆柱形金属饮料罐容积为V （定值），它的高h ，半径r, 则h:r 等于（ ）时，最省材料.
A ．1:1
B ．2:1
C ．1:2
D ．
2:1
二．巩固训练
1．已知点P （1，2）是曲线3
2x y =上一点，则在点P 处的瞬时变化率是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
2、函数x
x y 1
3
-
=在点（1，0）处的切线方程是__________________ 3．已知曲线122
+=ax y 过点)3,(a ，则曲线过该点的切线方程是（ ） A ．14--=x y B ．14-=x y C ．114-=x y D ．74+-=x y
4．曲线3
y x =在点（1，1）处的切线与x 轴及直线1x =所围成的三角形的面积为（ ）
A ．
1
12
B ．
16 C ．13 D ．12
5．函数f （x ）=x x x 的导数是（ ）
A ．8
1
x
（x >0）
B ．
8
87x
（x >0） C ．
8
7
81x
（x >0） D ．
8
81x
-
6．()323
123
++++=
x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 （ ） A ．21
>-<b b ，或 B ．21≥-≤b b ，或 C ．21<<-b D ．21≤≤-b
7．若函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．),3
1(+∞ B ．)3
1,(-∞
C ．),3
1[+∞
D ．]3
1,(-∞
8．已知()1x f x e ax =--，若()f x 在定义域R 内单调递增，a 的取值范围是 。

9．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a
内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
10．已知函数2
3bx ax y +=，当x =1时，有极大值3，求a ，b 的值；
11．已知c bx ax x f ++=2
4
)(的图象经过点(0,1)，且在x=1处的切线方程是y=x －2，求
)(x f y =的解析式；
12．设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围
13、设函数()
2
()1x f x x e ax =--
（Ⅰ）若a=1
2
，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当x ≥0时()f x ≥0，求a 的取值范围。