山东省泰安一中、宁阳一中2021届高三数学上学期段考试题(三)(含解析)

山东省泰安一中、宁阳一中2021届高三数学上学期段考试题（三）（含
解析）
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
{}2
2|1|log 0A x x B x x =<=<,，则A
B =（ ）
A. (),1-∞
B. (0,1)
C. (1,0)-
D. ()1,1-
【答案】D 【解析】 【分析】
分别解一元二次不等式和对数不等式可得集合A ，B ，再根据并集的定义运算即可. 【详解】集合{}
()2
|11,1A x x =<=-，{}()2|log 00,1B x x =<=，
则()1,1A B ⋃=-， 故选：D .
【点睛】本题主要考查集合的并集的求法，考查一元二次不等式和对数不等式的解法，属于基础题.
2.若实数x y >，则（ ） A. 0.50.5log log x y > B. ||||x y C. 2
x xy >
D. 22x y >
【答案】D 【解析】 【分析】
由函数0.5log y x =的单调性可判断A ；举出反例1x =-，2y =-可判断BC ；直接根据不等式的性质即可判断D .
【详解】由于函数0.5log y x =在定义域内单调递减，故0.50.5log log x y <，故A 错误； 当1x =-，2y =-时，满足x y >成立，但||||x y 不成立，故B 错误；
当1x =-，2y =-时，满足x y >成立，但2
x xy >不成立，故C 错误；
直接根据不等式的性质可得D 正确，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了通过不等式的性质判断命题的真假，属于基础题. 3.设x ∈R ，则“12x +<”是“lg 0x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
解出不等式根据充分条件和必要条件的
定义分别进行判断即可.
【详解】由题解12x +<，解得：31x -<<，解lg 0x <可得：01x <<； 则31x -<<不能推出01x <<成立，01x <<能推出31x -<<成立， 所以“12x +<”是“lg 0x <”的必要不充分条件， 故选：B
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题.
4.已知,αβ是不重合的平面，,m n 是不重合的直线，则m α⊥的一个充分条件是( ) A. m n ⊥，n ⊂α
B. //m β，αβ⊥
C. n α⊥，n β⊥，m β⊥
D. n α
β=，αβ⊥，m n ⊥
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，分别分析每个答案，容易得出当n α⊥，n β⊥，得出//αβ，再m β⊥得出m α⊥，得出答案.
【详解】对于答案A ：m n ⊥，n α⊂，得出m 与α是相交的或是垂直的，故A 错； 答案B ：//m β，αβ⊥，得出m 与α是相交的、平行的都可以，故B 错； 答案C ：n α⊥，n β⊥，得出//αβ，再m β⊥得出m α⊥，故C 正确；
答案D: n αβ⋂=，αβ⊥，m n ⊥，得出m 与α是相交的或是垂直的，故D 错 故选C
【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.
5.已知正实数a ，b ，c 满足236log a log b log c ==，则（ ） A. a bc = B. 2b ac =
C. c ab =
D. 2c ab =
【答案】C 【解析】 【分析】
设236log log log a b c k ===，则2k a =，3k b =，6k c =，由此能推导出c ab =． 【详解】解：∵ 正实数a ，b ，c 满足236log log log a b c ==， ∴ 设236log log log a b c k ===， 则2k a =，3k b =，6k c =， ∴ c ab =． 故选C ．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.如图Rt ABC ∆中，2
ABC π
∠=
，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，
设AB a =，AC b =，则向量AD =（ ）
A. a b +
B.
1
2
a b + C. 12
a b +
D. 23
a b +
【答案】C 【解析】 【分析】
根据Rt ABC ∆中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO 为菱形，所以
1
2
AD AB AO a b =+=+．
【详解】解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2
ABC π
∠=，2AC AB =，
所以3
BAC π
∠=
，6
ACB π
∠=
，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，
所以6
ACB BAD CAD π
∠=∠=∠=
，
则根据圆的性质BD CD AB ==， 又因为在Rt ABC ∆中，1
2
AB AC r OD =
==， 所以四边形ABDO 为菱形，所以1
2AD AB AO a b =+=+．
故选C ．
【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．
7.设函数1
1
x f x a e （
）=+-，若f x （）为奇函数，则不等式()1f x >的解集为（ ）
A. 01（，）
B. 13n -∞（，）
C. 03ln （，）
D. 02（，）
【答案】C 【解析】 【
分析】
由f x （）为奇函数得到12a =
，再分析得到函数11
12
x f x e +-（
）＝在()0,+∞上为减函数且()()0f x f x >，在0∞（﹣，）上减函数且0f x （）＜，又由ln3
11
31,12
f ln e （）＝+=-则1f 3f x x f ln （）＞得到（）＞（），则有03x ln ＜＜，即不等式的解集为0 3.ln ，
【详解】根据题意，函数()1
1
x
f x a e =+-，其定义域为{}0x x ≠， 若()f x 为奇函数，则()()0,f x f x -+=
即11120,11x x a a a e e -⎛⎫⎛⎫
+++=-+=
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
解可得1,2a =则()1112x
f x e =+-. 又由1x
y e ＝﹣在0（，）
+∞为增函数，其0y ＞， 则11
12
x
f x e +-（
）＝在()0,+∞上为减函数且()0.f x >
则()f x 在0∞（﹣，）
上减函数且0f x （）＜，又由ln311
31,12
f ln e （）＝+=-则
13f x f x f ln ⇒（）＞（）＞（），则有03x ln ＜＜，即不等式的解集为0 3.ln ，
故选 C
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的单调性及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8.已知0,0,,a b a b >>的等比中项为2，则11
a b b a
+++的最小值为（ ） A. 3 B. 4
C. 5
D. 42
【答案】C 【解析】 【分析】
由等比中项得：4ab =，目标式子变形为
5
()4
a b +，再利用基本不等式求最小值. 【详解】11155
()()(1)()2544
a b a b a b a b a b ab b a ab ab ++++=++
=++=+≥⋅=， 等号成立当且仅当2a b ==，∴原式的最小值为5.
【点睛】利用基本不等式求最小值时，注意验证等号成立的条件. 9.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2
ϕπ
<
）的图象如图所示，令()()()g x f x f x '=+，则下列关于函数()g x 的说法中正确的是（ ）
A. 函数()g x 图象的对称轴方程为512
x k π
=π+()k ∈Z B. 函数()g x 的最大值为2
C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线31y x =-+平行
D. 若函数()()2h x g x =+的两个不同零点分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2
π 【答案】D
【解析】 【分析】
根据函数f （x ）的图象求出A 、T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，求出f ′（x ），写出g （x ）＝f （x ）+f ′（x ）的解析式，再判断题目中的选项是否正确． 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+）的图象知，
A ＝2，
24362
T πππ
=-=， ∴T ＝2π，ω2T
π
==1； 根据五点法画图知， 当x 6
π=
时，ωx +φ6
π
=
+φ0=
∴φ6
π=-
，
∴f （x ）＝2cos 6x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
∴f ′（x ）＝2sin 6x π⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭ ，
∴g （x ）＝f （x ）+f ′（x ） ＝2cos 6x π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
2sin 6x π⎛⎫
--
⎪⎝
⎭
＝ cos 12x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
令12
x k π
π+
=，k ∈Z ，
解得-
12
x k π
π= k ∈Z ，
∴函数g （x ）的对称轴方程为12
x k π
π=-,k ∈Z ，A 错误
当+
12
x π
=2k π，即212
x k π
π=-
时，函数g （x ）取得最大值，B 错误；
g ′（x ）＝+
12x π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
， 假设函数g （x ）的图象上存在点P （x 0，y 0），使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝-3x+1平行
则k ＝g ′（0x
）＝0+
12x π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
=-3
得0sin +
112x π⎛⎫
=> ⎪
⎝⎭,显然不成立，所以假设错误，即C 错误； 方程g （x ）＝-2，则
cos +
12x π⎛⎫
⎪⎝
⎭
＝2， ∴cos +12x π⎛⎫
⎪⎝
⎭
2
=
， ∴+12
x π
=
4
π+2k π或+12x π= 24k ππ-+ ,k ∈Z ；即x 2k π=+ 6π
或x 23k ππ=-,
k ∈Z
故方程的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为
2
π 12x x -的最小值为
2
π
，D 正确． 故选D ．
【点睛】本题考查了由()()cos f x A x ωϕ=+的部分图象确定解析式，三角函数的性质，也考查了导数的应用以及命题真假的判断问题，是中档题．
10.已知函数22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪
=⎨--≤⎪⎩
，若方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，则实数k
的取值范围是（ ） A. 1
(,1)3
B. 1(,2)3
C. 14(,)25
D. 1(,1)2
【答案】D 【解析】 【分析】
原题等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点，当直线1y kx =+与函数
()23
2
f x x x =--
相切时，12k =，当直线1y kx =+与函数()2ln f x x x x =-相切时，利
用导数的几何意义可得1k =，再结合图象即可得结果.
【详解】作出22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪
=⎨--≤⎪⎩
的图象如图所示，
方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，
等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点， 其临界位置为1y kx =+和两段曲线相切时， 当直线1y kx =+与函数()2
3
2
f x x x =--
相切时， 联立2
321
y x x y kx ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩得()2
22320x k x +++=，
由241270k k =+-=，解得1
2k =
或72
k =-（由图可得舍负） 当直线1y kx =+与函数()2ln f x x x x =-相切时， 设切点坐标为()0000,2ln x x x x -，
()1ln f x x '=-，切线的斜率为：01ln k x =-，
切线方程为()()000002ln 1ln y x x x x x x -+=--，
由于切线1y kx =+恒过()0,1，代入可得01x =，可得：1k =， 即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时， 实数k 的取值范围是1
12
k <<， 故选：D .
【点睛】本题主要考查了方程的根的个数与函数图象交点个数的关系及利用导数求函数图象的切线方程，有一定难度.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 11.在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A. 设O A B C 、、、是同一平面上的四个点，若(1)()OA m OB m OC m R =⋅+-⋅∈，则点
、、A B C 必共线
B. 若向量,a b 是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为
()c a b R λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量OA OB OC 、、满足,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫
⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭
则ABC ∆为等
腰三角形
D. 已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|
，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形
【答案】ACD 【解析】 【分析】
对于A ，根据共线定理判断A 、B 、C 三点共线即可；对于B ，根据平面向量的基本定理，判断命题错误；对于C ，根据向量的运算性质可得OA 为BC 的垂线且OA 在 BAC ∠的角平分线上，从而可判断C ；对于D ，根据平面向量的线性表示与数量积运算得出命题正确； 【详解】对于A ，()1()m OB m OC m R OA =⋅+-⋅∈， ∴()
OA OC m OB OC -=-，∴ C A mCB =，且有公共点C ， ∴则点A 、B 、C 共线，命题A 正确；
对于B ，根据平面向量的基本定理缺少条件,a b 不共线，故B 错误；
对于C ，由于 O A OB OA OC ⋅=⋅，即()
0OA OB OC ⋅-=， 0OA CB ⋅=，
得 O A CB ⊥，即OA 为BC 的垂线，
又由于||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，可得OA 在
BAC ∠的角平分线上， 综合得ABC ∆为等腰三角形，故C 正确；
对于D ，平面向量OA 、OB 、OC 满足()0OA OB OC r r ===>，且0OA OB OC ++=， ∴ O OA B OC +=-，∴2
2
2
2OA OA OB OB OC +⋅+=， 即2
2
2
2
2cos ,r r OA OB r r +⋅+=，∴1
cos ,2
OA OB =-
， ∴OA 、OB 的夹角为120︒，同理OA 、OC 的夹角也为120︒， ∴ABC 是等边三角形，故D 正确； 故选ACD .
【点睛】本题主要考查利用命题真假的判断考查了平面向量的综合应用问题，属于中档题. 12.已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表：
x
1-
0 4 5
()f x
1
2 2 1
()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，关于()f x 的命题正确的是（ ）
A. 函数()f x 是周期函数
B. 函数()f x 在[]0,2上是减函数
C. 函数()y f x a =-的零点个数可能为0，1，2，3，4 D 当12a <<时，函数()y f x a =-有 4个零点 【答案】BC
【解析】 【分析】
先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证即可得到答案.
【详解】由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：
由图得：A 为假命题，函数()f x 不能断定为是周期函数；
B 为真命题，因为在[0]2，
上导函数为负，故原函数递减； C 为真命题，动直线y a =与()y f x =图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，
故函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个；
D 为假命题，当a 离1非常接近时，对于第二个图，()y f x =有2个零点，也可以是3个零
点， 故选：BC .
【点睛】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系,二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减，考查了通过函数图象研究零点的个数，属于中档题. 13.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 无论点F 在1BC 上怎么移动，都有11A F B D ⊥
B. 当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1B D 相交于一点，记为点E ，且
12A E
EF
= C. 无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30 D. 当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60︒ 【答案】ABC 【解析】 【分析】
对于A ，直接证明1B D ⊥面11A BC 即可判断A ；对于B ，设A 1F 和B 1D 相交于点E ，则
11A DE
FB E ，所以11
1 A E DA EF B F
=，即可判断B ；对于C ，F 为BC 1中点时，最小角的正切值
为
23
23
>
，最小角大于30，即可判断C ；对于D ，当F 为BC 1中点时，最大角的余弦值为1611
632
62
OF A F ==<，最大角大于60︒，可判断D . 【详解】对于A 选项，在正方体中，易知1111AC B D ⊥，由1DD ⊥面1111D C B A 得111AC DD ⊥，
而11
11B D DD D =，故11A C ⊥面11DD B ，所以111AC B D ⊥，
同理可得：11BC B D ⊥，
又因为1111BC AC C ⋂=，所以1B D ⊥面11A BC ， 又1A F ⊂面11A BC ，∴11A F B D ⊥，即A 正确；
对于B 选项，当点F 为BC 1中点时，也是B 1C 的中点，它们共面于平面11A B CD ，且必相交，
设交点为E，连接A1D和B1F，如图所示：
因为11
A DE F
B E，所以11
1
2
A E DA
EF B F
==，故B正确；
对于C选项，当F从B移至C1时，异面直线A1F与CD所成角由大变小再变大，且F为BC1中点时，最小角的正切值为
2
23
2
12
=>，最小角大于
30，即C正确；
对于D选项，当点F在BC1上移动时，直线A1F与平面BDC1所成角由小变大再变小，如图所示，其中点O为A1在平面BDC1上的投影，
当F为BC1中点时，最大角的余弦值为
1
6
11
6
32
6
2
OF
A F
==<，最大角大于60︒，故D错误，
故选：ABC.
【点睛】本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等问题，考查学生的空间立体感和推理运算能力，属于中档题.
三.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
14.等比数列{}n a的各项均为正数，且463718
a a a a
+=，则
31323339log log log log a a a a +++
+=__________
【答案】9 【解析】 【分析】
由等比数列通项公式得53a =，再由9
31323935log log log log a a a a ++⋯+=，能求出结果.
【详解】∵等比数列{}n a 的各项均为正数，且463718a a a a +=， ∴由等比数列通项公式得53a =，
∴31323339log log log log a a a a +++⋯+()3129log a a a =⨯⨯⋯⨯
9
353log 9log 39a ===，
故答案为：9.
【点睛】本题主要考查对数式求值，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.
15.已知向量()()4,2,,1a b λ==，若a 与b 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______. 【答案】()1,22,2⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>，列出不等式解出λ，要去掉使a 与b 同向（a 与b 的夹角为0）的λ的取值. 【详解】∵a 与b 的夹角为锐角 ∴0a b ⋅>，即420λ+>，解得1
2
λ>-， 当2λ=时，a 与b 同向， ∴实数λ的取值范围是()1,22,2⎛⎫
-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
故答案为：()1,22,2⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭
.
【点睛】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.
16.已知数列{}n a 中，()*
112,1,n n n a n a a a n N +=-=+∈，若对于任意的[]2,2a ∈-，不等
式
21
211
n a t at n +<+-+恒成立，则t 的取值范围为__________． 【答案】(][),22,-∞-+∞
【解析】
由题设可得111n n n a a a n n +-=
+，即111
n n n a a n n
++=+，也即111(1)n n a a n n n n +=+++，所以
111
11
n n a a n n n n +=+-++，令1,2,3,n n =⋅⋅⋅可得
331212*********
,,,,21123223433411
n n a a a a a a a a n n n n +=+-=+-=+-⋅⋅⋅=+-++，将以上n 等式两边相加可得1111
1331111
n a a n n n +=+-=-<+++，所以2213t at +-≥，即2240t at +-≥，
令2
()24,[2,2]F a t at a =+-∈-，则2
2(2)020{{(2)020
F t t F t t -≥--≥⇒≥+-≥，解之得2t ≥或2t ≤-，
应填答案(,2][2,)-∞-+∞．
点睛：本题将数列的列项求和与不等式恒成立问题有机地加以整合，旨在考查数列通项递推关系，列项法求和，不等式恒成立等有关知识和方法．解答本题的关键是建立不等式组，求
解时借助一次函数的图像建立不等式组22(2)020
{{(2)020
F t t F t t -≥--≥⇒≥+-≥，最后通过解不等式组使
得问题巧妙获解．
17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，b =ABC ∆面积为
2
22)S b a c =
--，则角B = _______ ，ABC ∆面积S 的最大值为_____.
【答案】 (1). 56π
(2). 4-
【解析】 【分析】
用余弦定理代入三角形面积公式化简可得tan 3
B =-
，同时注意角的取值范围，即可求出
B ，利用余弦定理得228a c =+，结合基本不等式可得(82ac ≤，代入三角形
面积公式即可得结果.
【详解】
22231)2cos )sin 2
S b a c ac B ac B =
--=-=（
sin tan cos B B B ∴=
=(0,)B π∈，56
B π
∴=
，
1cos 2
B B ∴==. 由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-，
228a c =++（当且仅当a c =时取等号）
8(2
ac ∴≤
=
11
sin 424
S ac B ac ∴=
=≤-【点睛】本题主要考查通过余弦定理解三角形，三角形面积公式以及基本不等式的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．
四.解答题（本大题共6小题，第18题10分，第19-21题14分，第22-23题15分，共82分）
18.已知数列{}n a 中，3265,14a a a =+=，且122,2,2n n n a a a
++成等比数列，
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足1
(1)n n n b a n +=+-，求数列{}n b 的前2n 项和为2n T .
【答案】（1）21n a n =-；（2）24n n - 【解析】 【分析】 （1）由1
22,2,2n n n a
a a ++成等比数列，化简可得122n n n a a a ++=+，利用等差数列的通项公式可
得n a ；
（2）根据{}n b 通项公式的特征，采用分组求和、并项求和与等差数列前n 项和公式相结合的形式求和即可. 【详解】（1）∵1
22,2,2n n n a
a a ++成等比数列，
∴112
(2
)22n n n a a a ++=⋅，∴122n n n a a a ++=+，
∴数列{}n a 成等差数列， 由3265,14a a a =+=得1a 1,d 2，
∴21n a n =-
（2）∵1
(1)n n n b a n +=+-，
∴21221234212342n n n T b b b a a a a a n =+++=++-+++-+
+-
=122()[1234(21)2]n a a a n n ++++-+-+
+--
=[135(41)][(12)(34)(212)]n n n +++
+-+-+-++--
2(141)
(1)2
n n n +-+-⨯
=24n n -
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、并项求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 19.设函数()sin()cos()32f x x x π
πωω=-
+-，其中03ω<<.已知()03
f π
=. （1）求ω和()y f x =的周期.
（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
4
倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在,36ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最值.
【答案】（1）12ω=，4T π=；（2）最小值3
2
- 【解析】 【分析】
（1）利用三角恒等变换化函数()f x 为正弦型函数，根据()03
f π
=求出ω的值，进而可得
周期；
（2）写出()f x 解析式，利用平移法则写出()g x 的解析式，由,36x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
得22,333x π
ππ⎡⎤+
∈-⎢⎥⎣⎦
，结合正弦函数可得结果.
【详解】（1）因为1()sin()cos()sin sin 3222
f x x x x x x π
πωωωωω=-
+-=-+
3
sin )26
x x x π
ωωω=
=- 由题设知()03
f π
=，
所以
,36
k k Z ωππ
-=π∈，故1
32
k k Z ω=
+∈，， 又03ω<<，所以1
2
ω= 周期24T π
πω
=
=
（2）由（1）得1()sin()2
6
f x x π
=-
将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短为原来的1
4
倍（纵坐标不变），
得π26y x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
再将得到的图象向左平移
4
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，
则())3
g x x π
=+
，
当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦
所以当23
3
x π
π
+=-
，即3
x π
=-
时，()g x 取得最小值3
2
-
，
当23
2
x π
π
+
=
，即12
x π
=
时，()g x 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，将函数式化为
()
sin
y Aωxφ
=+的形式是解题的关键，属于中档题.
20.如图，某公园有三条观光大道,,
AB BC AC围成直角三角形，其中直角边200
BC m
=，斜边400
AB m
=.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在,,
AB BC AC大道上嬉戏，
（1）若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E，甲到达D，求此时甲、乙两人之间的距离；
（2）甲、乙、丙所在位置分别记为点,,
D E F.设CEFθ
∠=，乙、丙之间的距离是甲、乙之
间距离的2倍，且
3
DEF
π
∠=，请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离.
【答案】（1）7（2）
503
2
sin()
3
y
π
θ
θ
=≤≤
+
；503m
【解析】
【分析】
（1）由题意300
BD=，100
BE=，BDE中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；（2）BDE中，由正弦定理可得
2002cos
si si0
n n6
y y
θ
θ
-
=
︒
，可将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离.
【详解】（1）依题意得300,100
BD BE
==
在△ABC中，
1
cos
2
BC
B
AB
==，所以
3
B
π
=
在△BDE中，由余弦定理得2222cos
DE BD BE BD BE B
=+-⋅
=22
1
300100230010070000
2
+-⨯⨯⨯=，
所以1007
DE=
答：甲、乙两人之间的距离为7
（2）由题意得22,
EF DE y BDE CEFθ
==∠=∠=
在Rt CEF
∆中，cos2cos
CE EF CEF yθ
=⋅∠=
在△BDE中，由正弦定理得
sin sin
BE DE
BDE DBE
=
∠∠
即
2002cos
si si0
n n6
y y
θ
θ
-
=
︒
所以
1003503
,0
2
3cos sin sin()
3
y
π
θ
π
θθθ
==≤≤
++，所以当6
π
θ=时，y有最小值503答：甲、乙之间的最小距离为503m.
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
21.如图，在四棱锥P ABCD
-中，ABCD为矩形，APB
∆是以P
∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
(1)证明：平面PAD⊥平面PBC；
(2) M为直线PC的中点，且2
AP AD
==，求二面角A MD B
--的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；
310
.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由ABCD为矩形，得AD AB
⊥，再由面面垂直的性质可得AD⊥平面PAB，则AD PB
⊥，结合PA PB
⊥，由线面垂直的判定可得PB⊥平面PAD，进一步得到平面PAD⊥平面PBC；
（Ⅱ）取AB中点O，分别以,
OP OB所在直线为,x y轴建立空间直角坐标系，分别求出平面
MAD 与平面MBD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角
A MD
B --的余弦值，再由平方关系求得二面角A MD B --的正弦值．
【详解】（Ⅰ）证明：ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，
平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，
AD ∴⊥平面PAB ，则AD PB ⊥，
又PA PB ⊥，PA AD A ⋂=，
PB ∴⊥平面PAD ，而PB ⊂平面PBC ，
平面PAD ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系， 由2AP AD ==，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形， 得：()()()220,2,0,0,2,2,2,0,,122A D B M ⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
，
23223222,,1,,,1,,1222222MA MD MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
设平面MAD 的一个法向量为(),,m x y z =， 由232
022232
m MA x y z m MD x y z ⎧⋅=---=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,0m =-；
设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =，
由2
32
22
n MD x y z n MB x y z ⎧⋅=-
+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取1z =，得(),,n x y z =.
210cos ,10102
m n m n m n ⋅-∴===-⋅⨯． ∴二面角A MD B --的正弦值为
31010． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．
22.已知函数1
()ln f x a x x =-，a R ∈．
（1）若曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-．
【答案】（1）1（2）见解析（3）见解析
【解析】
【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x ，21
()a
f x x x '=+．
又曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，
所以(1)12f a '=+=，即1a =．
（2）由于21
()ax f x x ='+．
当0a ≥时，对于，有()0f x '>在定义域上恒成立，
即()f x 在上是增函数．
当0a <时，由()0f x '=，得．
当时，()0f x '>，()f x 单调递增；、
当时，()0f x '<，()f x 单调递减．
(3)当1a =时，1
(1)ln(1)1f x x x -=---，．、
令1
()ln(1)251g x x x x =---+-．
221
1
(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --=+-=----'．
当2x >时，()0g x '<，()
g x 单调递减． 又(2)0=g ，所以()g x 在
恒为负． 所以当
时，()0g x ≤． 即1ln(1)2501
x x x ---+≤-． 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x -≤-成立．
23.设函数()3()x f x mx e m R =-+∈.
（1）讨论函数()f x 的极值；
（2）若a 为整数，0m =，且(0,)x ∀∈+∞，不等式()[()2]2x a f x x --<+成立，求整数a 的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）求出函数()f x 的导数，分为0m ≤和0m >两种情形，结合极值的定义即可得结论；
（2）原不等式等价于2,01x x a x x e +<+>-，令()2,01
x x g x x x e +=+>-，根据导数和函数的最值的关系即可求出a 的最值.
【详解】（1）由题意可得()f x 的定义域为R ，
()'=-x f x m e
当0m ≤时，()0f x '<恒成立，
∴()f x 在R 上单调递减，()f x 无极值，
当0m >时，令()0f x '=，解得ln x m =，
当(ln ,)x m ∈+∞时， ()0,()f x f x '<单调递减， 当(ln )x m ∈-∞，
时，()0,()f x f x '
>，单调递增， ∴()f x 在ln x m =处取得极大值，且极大值为(ln )ln 3=-+f m m m m ，无极小值， 综上所述，当0m ≤时，无极值，
当0m >时，()f x 极大值为ln 3m m m -+，无极小值.
（2）把0()3
x m f x mx e =⎧⎨=-+⎩代入()[()2]2x a f x x --<+可得()(1)2x a x e x --<+， ∵0x >，则10x e -> ∴21
x x a x e +-<
-， ∴2,01
x x a x x e +<+>-(*) 令2()1x x g x x e +=+-， ∴2
(3)()(1)x x x e e x g x e --'=-， 由（1）可知，当1m =时，()3x
f x e x =-++在()0,∞+上单调递减， 故函数()3x h x e x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)0(2)0
h h <⎧⎨>⎩ ∴()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点0x 且0(1,2)x ∈
故()g x '在(0,)+∞上也存在唯一的零点且为0x
当0)(0x x ∈，时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，
∴min 0()()g x g x =
由0()0g x '=，可得003x e x =+，
∴00()1g x x =+，∴0()(2,3)g x ∈，
由(*)式等价于0()a g x <，
∴整数a 的最大值为2.
【点睛】本题考查了导数和函数的单调性极值最值得关系，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于难题.。