【高中数学】2013新题分类汇编：三角函数各类型试题汇总以及答案详解

三角函数
1、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且
sin θ＝－25
5
，则y ＝________.
2、 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则
cos2θ＝( )A ．－45 B ．－35 C.35 D.4
5
3、 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤－π6，π
4上的最大值和最小值．
4、若tan α＝3，则sin2α
cos 2α
的值等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
5、设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π
2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )
A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减
B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π
4单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭
⎫π4，3π
4单调递增 6、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图1－7，则f ⎝⎛⎭
⎫π
24＝( )
A ．2＋3 B.3 C.
3
3
D ．2－3 7、设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π
3
个单位长度后，所得的图像与原
图像重合，则ω的最小值等于( )
A.1
3
B ．3
C ．6
D ．9 8、已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝13
3
.
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π
6
处取得最大值，
且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．
9、已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π
3≤x ≤k π＋π，k ∈Z C.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 10、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .
(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭
⎫B ＋π
4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．
11、设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π
4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π
2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π
4
对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π
2
对称 12、若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦
⎤π3，π
2上单调递减，则ω＝
A.23
B.3
2
C ．2
D ．3
13、函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图1－1所示，则f (0)的值是________．
图1－1
6
2
【解析】 由图象可得A ＝2，周期为4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2，将⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2k π＋32π，即φ＝2k π＋π3，所以f (0)＝2sin φ＝2sin π3＝6
2.
课标文数7.C4[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.
若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π
2
时，f (x )取得最大值，则( )
A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数
B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数
C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数
D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数
A 【解析】 ∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π
2
，k ∈Z 且－π<φ≤π，
∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π3，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π
2
，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π
2
，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－52π，π2上递增． 大纲理数17. C5，C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .
【解答】 由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故
cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2cos2C .故22cos C ＋2
2
sin C ＝cos2C ，
cos(45°－C )＝cos2C .因为0°<C <90°，所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.
课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．
课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 27 【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，
由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3
sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .
所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A
＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝5
27
)
所以AB ＋2BC 的最大值为27.
课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .
(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π
6＝2cos A, 求A 的值； (2)若cos A ＝1
3
，b ＝3c ，求sin C 的值．
本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能
力．【解答】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π
6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A
＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π
3
.
(2)由cos A ＝1
3
，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且
B ＝π2，所以sin
C ＝cos A ＝13
.
课标理数6.C5[2011·浙江卷] 若0<α<π2，－π2<β<0，cos π4＋α＝13，cos π4－β2＝3
3，则cos α＋
β
2
＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69
C 【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝233.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2
<β<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝6
3，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭
⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.
大纲理数14.C6[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝5
5
，则tan2α＝________. －43 【解析】 ∵sin α＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－255，则tan α＝－12，tan2α＝2tan α1－tan 2α
＝2×⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－122＝－4
3.
课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14
，则tan α的值等于( ) A.22 B.3
3
C. 2
D. 3 D 【解析】 因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝1
4
，sin 2α
＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α
＝3，故选D.
课标理数7.C6[2011·辽宁卷] 设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝1
3，则sin2θ＝( )
A ．－79
B ．－19 C.19 D.79
A 【解析】 sin2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ.由于sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝1
3
，代入得sin2θ＝－7
9，故选A.
课标理数16.C7[2011·广东卷] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
13x －π6，x ∈R .
(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；
(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6
5
，求cos(α＋β)的值． 课标理数16.C7[2011·广东卷] 【解答】 (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭
⎫13×54π－π6 ＝2sin π4＝ 2.(2)∵1013＝f 3α＋π2＝2sin 13×3α＋π2－π
6
＝2sin α，
6
5
＝f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎡⎦⎤13×(3β＋2π)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cos β， ∴sin α＝513，cos β＝35
，又∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213， sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×1213－513×45＝16
65
. 课标文数16.C7[2011·广东卷] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
13x －π6，x ∈R .
(1)求f (0)的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6
5，求sin(α＋β)的值． 【解答】 (1)f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－2sin π
6
＝－1. (2)∵1013＝f 3α＋π2＝2sin 13×3α＋π2－π
6＝2sin α，
65＝f (3β＋2π)＝2sin 13×(3β＋2π)－π6＝2sin β＋π2＝2cos β，∴sin α＝513，cos β＝3
5，又α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45
， 故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×35＋1213×45＝63
65
.
课标理数15.C7[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭
⎫α
2＝2cos2α，求α的大小． 课标理数15.C7[2011·天津卷] 【解答】 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π
2
，k ∈Z .
所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪
x ≠π8＋k π2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π
2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2
α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0，因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12
.由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12. 课标文数16.C8[2011·安徽卷] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．
课标文数16.C8[2011·安徽卷] 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运
算求解能力．【解答】 由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，cos A ＝1
2
，sin A
＝32.再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22.由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2
，从而 cos B ＝1－sin 2B ＝22.由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝⎛⎭⎫32＋1
2.设边BC 上的高为h ，则有
h ＝b sin C ＝3＋1
2
.
课标理数14.C8[2011·安徽卷] 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________． 153【解析】 不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝
b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)
＝－12，解得b ＝10，所以c ＝6.所以S ＝1
2bc sin120°＝15 3.
课标理数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π
4
，tan A ＝2，则sin A ＝________；
a ＝________.【解析】 因为tan A ＝2，所以sin A ＝255；再由正弦定理有：a sin A ＝
b sin B ，即
a
25
5
＝5
22
，可得a ＝210.
课标文数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝1
3
，则a ＝________.
课标文数9.C8[2011·北京卷] 523 【解析】 由正弦定理有：a sin A ＝b sin B ，即a 13＝5
2
2
，得a
＝523.
大纲文数18.C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .
(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .
【解答】 由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .
故cos B ＝2
2，因此B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°
＝2＋64.故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6.
课标理数14.C8
图1－5
[2011·福建卷] 如图1－5，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________． 2
【解析】 在△ABC 中，由余弦定理，有
cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝(23)22×2×23＝32
，则∠ACB ＝30°.
在△ACD 中，由正弦定理，有
AD sin C ＝AC sin ∠ADC ，∴AD ＝AC ·sin30°
sin45°＝2×122
2＝2，即AD 的长度等于 2. 课标文数14.C8[2011·福建卷] 若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．
课标文数14.C8[2011·福建卷] 2 【解析】 方法一：由S △ABC ＝1
2
AC ·BC sin C ，得
1
2
AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2.由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°＝22＋22－2×2×2×1
2
＝4，∴ AB ＝2，即边AB 的长度等于2.
方法二：由S △AB C ＝1
2
AC ·BC sin C ，得
1
2
AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2.∴AC ＝BC ＝2, 又∠ACB ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB ＝2，即边AB 的长度等于2.
课标文理数16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已
知a ＝1，b ＝2，cos C ＝1
4
.
(1)求△ABC 的周长；(2)求cos(A －C )的值．
课标理数16.C8[2011·湖北卷] 【解答】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×1
4
＝4，
∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154，∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝15
8
. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝
1－⎝⎛⎭⎫1582＝7
8
. ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝11
16
.
课标理数17.C8[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C
＋cos C ＝1－sin C
2
.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．
课标理数17.C8[2011·江西卷] 【解答】 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sin
C
2
⎝⎛⎭⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C 2
，
由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12
，
两边平方得：sin C ＝3
4
.
(2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0得π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，则由sin C ＝34得cos C ＝－7
4，
由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2
＝0，则a ＝2，b ＝2. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1. 课标理数4.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B
＋b cos 2A ＝2a ，则b
a
＝( )
A ．2 3
B ．2 2 C. 3 D. 2
课标理数4.C8[2011·辽宁卷] D 【解析】 由正弦定理a sin A ＝b
sin B
得a sin B ＝b sin A ，所以
a sin A sin B ＋
b cos 2A ＝2a 化为b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，故选D.
课标文数17.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B
＋b cos 2A ＝2a .(1)求b
a
；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .
【解答】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .
故sin B ＝2sin A ，所以b
a ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝
b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c
.
由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝2
2
，所以B ＝45°.
课标文数15.C8[2011·课标全国卷] △ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．
1534 【解析】 解法1：由正弦定理，有AC sin B ＝AB sin C ，即7sin120°＝5
sin C
， 所以sin C ＝5sin120°7＝53
14
，
所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫53142＝11
14
，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝60°，
所以sin A ＝sin(60°－C )＝sin60°cos C －cos60°sin C ＝32×1114－12×5314＝33
14
，
所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×5×7×3314＝153
4
.
解法2：设BC ＝x (x >0)，由余弦定理，有cos120°＝52＋x 2－72
10x
，整理得x 2＋5x －24＝0，
解得x ＝3，或x ＝－8(舍去)，即BC ＝3
所以S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×sin120°＝12×5×3×32＝153
4
.
课标文数17.C8[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b .(1)求sin C sin A 的值；(2)若cos B ＝1
4
，△ABC 的周长为5，求b 的长．
【解答】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝k .则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B
.
所以原等式可化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A
sin B
.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，
化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sin C ＝2sin A ，
因此sin C sin A ＝2.(2)由正弦定理及sin C sin A ＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14
得
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×1
4
＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5.从而a ＝1，
因此b ＝2.
课标理数18.C8[2011·浙江卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .
已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝5
4
，b ＝1时，求a ，c 的值；
(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．
【解答】 (1)由题设并利用正弦定理，得⎩
⎨⎧
a ＋c ＝5
4，ac ＝14
，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14，或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝14，
c ＝1.
(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－1
2
b 2cos B ，即
p 2＝32＋12cos B ，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2，由题设知p ＞0，所以6
2
＜p ＜ 2.
课标文数17.C9[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A
＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝23
3
，求边c 的值．
【解答】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝1
3
.
(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋22
3
sin C ，代入cos B ＋cos C
＝233，得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2
.
则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝3
2
.
课标文数16.C9[2011·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B
＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝
⎛⎭⎫2A ＋π
4的值． 课标文数16.C9[2011·天津卷] 【解答】 (1)由B ＝C ，2b ＝3a ，可得c ＝b ＝3
2
a .
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×3
2
a
＝1
3.
(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，故cos2A ＝2cos 2A －1＝－7
9
.
sin2A ＝2sin A cos A ＝42
9.
所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝cos2A cos π4－sin2A sin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218
. 大纲理数16.C9[2011·重庆卷] 设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭
⎫－π3＝f (0)．求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤
π4，11π24上的最大值和最小值．
大纲理数16.C9[2011·重庆卷] 【解答】 f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a
2
sin2x －cos2x .
由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋1
2＝－1，解得a ＝2 3.因此f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，f (x )为增函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24时 ,2x －π6∈⎣⎡⎦
⎤π2，3π
4，f (x )为减函数．所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2.又因f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭
⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝⎛⎭
⎫11π24＝ 2. 大纲文数18.C9[2011·重庆卷] 设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R )． (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若函数y ＝f (x )的图象按b ＝⎝⎛⎭
⎫π4，3
2平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．大纲文数18.C9[2011·重庆卷]
【解答】 (1)f (x )＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )＝12sin2x ＋32cos2x ＋3
2
＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32.故f (x )的最小正周期为T ＝2π2
＝π. (2)依题意g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋3
2
＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π
6∈⎣⎡⎦
⎤－π6，π3，g (x )为增函数， 所以g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332.
[2011·济南三模] 函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为( ) A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，1
[2011·东城模拟] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，||φ＜π
2的部分图象如图所示． (1)求f (x )的最小正周期及解析式；
(2)设g (x )＝f (x )－cos 2x ，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦
⎤0，π
2上的最大值和最小值．
[2011·东北三校一模] 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若∠A ∶
∠B ＝1∶2，且a ∶b ＝1∶3，则cos2B 的值是( )
- 11 - A ．－12 B.12C ．－32 D.3
2
[2011·北京西城一模] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC
的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14
(b 2＋c 2－a 2)，则∠B ＝( ) A ．90° B ．60°
C ．45° D
．30°。