2018年中考数学一轮复习第四章三角形第2节三角形及其性质练习_64

第2节三角形及其性质
(必考，1～2道，近3年每年考查1道，4～19分)
玩转重庆10年中考真题(2008～2017年)
命题点直角三角形的相关证明及计算(10年13考，多在解答题中涉及考查)
1. (2013重庆B卷9题4分)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为( )
A. 2
B. 2 3
C.
3
3
＋1 D. 3＋1
第1题图
2. (2009重庆10题4分)如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是( )
A. ①②③
B. ①④⑤
C. ①③④
D. ③④⑤
第2题图
3. (2012重庆20题6分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)
第3题图
答案
1. D 【解析】∵CD ⊥AB ，∴△ADC 与△CDB 都是直角三角形．又∵∠A ＝45°，∠B ＝30°，CD ＝1，∴AD ＝1，CB ＝2CD ＝2，∴DB ＝BC 2－CD 2＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝1＋ 3.
2. B 【解析】如解图，连接CF ，由SAS 定理可证△CFE ≌△AFD ，∴∠CFE ＝∠AFD ，从而可证∠DFE ＝90°，DF ＝EF .∴△DEF 是等腰直角三角形，故①正确；当EF ⊥CB ，DF ⊥AC 时，易得四边形CDFE 为正方形，故②错误；∵△DEF 是等腰直角三角形，DE ＝2DF ，当DF 与AC 垂直时，DF 最小为4，DE 取最小值为42，故③错误；再由△CDF ≌△BEF 可知S 四边形CDFE
＝S △CDF ＋S △CEF ＝S △BEF ＋S △CEF ＝S △CFB ＝12
S △ABC ，保持不变，故④正确；△CDE 的最大面积等于四边形CDFE 的面积减去△DEF 的最小面积，由③可知S △DEF 最小＝12
×4×4＝8，又由④可得S 四边形CDFE ＝S △CFB ＝16，故⑤正确．综上可得正确的结论为①④⑤.
第2题解图
3. 解：∵△ABD 是等边三角形，
∴∠B ＝60°，(1分)
∵∠BAC ＝90°，
∴∠C ＝180°－90°－60°＝30°，
∴BC ＝2AB ＝4，(3分)
在Rt △ABC 中，由勾股定理得：
AC ＝BC 2－AB 2＝42－22＝23，
∴△ABC 的周长是AC ＋BC ＋AB ＝23＋4＋2＝6＋2 3.(6分)。