三模试卷

江苏省南通第一中学高三三模考试
数 学 试 题
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1.已知集合2
{|11120}A x x x =--<，集合{|2(31),}B x x n n N ==+∈，则B A = ．
2.若2,121=⋅+=z z i z １，则2z ＝ ．
3.一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图
如图所示，则容器的容积为 ．
4.已知点A ，过点A 的直线:(0)l x my n n =+>，若可行域00x my n x y ≤+⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
的外接圆的直径为20，则实数n = ．
5.若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a b 、的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．
6.已知y ()f x =是偶函数，当0>x 时4
()f x x x
=+
,且当[3,1]x ∈--时，()f x 的值域为[],n m ．则n m -的值是 ．
7.等差数列{}n a 中．10a ＜ 0 ，11a > 0 ．且1110||a a >，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使n S > 0 的n 的最小值为 ． 8.若将函数()y f x =的图象按向量(
,1)6
a π
=平移后得到函数52sin()16
y x π
=-
+的图象，则函数()y f x =单调递增区间是 ．
注 意 事 项
考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上． 2.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位；置作答一律无效． 3.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.
9.在ABC ∆中，已知角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且b
c
a B C -=
3cos cos ，又3=b ，则ABC ∆的面积的最大值为 ．
10.下列程序运行结果为 ．
i ←1 While i <7 i ←i +2 s ←2i +3 End While Print s End
11. 已知区域}1),({-≥=x y y x A ，区域}12),({--≤=x y y x B ，点P 在区域
B A M =，则1≤OP 的概率是 ．
12.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22
221(0,0)x y m n m n
-=>>有相同的焦点
(,0)c -（c ，0）若c 是,a m 的等比中项，2n 是22m 与 2c 的等差中项，则椭圆的离心率
是 ．
13.对于在区间[a ，b ]上有意义的两个函数)()(x n x m 与，如果对于区间[a ，b ]中的任意x 均有1|)()(|≤-x n x m ，则称)()(x n x m 与在[a ，b ]上是“密切函数”， [a ，b ]称为“密切区间”，若函数43)(2+-=x x x m 与32)(-=x x n 在区间[a ，b ]上是“密切函数”，则
密切区间为 ．
14. 给定正整数(2)n n ≥按右图方式构成倒立三角形数表，第一行依
次写上数l ，2，3，…，n ，在第一行的每相邻两个数正中间的下方
写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n 行)只有一个数，例如n =6时数表如图所,则当n ＝2009时最后一行的数是 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题共14分）
如图，在四棱锥P A B C D -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，
AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知4AD =
，BD =，28AB CD ==．
（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ？
A
B
C
M P
D
（Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积． 16.（本小题共14分）
已知二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量=a （sin x ，2），
=b （2sin x ，2
1
） ，=c （cos2x ，1） ，=d （1，2）， 当∈x [0，π]时，
求不等式f （b a ⋅）＞f （d c ⋅）的解集．
17.（本小题共15分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：313
8(0120).12800080
y x x x =
-+<≤已知甲、乙两地
相距100千米．
（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
18. （本小题共15分）
如图，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，1A 、2A 、1B 、2B 为椭圆C 的顶点．
（Ⅰ）设点)0,(0x M ，若当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的顶点时， ||PM 取得最大值
与最小值，求0x 的取值范围；
（Ⅱ）若椭圆C 上的点P 到焦点距离的最大值为3，最小值为1，且与直线:l y kx m =+相交于A ，B 两点（A B ，不是椭圆的左右顶点），并满足22BA AA ⊥．试研究：直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
19.（本小题共16分）
已知二次函数2
()f x ax bx =+满足条件:① (0)(1)f f =； ② ()f x 的最小值为18
-． (1) 求函数()f x 的解析式；
(2) 设数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()
45f n n T ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
, 求数列{}n a 的通项公式；
(3) 在(2)的条件下, 若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 试问数列{}n b 中第几项的值最小? 求出这个最小值．
20.（本小题共16分） 设函数()2ln q f x px x x =-
-，且()2p
f e qe e
=--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系；
（2）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （3）设2()e
g x x
=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()f x ＞0()g x 成立，求实数p 的取值范围.。