人教版数学八年级上册13.3《等边三角形的性质与判定》导学案

第十三章轴对称
13.3.2 等边三角形
第1课时等边三角形的性质与判定
学习目标：1．探索等边三角形的性质和判定．
2．能运用等边三角形的性质和判定进展计算和证明．
重点：等边三角形的性质和判定
难点：运用等边三角形的性质和判定进展计算和证明
一、知识链接
_________的三角形叫作等边三角形.
2.等腰三角形：
二、新知预习
要点归纳：等边三角形的三个内角都__________,并且每一个角都等于________. 类比学习二：等边三角形的判定
要点归纳：_______个角都相等的三角形是等边三角形.
三、自学自测
1.△ABC为等边三角形，那么∠A的度数是〔〕
A．30° B．45° C．60° D．90°
△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，那么△ABC的周长为______cm.
3.△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，那么∠B=______度.
四、我的疑惑
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课堂探究
一、要点探究
探究点1：等腰三角形的性质
典例精析
例1：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，假设∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角〞、三角形的内角和与外角的性质.
变式训练：
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
例2：△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
探究点2：等边三角形的判定
想一想：小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形〞，你同意吗？为什么？
1.顶角为60°的等腰三角形：
如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，求证：△ABC 是等边三角形. 证明：
°的等腰三角形： 证明：
要点归纳：有一个角是_____的等腰三角形是等边三角形.
典例精析
例3： 如图,在等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 、AC 的延长线上，且DE ∥BC ， 求证：△ADE 是等边三角形.
想一想： 假设点D 、E 在边AB 、AC 的反向延长线上，且DE ∥BC ，结论依然成立吗？
例4：等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．
A B
C A
D
E B C
A
D E B
C
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
针对训练
1.△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，那么△ABC的周长为〔〕
2.如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中与BD相等的线段有〔〕
第2题图第3题图
3.如图，△ABC是等边三角形, DE ∥BC,那么∠ADE=__________.
4.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
【变式题】△ABC为等边三角形，且DE⊥BC，垂足为D，EF⊥AC，垂足为E，FD⊥AB，垂足为F，那么△DEF是等边三角形吗？为什么？
二、课堂小结
等边三角形
性质判定
三边相等，三个角都等于_______. 三边相等
每一条边上的中线、高和这一边所
对的角的平分线互相重合
三角相等
3条对称轴有一个角等于____的等腰三角形
A
B C
D E
1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是〔 〕
A ．105°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
2.如图，等边三角形ABC 的三条角平分线交于点O ，DE ∥BC ，那么这个图形中的等腰三角形共有〔 〕
A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个
第2题图 第3题图 第4题图 3.在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC，BD=BF ，那么∠CDF 的度数是〔 〕 A ．10° B ．15° C ．20° D ．25°
4.如图,△ABC 和△ADE 都是等边三角形，△ABC 的周长为18cm,EC =2cm,那么△ADE 的周长是__________cm.
5.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB 为边在△ABC 外作等边△ABD ，E 是AB 的中点，连接CE 并延长交AD 于F ．求证：△AEF ≌△BEC ．
6.如图，A 、O 、D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，求∠AEB 的大小.
拓展提升
①、图②中，点C 为线段AB 上一点，△ACM 与△CBN 都是等边三角形． (1)如图①，线段AN 与线段BM 是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN 与MC 交于点E ，BM 与CN 交于点F ，探究△CEF 的形状，并证明你的结论．
当堂检测
A
C B
D
E
A
C
B D
E
O。