2018-2019学年广东省深圳市南山海德学校九年级(上)期中数学试卷卷(解析版)

2018-2019学年广东省深圳市南山海德学校九年级第一学期期中
数学试卷卷
一、选择题（共12小题每题3分共36分）
1．下列几何体中，左视图是圆的是（）
A．B．
C．D．
2．已知＝，那么的值为（）
A．B．C．D．﹣
3．若函数y＝kx k﹣3是反比例函数，则k＝（）
A．1B．﹣1C．2D．3
4．在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中80次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（）
A．40个B．32个C．48个D．24个
5．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（）
A．k＞﹣B．k＞4C．k＜﹣1D．k＜4
6．自今年6月底深圳开通地铁11号线以来，该线路七月份共乘载旅客120万人次，九月份共乘载旅客175万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）
A．120（1+x）2＝175B．120（1﹣x）2＝175
C．175（1+x）2＝120D．175（1﹣x）2＝120
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）
A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
8．为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树（AB）的高度为（）
A．12米B．米C．6米D．5.2米
9．如图所示，四边形ABCD是矩形，将它沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD 于点F，连接DE，若＝，则的值为（）
A．B．C．D．
10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）
A．20°B．25°C．30°D．40°
11．△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝2，将△AOC绕O点逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1交y轴于B（0，1）、若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标为（）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）12．如图，正方形ABCD的边长是3，点P、Q分别是AB、BC延长线上的点，且BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①OQ ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，＝，其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题【共4小题每题3分共12分
13．设x1，x2是一元二次方程x2+bx﹣8＝0的两根．已知x1＝4，则b＝．
14．某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，由于换季现准备降价销售，若每件降价0.5元，则每天可多售5件，为了尽快减少库存且每天要盈利1080元，每件应降价元．
15．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C 为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是．
16．如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于．
三、解答题【本题共7小题，其中第17题8分，第18题6分，第19题6分，第20题6分，第21题8分，第22题8分，第23题10分，共52分
17．解下列方程
（1）x2+4x+2＝0
（2）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）在第一象限网格内画出和△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，且△A1B1C1和△ABC的相似比为2：1；
（2）分别写出A1、B1点的坐标：A1、B1；
（3）求△A1B1C1的积为．
19．据不完全统计，截至4月29日，南开中学国际课程中心高2018级52名学生共收到美国、加拿大、英国等国家共计200余份名校录取通知书，学校公众号的小记者随机选取了其中四所大学：A：芝加哥大学、B：范德堡大学、C：纽约大学、D：南加州大学．统计了分别收到这四所大学录取通知的人数，绘制了如下两种不完整的统计图表：
（1）被这四所大学录取的学生共人次，m＝，并将条形统计图补充完整；
（2）小记者决定采用抽签方式从A，B，C，D四所学校里随机抽取两所进行介绍，请用树状图或列表法求所抽到的两所学校恰好是A和B的概率．
20．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A 点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
21．如图，有长为30米的篱笆、围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃．且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度a＝10米）．设花圃的一边AB长为x米，面积为y 平方米．
（1）y与x的函数关系式是：，自变量x的取值范围是；
（2）如果围成的花圃的面积为63平方米，试求宽AB的长．
22．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，
①求证：△AOF≌△BOE；
②连接EF，判断EF与BC的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，求的值．
23．如图②，在矩形ABCD中、AB＝6cm、BC＝8cm、E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发沿EF方向匀速运动，速度为1m/s．同时，点Q从点D出发沿DB 方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）如图②，过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；
（3）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，t＝s；
（4）当△PQF为等腰三角形时，请直接写出t的值：．
参考答案
一、选择题（共12小题每题3分共36分）
1．下列几何体中，左视图是圆的是（）
A．B．
C．D．
【分析】分别找到四个立体图形的左视图即可，左视图是从左面看所得到的平面图形．解：A、球的三视图都是圆，符合题意；
B、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；
C、圆锥的左视图是等腰三角形，不符合题意；
D、圆台的左视图是等腰梯形，不符合题意；
故选：A．
2．已知＝，那么的值为（）
A．B．C．D．﹣
【分析】直接利用已知将原式变形进而得出答案．
解：∵＝，
∴3a﹣3b＝2b，
则3a＝5b，
故＝．
故选：B．
3．若函数y＝kx k﹣3是反比例函数，则k＝（）
A．1B．﹣1C．2D．3
【分析】利用反比例函数定义进行解答即可．
解：由题意得：k﹣3＝﹣1，且k≠0，
解得：k＝2，
故选：C．
4．在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中80次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（）
A．40个B．32个C．48个D．24个
【分析】根据摸到黑球的概率和黑球的个数，可以求出袋中放入黑球后总的个数，然后再减去黑球个数，即可得到白球的个数．
解：由题意可得：
8÷﹣8＝32（个）
答：白球的个数大约有32个；
故选：B．
5．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（）
A．k＞﹣B．k＞4C．k＜﹣1D．k＜4
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×k2＝4k+1＞0，
∴k＞﹣．
故选：A．
6．自今年6月底深圳开通地铁11号线以来，该线路七月份共乘载旅客120万人次，九月份共乘载旅客175万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）
A．120（1+x）2＝175B．120（1﹣x）2＝175
C．175（1+x）2＝120D．175（1﹣x）2＝120
【分析】本题依题意可知8月份的人数＝120（1+x），则9月份的人数为：120（1+x）（1+x）．再令120（1+x）（1+x）＝175即可得出答案．
解：设每月的平均增长率为x，
依题意得：120（1+x）2＝175；
故选：A．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）
A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．
解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
8．为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树（AB）的高度为（）
A．12米B．米C．6米D．5.2米
【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
解：根据题意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则，即，
解得：AB＝6米．
故选：C．
9．如图所示，四边形ABCD是矩形，将它沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD 于点F，连接DE，若＝，则的值为（）
A．B．C．D．
【分析】根据翻折的性质可得∠BAC＝∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DCA＝∠BAC，从而得到∠EAC＝∠DCA，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF＝CF，再求出DF＝EF，从而得到△ACF 和△EDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出＝＝＝，设DF＝3x，FC＝5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．
解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BAC＝∠EAC，AE＝AB＝CD，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DCA，
设AE与CD相交于F，则AF＝CF，
∴AE﹣AF＝CD﹣CF，
即DF＝EF，
∴＝，
又∵∠AFC＝∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴＝＝，
设DF＝3x，FC＝5x，则AF＝5x，
在Rt△ADF中，AD＝＝＝4x，
又∵AB＝CD＝DF+FC＝3x+5x＝8x，
∴＝＝．
故选：C．
10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）
A．20°B．25°C．30°D．40°
【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH ⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选：A．
11．△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝2，将△AOC绕O点逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1交y轴于B（0，1）、若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标为（）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
【分析】过C1点作C1H⊥y轴于H，如图，利用旋转的性质得到OA1＝OA＝2，再根据相似的性质得到∠C1OB＝∠C1A1O，利用正切的定义得到tan∠C1A1B＝＝tan∠
C1OH＝＝，则可设C1（a，2a），接着证明△C1HB∽△A1OB，利用相似比得到＝，然后求出a即可得到点C1的坐标．
解：过C1点作C1H⊥y轴于H，如图，
∵△AOC绕O点逆时针旋转90°得到△A1OC1，
∴OA1＝OA＝2，
∵△C1OB∽△C1A1O，
∴∠C1OB＝∠C1A1O，
在Rt△OBA1中，OB＝1，
∴tan∠C1A1B＝＝，
在Rt△OC1H中，tan∠C1OH＝＝，
设C1（a，2a），
∵C1H∥OA1，
∴△C1HB∽△A1OB，
∴＝，即＝，解得a＝，
∴C1（，）．
故选：C．
12．如图，正方形ABCD的边长是3，点P、Q分别是AB、BC延长线上的点，且BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①OQ ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，＝，其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP，故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2＝OD•OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE•OP，故②错误；根据全等三角形的性质得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD ＝S四边形OECF，故③正确；根据相似三角形的性质得到BE＝，求得QE＝，QO＝，OE＝，由三角函数的定义即可判断④错误．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP，
故①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴＝，
∴AO2＝OD•OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE•OP，故②错误；
在△CQF与△BPE中
，
∴△CQF≌△BPE（AAS），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF，故③正确；∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵△PBE∽△PAD，
∴＝＝，
∴BE＝，
∴QE＝，
∵△QOE∽△PAD，
∴＝＝＝，
∴QO＝，OE＝，
∴AO＝5﹣QO＝，
∴tan∠OAE＝＝×＝，故④错误，
所以其中正确的结论是①③．共2个．
故选：B．
二、填空题【共4小题每题3分共12分
13．设x1，x2是一元二次方程x2+bx﹣8＝0的两根．已知x1＝4，则b＝﹣2．【分析】将x1＝4代入原方程可得出关于b的方程，解之即可得出b值．
解：∵x1＝4是一元二次方程x2+bx﹣8＝0的根，
∴42+4b﹣8＝0，
∴b＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，由于换季现准备降价销售，若每件降价0.5元，则每天可多售5件，为了尽快减少库存且每天要盈利1080元，每件应降价14元．
【分析】设每件降价x元，那么降价后每件盈利（20﹣x）元，每天销售的数量为（40+10x）件，根据每天要盈利1080元，即可列出方程．
解：设每件降价x元，那么降价后每件盈利（20﹣x）元，每天销售的数量为（40+10x）件；
可列方程为：（20﹣x）（40+10x）＝1080．
解得：x1＝2，x2＝14．
为了尽快减少库存，则每件降价14元，
答：每件应降价14元．
故答案为：14
15．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C 为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是﹣6．
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB＝3，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
16．如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于．
【分析】根据题目已知条件可推出，AA1＝OC＝，B1A2＝A1B1＝，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．
解：∵OB＝，OC＝1，
∴BC＝2，
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．
而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1＝60°，
∴∠COA1＝30°，则∠CA1O＝90°．
在Rt△CAA1中，AA1＝OC＝，
同理得：B1A2＝A1B1＝，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于．
三、解答题【本题共7小题，其中第17题8分，第18题6分，第19题6分，第20题6分，第21题8分，第22题8分，第23题10分，共52分
17．解下列方程
（1）x2+4x+2＝0
（2）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）
【分析】（1）利用配方法得到（x+2）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到（2x+1）2+3（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）x2+4x＝﹣2，
x2+4x+4＝2，
（x+2）2＝2，
x+2＝±，
所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）（2x+1）2+3（2x+1）＝0，
（2x+1）（2x+1+3）＝0，
2x+1＝0或2x+1+3＝0，
所以x1＝﹣，x2＝﹣2．
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）在第一象限网格内画出和△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，且△A1B1C1和△ABC的相似比为2：1；
（2）分别写出A1、B1点的坐标：A1（4，7）、B1（2，2）；
（3）求△A1B1C1的积为15．
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中所画出图形得出各点的坐标；
（3）利用△A1B1C1所在矩形面积，减去周围三角形的面积进而得出答案．
解：（1）如图所示，即为所求．
（2）由图形可知，A1（4，7），B1（2，2），
故答案为：（4，7），（2，2）；
（3）S＝5×
＝15，
故答案为：15．
19．据不完全统计，截至4月29日，南开中学国际课程中心高2018级52名学生共收到美国、加拿大、英国等国家共计200余份名校录取通知书，学校公众号的小记者随机选取了其中四所大学：A：芝加哥大学、B：范德堡大学、C：纽约大学、D：南加州大学．统计了分别收到这四所大学录取通知的人数，绘制了如下两种不完整的统计图表：
（1）被这四所大学录取的学生共15人次，m＝40，并将条形统计图补充完整；
（2）小记者决定采用抽签方式从A，B，C，D四所学校里随机抽取两所进行介绍，请用树状图或列表法求所抽到的两所学校恰好是A和B的概率．
【分析】（1）由B学校人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去A、B、C的人数求得D的人数，再用D学校人数除以总人数可得m的值．
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出含A和B的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）被这四所大学录取的学生共3÷20%＝15人次，
则D学校的人数为15﹣（2+3+4）＝6人次，
所以m%＝×100%＝40%，即m＝40，
补全图形如下：
故答案为：15、40；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中含A和B的结果数为2，
所以所抽到的两所学校恰好是A和B的概率＝＝．
20．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A 点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【分析】如图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性质求解．
解：∵∠MAC＝∠MOP＝90°，
∠AMC＝∠OMP，
∴△MAC∽△MOP．
∴，
即，
解得，MA＝5米；
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB＝1.5米，
∴小明的身影变短了5﹣1.5＝3.5米．
21．如图，有长为30米的篱笆、围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃．且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度a＝10米）．设花圃的一边AB长为x米，面积为y
平方米．
（1）y与x的函数关系式是：y＝﹣3x2+30x，自变量x的取值范围是≤x＜10；
（2）如果围成的花圃的面积为63平方米，试求宽AB的长．
【分析】（1）设AB长为x米，则BC长为：（30﹣3x）米，该花圃的面积为：（30﹣3x）x；进而得出函数关系即可；
（2）将y＝63代入（1）中所求的函数关系式，得出关于x的一元二次方程，解方程求出符合题意的x的值，即是所求AB的长．
解：（1）由题意得：
y＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x，
∵，
可得：≤x＜10，
故答案为：y＝﹣3x2+30x，≤x＜10；
（2）当y＝63时，﹣3x2+30x＝63，
解此方程得x1＝7，x2＝3．
当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；
当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；
故所围成的花圃的面积为63平方米时，宽AB的长为7米．
22．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，
①求证：△AOF≌△BOE；
②连接EF，判断EF与BC的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，求的值．
【分析】（1）①想办法证明∠AFO＝∠BEO即可解决问题．
②只要证明OE＝OF，即可推出∠OFE＝∠OCB，由此即可解决问题；
（2）只要证明△AOF∽△BOE，可得＝，再证明＝tan60°＝即可；解：（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AO＝BO，AC⊥BD，
∴∠AOF＝∠BOE＝90°
∴∠AFO+∠FAO＝90°
∵AG⊥BE，
∴∠AEG+∠GAE＝90°
∴∠AEG＝∠AFO
∴△AOF≌△BOE；
②EF∥BC，
理由如下：如图1中，连接EF．
由①得△AOF≌△BOE，
∴OE＝OF
∴∠OEF＝∠OFE＝45°
∴∠OEF＝∠OCB
∴EF∥BC．
（2）如图2中，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AC⊥BD，∠ABO＝60°，
∴∠FAO+∠AFO＝90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA＝90°，
∴∠AFO＝∠BEA，
又∵∠AOF＝∠BOE＝90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴＝，
∵∠ABO＝60°，AC⊥BD，
∴＝tan60°＝，
∴＝．
23．如图②，在矩形ABCD中、AB＝6cm、BC＝8cm、E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发沿EF方向匀速运动，速度为1m/s．同时，点Q从点D出发沿DB 方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）如图②，过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；
（3）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，t＝2s；
（4）当△PQF为等腰三角形时，请直接写出t的值：1或3或或秒．
【分析】（1）由矩形ABCD得AB∥CD，得出∠EBF＝∠CDB，由E、F分别是AB、BD 的中点，可得EF是△ABD的中位线，得出EF∥AD，进而得出EF∥BC，可得∠EFB＝∠CBD，即可得出△BEF∽△DCB；
（2）四边形EPQG为矩形时，△QPF∽△BEF，利用对应边成比例，即可求出t的值；（3）过点Q作QM⊥EF于点M，得出△QMF∽△BEF，把QM用t表示出来，即可表示△PQF的面积，求出t即可；
（4）分点Q在DF上，PF＝QF，点Q在BF上，PF＝QF，PQ＝FQ，PQ＝PF，四种情况讨论即可得出t的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EBF＝＝∠CDB，
∵E、F分别是AB、BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠EFB＝∠CBD，
∴△BEF∽△DCB；
（2）当四边形EPQG为矩形时，如图所示，
∵在矩形ABCD中、AB＝6cm、BC＝8cm，
∴BD＝10cm，AD＝BC＝8cm，
∵E、F分别是AB、BD的中点，
∴BF＝DF＝5cm，EF＝AD＝×8＝4cm，
∴QF＝（2t﹣5）cm，PF＝（4﹣t）cm，
∵四边形EPQG是矩形，
∴PQ∥BE，
∴△QPF∽△BEF，
∴，
∴，
解得：t＝，
∴当t＝时，四边形EPQG为矩形；
（3）如图，过点Q作QM⊥EF于点M，
由（2）可知BE＝3cm，BF＝DF＝5cm，则QF＝（5﹣2t）cm，∵QM⊥EF，
∴QM∥BE，
∴，
∴，
∴QM＝，
∴△PFQ＝PF•Q＝×（4﹣t）×＝0.6，
∴t1＝2，t2＝（舍去），
故答案为：2；
（4）当点Q在DF上，PF＝QF，如图所示，
∵PF＝（4﹣t）cm，QF＝（5﹣2t）cm，
∴4﹣t＝5﹣2t，
解得：t＝1，
当点Q在BF上，PF＝QF，如图所示，
∵PF＝（4﹣t）cm，QF＝（2t﹣5）cm，
∴4﹣t＝2t﹣5，
∴t＝3，
当点Q在BF上，PQ＝QF，如图所示，
过点Q作QG⊥EF于点G，则GQ∥BE，
∴△QGF∽△BEF，
∴，
∵PQ＝QF，
∴GF＝PF＝（4﹣t），
∴，
∴t＝，
当点Q在BF上，PQ＝PF，如图所示，
过点P作PM⊥BF于点M，则∠PMF＝∠BEF＝90°，
∵∠PFM＝∠BFE，
∴△PFM∽△BFE，
∴，
∵PQ＝PF，
∴MF＝QF＝（2t﹣5），
∴，
∴t＝，
综上所述，t＝1或3或或秒时，△PQF是等腰三角形．。