27变分与哈密顿原理

三、各原理在反映力学规律上的等价性： 1、由拉氏方程导出哈密顿原理： 将拉格朗日方程中各项乘以δqα ，对α 求和：
d L 1 dt q
s
L q 0 q
p2 t t 2

然后沿着 s 维空间一条可能的运动轨道 自两曲线共同端点P1至P2对 t 积分：
3、等时变分的运算法则：
d d ①、 dt ( q) ( dt q)
②、dt q(t )dt
t1
t2
其余的与微分运算类似，如： BA AB A B 2 B

二、哈密顿原理
S L L L L t qk qk t qk K 1 qk
2、由哈密顿原理导出正则方程 推导： H p q L L p q H 哈密顿函数： 代入： t Ldt 0
1
t2
中：


展开：t

2
t1
H H p p q q p dt 0 q q p d p q ( p q ) p q dt
例：虚功原理为变分的微分原理； 哈密顿原理为变分的积分原理；
一、函数与泛函： 1、函数： 若对于单元函数，则有： y f x 若对于多元函数，则有： y f x1 , x2 ,, xn 则 xi 称为自变量，y称为因变量； xi 构成数集。 2、泛函： y F ( g ( x)) 表示y 是x的泛函。 可将函数看成泛函的特例。 函数的极值条件是函数的微分等于零,即: ds 0 泛函的极值条件是? 泛函的变分等于零! 即: s 0 泛函有极值代表什么物理意义？
为哈密顿作用量 或：主函数
完整的保守系中，具有理想约束的质点系 在满足起止位置相同的所有可能运动中，真实 运动使哈密顿作用量取极值。
用统一的方法处理不同领域问题的定律。 L 哈密顿原理 运动方程 好处： ①只涉及系统的状态函数，如T、V，不涉及广 义坐标数量，可应用于无限自由度系统。
②作为一种变分原理，能用变分学的方法提供 动力学问题的直接近似解。 ③比拉格朗日方程更具有概括性，只用一个泛 函极值就可表示完整保守系统的运动规律。
( V T )dt 0
t1 t2
Ldt 0
t1
t2
3’、由哈密顿原理推导动力学普遍方程。 t2 推导： Ldt 0 保守系 W V 即：
(T V )dt 0 r F r )dt 0 (m r
2
t2
s
d L d L ( qk ) ( )qk ② k k dt q dt q
t2 s d L L L t2 qk t1 t1 qk k 1 qk k 1 dt qk ③ s t2
qk dt 0 t1 0 d L L 0 各δqk 相互独立，则只有： ( ) dt qk qk
t2 s L L L t2 q t1 t q q dt 0 q 1 1 1 q q s
曲线两端固定
0
L
Ldt 0
t2
Ldt 0
t1
t1 t2
即：保守力系作用下的哈密顿原理的数学表式。
1
p q
1 t2 t1
s
t2 s
0
t1
p q
1
s H H p p q ( p q )dt 0 q q 1 1 p s
H
H )dt 0 ( p q
t2 t1 t2 t1
( p q H )dt 0
t2 t1
p q /

H H [(q ) p ( p ) q ]dt 0 p q
0
0
0 反推? 自己推!
2’、由正则方程导出哈密顿原理 H H 推导： q p
n i 1
d (ri ri ) ri ri dt
作业：一、学习推导,
哈密顿原理

拉氏方程（哈氏方程、动力学 普遍方程）
Review：
①泊松括号：
f H f H [ f , H ] p q 1 q p
s
②泊松定理： 若f 和g 是广义的有势系的常数，则f，g的泊 松括号也是运动常数。 ③泊松括号表示的正则方程：
q q , H , 1, 2, s p p , H 形式更加完美、对称！
推导过程
第27讲 变分与哈密顿原理 力学原理： 不需要证明，由实践归纳出的最基本规律。 分类：不变分和变分原理 又都可细分为微分和积分形式。 1、不变分原理： 反映力学系统真实运动的普遍规律； 例：达朗伯原理为不变分的微分原理； 机械能守恒为不变分的积分原理； 2、变分原理： 提供一种准则，区分真实和可能运动；
q

t2
t1
t2 s d L L L ( q )dt ( q q )dt 0 t 1 q 1 dt q 1 q s

t2
t1
t2 s d L L L ( q )dt ( q q )dt 0 t1 q 1 dt q 1 q s
t2
泛函变分为：S Ldt Ldt
t1
t2
t1
泛函变分为： ① t
S
L L Ldt qk qk dt t1 t1 qk k 1 qk s s t2 t2 d L d L L ( qk )dt ( )qk dt t1 t1 k k qk k 1 dt q k 1 dt q
t2 t1
s
1
即： t2 Ldt 0
t1
L
3、由动力学普遍方程推导哈密顿原理。 n 推导： ( Fi mi ri ) ri 0 i d d d 1 ri ri (ri ri ) ri ri (ri ri ) (ri ri ) dt 2 dt dt n n n mi d Fi ri mi (ri ri ) (ri ri ) 0 dt 2 i i i n d T W W T mi (ri ri ) 0 dt i n t2 t 对 t 积分： ( W T )dt mi (ri ri ) / t12 0 t1 0 i t2 ( W T )dt 0 t1 系统主动力为有势力时： W V
s
d L L qk k 1 dt qk
0
qk dt
这恰是真实运动的拉格朗日方程。
故：保守系统的运动规律可由 t Ldt 0 给出。 1 t2 Ldt 0 为哈密顿原理 称 或：S 0 其中： S
t2

t1

t2
t1
Ldt
哈密顿原理表述：
s
即:
沿 s 维空间一条可能的运动轨道自 d ① ( p q )② p q 两曲线共同端点P1至P2对 t 积分： dt
t2
p q s H H (q )p ( p )q 0 p q 1 1
s s H H (q )p ( p )q dt 0 t1 p q 1 1 s s t2 t2 d H H p p q ( ( p q )dt q p q )dt 0 t1 t 1 p q 1 dt 1 s s t2 s H H t2 p p q ( p q t1 q p q )dt 0 t1 q 1 1 1 p ③ s 0 p q H
t1 t2
n t1 i 1 i i i i i
t1 t2

t2
t1
t2 n d mi (ri ri )dt ( Fi ri mi ri ri )dt 0 t1 dt i 1 i 1 n n t2 t2 mi ri ri t1 ( Fi mi ri ) ri dt 0 t1 i 1 i 1 n 0 0 ) r 0 ( Fi mi r i i

t2
t1
d L 1 dt q
s
L p1 t t1 q dt 0 q d L L d ( q ) (q )
dt q dt q
p q1...qs
M qk qk , t
B qkB , t2
函数L的等时变分为：
L L L qk qk qk k 1 qk
S
qk
M qk , t
A qkA , t1
构建泛函数： S

t2
t1
, t )dt L(q , q