函数的极值和最大解读

(1)
因此 x x0 时, f x 0;
x x 0 时 , f x 0
f ( x ) 在 x0 处取得极大值 . (2)可类似证明.
一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p， 其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数 为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。
得到两种情况： １若p*＜q，则∏′ (p*)=０即p*=(a+cb)/2b这显然是垄断厂商 利润最大化价格。约束价格没有约束力。厂商价格相对监管 者允许的价额低，看起来对消费者是好事，但实际上只是说 明监管是无效的。
２若p*=q，则监管有效∏′ (p*) ＞０或者监管无效∏′ (p*)=０ 。
二、函数的最大、最小值
一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p， 其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数 为C=25x，图书的作者可以得到每本卖出的书的销售价格 的１０％作为版权费，考虑厂商的利润最大化价格和最 大化利润。 作者的收入Ｙ(x)=０.1px＝０.1R(ｘ)=0.1(100x-x2) 出版商的利润∏(x)=R(x)-C(x)-Y(x)=65-0.9x2
一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p， 其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数 为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。
反需求函数为 P=100-x
厂商的利润 ∏(x)=px-C=100x-x2-25x
x*表示使厂商利润最大化的产量，可得
∏′ (x*)=100-x-25=０
a 0
b
x
注
1) 若 f(x) 在一个区间内可导且只有一个驻点
x0 ,且 x0
是 f(x) 的极大值点 (极小值点), 则 f ( x0 ) 就是 f(x) 在
该区间上的最大值 (最小值). 2) 实际问题中, 若根据问题的性质可以断定可导函数 f ( x ) 确有最大值(或最小值), 并且一定在定义区间内部 取得, 而此时 f ( x )在定义区间内部只有一个驻点 x0 , 则可断定 f ( x0 ) 是最大值(或最小值)。
作者的希望销售量 x*=50 销售价格P*=50
出版商的希望销售量 x*=36.1 销售价格P*=63.9 出版商总是定一个更高的价格而卖出比作者希望的数量少 的书。
作者的收入Ｙ(x)=rpx
,0<r<1
出版商的利润∏(x)=R(x)-C(x)-Y(x)=(1-r)R(x)-C(x) 最大化Y(x)得到Y′(x)=0= R′(x) 出版商最大利润∏′(x)=0， R′(x)=C′(x)/(1-r)
f x 0 的 符 号 判 定 f x 0 是 极 大 值 还 是 极 小 值 但 ， f x 0 0， 则 用 第 二 充 分 条 件 法 无判 定 。
例
解
求 f x ( x 2 1) 3 1的极值 .
f x 6 x( x 2 1) 2
函数的极值和最大、最小值
中国青年政治学院 邓艳娟
一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p， 其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成ห้องสมุดไป่ตู้函数 为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。
反需求函数为 厂商的利润
P=100-x
∏(x)=px-C=100x-x2-25x
一、函数的极值 1、定义
厂商成本函数
C(p)=cx=ca-cbp
问题：max∏(p)=ap-bp2-(ca-cbp) s.t. q≥p
二、函数的最大、最小值
小值 1. f x 在 a, b 上连续，在a, b内可导，求最大值和最
端点 最大（小）值点
内部 ——驻点
y
求出端点和驻点的函数值， 其中最大（小）的就是函 数的最大（小）值
1 2
f x 0 0 时 , f x 0 为极大值 ;
f x 0 0 时 , f x 0 为极小值.
证
f x f x0 f x0 lim 0 x x0 x x0 f x f x 0 在x 0附近，有 0 极限保号性 x x0 f x 0, 即f x 与x x0 异号。 x x0
设 f(x) 在区间 (a, b) 内有定义,
y
y f ( x)
x0 是 (a, b) 内的一点. 如果对于 x0 的一个去心邻域内的任何点 x ,
都有
f ( x) f ( x0 )
( f ( x ) f ( x0 ) ),
0
x0
x
则称 f ( x0 ) 是 f(x) 的一个极大值 ( 极小值 ). 极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
反需求函数为 厂商的利润
P=100-x
∏(x)=px-C=100x-x2-25x
∏"(x)=-2<0
例 解
求 f x 0.1x 3 2 x 2 50x 200 的极值 .
f x 0.3 x 2 4 x 50
令 y 0
得 驻点x1 7.86,
y
y f ( x)
y
y f ( x)
f ( x0 )
o
a
x0
x
b
o
f ( x0 )
a
x0
x
b
一个区间上最优化 问题１ 如果x*是问题 maxf(x) s.t. a≤x≤b的一个最优解，则它 至少满足下面一个条件： f′(x*) ≤0 且 (x*-a) f′(x*) =0 f′(x*) ≥0 且(b-x*) f′(x*) =0 其中如果函数同时满足两个条件且f′(a) ≠0，f′(b) ≠0，我 们一定有a＜x*＜b。 问题２ 如果x*是问题 minf(x) s.t. a≤x≤b的一个最优解，则它 至少满足下面一个条件： f′(x*) ≥ 0 且 (x*-a) f′(x*) =0 f′(x*) ≤ 0 且(b-x*) f′(x*) =0 其中如果函数同时满足两个条件且f′(a) ≠0，f′(b) ≠0，我 们一定有a＜x*＜b。
x 取 x0右侧邻近的值时 , f ( x) 恒为负(正),
那么 f ( x) 在 x0 处取得极大值 (极小值);
(2) x 取 x0 左右两侧邻近的值时 , f ( x)恒正或恒负 ,
y
则函数 f ( x)在 x0 处没有极值 . y f ( x ) 0 y f ( x ) 0 f ( x) 0
x2 21.20
f '' x 0.6 x 4
而 f '' 7.86 0
f 极小 7.86 -420.88
f '' 21.2 0
f 极大21.2 806.07
注 若驻点 x 0 处f x 0 0, 则x 0 一 定 是 极 值 点 ， 且 可 用
f ( x ) 0
y
f ( x ) 0
f ( x ) 0
f ( x ) 0
f ( x ) 0
0
x0 (a)
x
0
x0 (b)
x
0
x0 ( c)
x
0
x0 (d)
x
求函数的极值可按如下步骤进行: （1）求定义域 （2）求使 f’(x)=0 的点，或使 f’(x) 不存在的点 （3）上述各点把定义域分成若干个区间，列表讨论在 各个区间上的单调性，并求极值。
∏′(x*)=100-2x- 0.3x2+6x-50 =０
例 解
求 f x 0.1x 3 2 x 2 50x 200 的极值 .
(1)f x 0.3 x 2 4 x 50
(2) 令 y 0
得 驻点x1 7.86,
x2 21.20
x
令 f ( x ) 0
2.5 2 1.5 1
得 x1 1, x 2 0, x 3 1
f x 6( x 2 1)(5 x 2 1)
f 0 0,
0.5
f 0 0为极小值 .
-2
-1
1
2
一 f 1 0， 方 法 二 失 效 ， 用 方 法 .
只要边际成本大于零，即Ｃ′＞０，出版商的期望销售量 肯定和作者的期望销售量不同，由于我们通常假设边际收 入随产量的增加而减少即 Ｒ′ ′ ＜０。所以出版商总是定 一个更高的价格而卖出比作者希望的数量少的书。
4、第二充分条件
设 f(x) 在 x0 处具有二阶导数且 f ( x 0 ) 0 , f ( x 0 ) 0 , 那么
点 2. f x 在 a, b 上连续，在a, b内至多有有限个不可导 和至多有有限个驻点
端点 最大（小）值点
内部 ——驻点、不可导点
求出端点、不可导点和驻点的函数值，其中最大（小 ）的就是函数的最大（小）值
注（1）极值是局部概念，不同于最大（小）值，极小值不一
定小于极大值。 （2）极值点不能在端点
设 f x 在 x0 处可导且取得极值 f x0 , 则 f x0 0
2、必要条件
证
假定 f ( x0 ) 是极大值
f x0 lim
x x0 0
f x f x0 x x0 时， 0 x x0
f '( x)
f ( x)
, - 7.86 7.86 - 7.86,21.20 21.20 21.20,

0
极 小

0
极 大

f 极小 7.86 -420.88
f 极大21.2 806.07
厂商的利润最大化价格P*=100-x*=78.80和
最大化利润∏(x*)=806.07。
由此， f x 的极值点一定为其驻点 ，但反之不然，如 y x3
在x 0处有f x 0, 但x 0不是极值点 .
3、第一充分条件 设 f(x) 在 x0 的一个去心邻域内可导且 f ( x0 ) 0
(1) x 取 x0左侧邻近的值时 , f ( x) 恒为正 (负),
假设垄断厂商有线性需求函数x=a-bp，其中x是需求，p是价格 ，且总有一个线性总成本函数C=cx。但是这个垄断者不能自由 的选择它的价格。一个监管机构设定了一个它能要求的最大价 格q。其中q≥c，否则这个厂商将会倒闭。 问题：max∏(p)=ap-bp2-(ca-cbp) s.t. q≥p 厂商收入函数 R(p)=px=ap-bp2 厂商成本函数 C(p)=cx=ca-cbp 由问题１得到∏′ (p*)=a-2bp*+cb ≥0且 (q-p*)∏′ (p*)=０
f x f x0 x x 0 时, 0 x x0
f x f x0 f x0 lim 0 x x0 0 x x0
f x f x0 0 x x0
f ( x0 ) 0
(极小值的情况可类似证明)
方程f x 0的实根 x称为f x 的驻点.
x在 1的左右两侧附近时， f x 0
f 1不是极值 .
f 1不是极值 .
x在 1的左右两侧附近时， f x 0
假设垄断厂商有线性需求函数x=a-bp，其中x是需求，p 是价格，且总有一个线性总成本函数C=cx。但是这个垄 断者不能自由的选择它的价格。一个监管机构设定了一 个它能要求的最大价格q。其中q≥c，否则这个厂商将会 倒闭。 厂商收入函数 R(p)=px=ap-bp2
x*=37.5
厂商的利润最大化价格P*=100-x*=62.5和
最大化利润∏(x*)=1406.25。
一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p， 其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数 为C=0.1x３-３x２+50x+200，考虑厂商的利润最大化价格 和最大化利润。
厂商的利润 ∏(x)=100x-x2- [0.1x３-３x２+50x+200]