北京市中关村中学2023-2024学年高二下学期期中调研数学试题(含简单答案)

北京市中关村中学2023-2024学年高二下学期期中调研
数学
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（共40分）
一、选择题，本部分共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.
1已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 下列函数的求导正确的是（）
A. B. C. D.
3. 已知函数，则函数极小值点为（）
A.
或 B. C. D.
4. 函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
5. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点E为中点，若直线
与所成的角为，则三棱锥的体积等于（）
.
的
{}
23,
x
A x
=≥
∣{}
2
log1
B x x
=<
∣A B
⋃=
[)
2
log3,2(]2
0,log3(0,)
+∞(]2
,log3
-∞
()e e
x x
--
'=22
(ln)
x
x
'=()1
e ln3e
3
x x
'
+=+()22
x-'=-
()cos,[0,π]
2
x
f x x x
=+∈()
f x
π
6
5π
6
ππ
612
⎛⎫
+
⎪
⎪
⎝⎭
5π15π
,
6212
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
5π
6
()()
22e x
f x x x
=-
A BCD
-,,
DA DB DC2
DB DC
==BC
AE CD60︒A BCD
-
A.
B.
C. 2
D.
6. 已知函数若对于任意都有，则实数的范围是（ ）A. B. C. D.
7. 已知直线与圆交于A ，B 两点，且为等边三角形，则m 的值为（ ）A. B. C. D.
8. 一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位：是小球相对于平衡
点的位移，(单位：)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，（ ）A. 1
B.
C.
D.
9. 已知等比数列满足，记，则数列（ ）A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项
D. 无最大项，无最小项
10. 已知数列满足，.给出下列四个结论：①数列每一项都满足；②数列的前n 项和；③数列每一项都满足成立；④数列每一项都满足.
其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①③
B. ②④
C. ①③④
D.
①②④
23
4
3
()ln .f x ax x =-120,x x >>()()12f x f x <a [)
0,∞+(]
,0-∞()
,0∞-(]
,1-∞y x m =+22:4O x y +=AOB
V
2
±()10sin 3x t t ππ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭()x t )cm t s t =5
6
12
13
{}n a 11
32,2
a q ==-()12n n T a a a n +=∈N {}n T {}n a 11a =2
112
n n n a a a +=-
{}n a n a *
01()n a n <≤∈N {}n a 2n S <{}n a 2
1
n a n ≤
+{}n a n a 1
*1(()2
n n a n -≥∈N
第二部分（共110分）
二、填空题，本题共5小题，每题5分，共25分．
11.
双曲线的实轴长为______，渐近线方程为______．
12. 在复平面内，复数对应点的坐标为，则的虚部为__________,
______．13. 已知数列的前项和为，若，则______，数列的前项和______．
14. 已知等边的边长为，分别是的中点，则_______；若是线段上的动点，且，则的最小值为_______．15. 已知函数的部分图像如图所示．
（1）函数的最小正周期为______．
（2）将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为偶函数，则的最小值是______．
三、解答题，本题共6小题，共85分，请将答案写在答题卡相应位置．
16. 已知数列的前项和为，且满足．（1）若成等比数列，求的值；
（2）若数列为等比数列，，求数列的前项和．
（3）设，直接写出数列的最小项．
17. 在中，．（1）求角的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求
的面积．
的22
1259
y x -=z (1,2)Z z i
z
={}n a n n S 31n n S a -=n a ={}
n a n n T =ABC V 4E F ，，AB AC EF EA ⋅=
M N ，
BC 1MN =EM EN ⋅
()2sin()f x x ωϕ=+()f x ()f x (0)t t >()g x ()g x t {}n a n n S 12,n n a a +=+23S a =13,,m a a a m {}n n a b +1122a b ,a b =={}n b n n T 2217
1
n n n n a a c a -+=-{}n c ABC V cos cos 2cos b C c B a A +=A ABC V ABC V
条件①：；条件②：；条件③：
．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，
，.
（1）求证：；
（2）若直线与平面
，求的长度.19. 已知函数，其中．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数在上的最大值；（3）当时，求函数的单调区间；（4）证明：当时，函数有且仅有一个零点．20. 已知椭圆：的一个焦点为，且过点.
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，点满足
轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
21. 集合，集合，若集合中元素个数为
，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”．的2c a =8c =1cos 7
C =
1111ABCD A B C D -ABCD 11A ADD ⊥ABCD 2AD =11AA A D =1A D AB ⊥AB 11A DC 1AA ()()2
ln 21f x x ax a x =+-+a ∈R 1a =()y f x =()()
1,1f 1a =()f x (]0,21
2
a ≤
()f x 10,
2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
()f x C ()22
2210x y a b a b
+=>>()1,0F 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ()4,0P x l C A B 1x =Q M MP x ⊥//MB x MA MQ {}()*
12,,,,1,2,,n i S a a a a i n =∈=N {}
,1ij
ij i j T b b a a i j n ==+≤<≤∣T (1)
2
n n -S
（1）判断集合是否为“好集合”；（2）若集合是“好集合”，求的值．
北京市中关村中学2023-2024学年高二下学期期中调研
数学 简要答案
第一部分（共40分）
一、选择题，本部分共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.
【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】D 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】D 【8题答案】【答案】D 【9题答案】
12{1,2,3},{1,2,3,4}S S ==3{1,3,5,}(5)S m m =>m
【答案】A 【10题答案】【答案】C
第二部分（共110分）
二、填空题，本题共5小题，每题5分，共25分．
【11题答案】【答案】
①. 10
②. 【12题答案】【答案】
①.
②.
【13题答案】
【答案】 ①. ②. 【14题答案】【答案】
①. ②.
##【15题答案】【答案】
①.
. ②.
.
三、解答题，本题共6小题，共85分，请将答案写在答题卡相应位置．
【16题答案】【答案】（1）9 （2）
（3）【17
题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）证明略 （2）【19题答案】
【答案】（1）
53
y x =±
2-12n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭112n
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
211
4
2.7532
π2
π
2224n n n +---341
5c =
π3
12AA ==2y -
（2） （3）答案略 （4）证明略
【20题答案】
【答案】（1），
（2）2【21题答案】
【答案】（1）为“好集合”； 不“好集合” （2）是ln 22-22
143
x y +=12e =1S 2S 9
m =。