微元法

例2
设由曲线 r = ϕ (θ ) 及射
线θ = α 、θ = β 围成一曲边扇 求其面积．这里， 形，求其面积 ．这里，ϕ (θ ) 上连续， 在[α , β ]上连续，且ϕ (θ ) ≥ 0 ．
θ + dθ
θ =β
r = ϕ (θ )
dθ
面积元素
1 dA = [ϕ (θ )]2 dθ 2
曲边扇形的面积 β1 A = ∫ [ϕ (θ )]2 dθ . α 2
o a x x + dx x b
） 具有可加性，就是说， （2）U 对于区间[a , b]具有可加性，就是说， 分成许多部分区间， 如果把区间[a , b]分成许多部分区间 ，则U 相 应地分成许多部分量， 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量∆U i 的近似值可表示为 f (ξ i )∆x i ； ）
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x = ϕ ( y ) 、 直线 y = c 、 y = d 及 y 轴所围
轴旋转一周而成的立体， 成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体， y 体积为
d
V = ∫c π [ϕ ( y )] dy
2
d
x = ϕ ( y)Fra bibliotekco x
元素法的一般步骤： 元素法的一般步骤：
为被积表达式， ） 3）以所求量U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 上作定积分， 区间[a , b]上作定积分，得U = 的积分表达式. 即为所求量U 的积分表达式
∫a f ( x )dx ，
b
这个方法通常叫做微元法． 这个方法通常叫做微元法． 应用方向： 应用方向： 平面图形的面积；旋转体体积；平面曲线 平面图形的面积；旋转体体积； 的弧长； 的弧长；
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为 ）根据问题的具体情况， 积分变量， 积分变量，并确定它的变化区间[a , b ]；
2）设想把区间[a , b]分成n个小区间，取其中任 ） 个小区间， 一小区间并记为[ x , x + dx ]，求出相应于这小区 的近似值.如果 间的部分量∆U 的近似值 如果 ∆U 能近似地表示 为[a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积， 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量U 的元素且记作 dU ，即dU = f ( x )dx ；
第一节 定积分的微元法
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
y = f ( x)
x = b 所围成。 所围成。 b A = ∫a f ( x)dx
o a
b x
面积表示为定积分的步骤如下
） 的小区间， （1）把区间[a , b]分成n 个长度为 ∆x i 的小区间， 个小窄曲边梯形， 相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形， i 第 小窄曲边梯形的面积为∆Ai ，则 A = ∑ ∆Ai .
n i =1
） （2）计算∆Ai 的近似值
∆Ai ≈ f (ξ i )∆xi
ξ i ∈ ∆x i
n i =1
（3） 求和，得A的近似值 A ≈ ∑ f (ξ i )∆xi . ） 求和， 的近似值
（4） 求极限，得A的精确值 ） 求极限， 的精确值
面
b
A = lim ∑ f (ξ i )∆xi = ∫ f ( x )dx a λ →0
o
θ =α θ
x
例 3
求双纽线 ρ 2 = a 2 cos 2θ 所围平面图形
的面积. 的面积
由对称性知总面积=4倍第 解 由对称性知总面积 倍第 一象限部分面积
y= x
A = 4A1
A = 4 ∫0
π
4
A1
1 2 = a2 . a cos 2θdθ 2
ρ 2 = a2 cos 2θ
二、小结
元素法的提出、思想、步骤 元素法的提出、思想、步骤.
i =1
n
积 微 元
y = f (x)
提示 若用∆A 表示任一小区间
y [ x , x + ∆x ]上的窄曲边梯形的面积， 上的窄曲边梯形的面积，
A = ∑ ∆A，
∆A ≈ f ( x )dx ，
b
dA
A ≈ ∑ f ( x )dx
A = lim ∑ f ( x )dx = ∫a f ( x )dx .
） （1）U 是与一个变量 x 的变化区间[a, b ]有关 的量； 的量；
符合下列条件： 当所求量U 符合下列条件：
就可以考虑用定积分来表达这个量U
下面我们举例说明微元法的应用. 下面我们举例说明微元法的应用 例 1.求由连续曲线 y = f ( x )、直线 x = a 、 x = b 求由连续曲线 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立 体积为多少？ 体，体积为多少？ y y = f ( x) 解:取积分变量为 x ， 取积分变量为
（注意微元法的本质） 注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？ 微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限 微元法的实质仍是“和式”的极限.
x ∈ [a , b] 在[a , b]上任取小区 间[ x , x + dx ]，
o
x x + dx
x
取以dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， 片的体积为体积元素， dV = π [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为
V = ∫a π [ f ( x )]2 dx
b