安庆市九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线
B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线
D．若
3
2
BE EC
=，则AC是⊙O的切线
2．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE
CE
的值是（）
A．3B．3
C．2 D．
3
3．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E． F分别在BC和CD 上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75︒；③BE+DF=EF；④正方形对角线AC=1+3，其中正确的序号是（）
A．①②④B．①②C．②③④D．①③④
4．如图，O是ABC的外接圆，60
BAC
∠=︒，若O的半径OC为1，则弦BC的长为（）
A ．12
B ．32
C ．1
D ．3
5．已知二次函数y ＝ax 2＋6ax ＋c （a ＜0），设抛物线与x 轴的交点为A （﹣7，0）和B ，与y 轴的交点为C ，若∠ACO ＝∠CBO ，则tan ∠CAB 的值为（ ）
A ．142
B ．22
C ．73
D ．77
6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB 的值等于（ ）
A ．43
B ．34
C ．45
D ．
35
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（ ） A ．a•tanα B ．a•cotα C ．a•sinα D ．a•cosα 8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ，若2AC =，30ADC ∠=︒，①四边形ACED 是平行四边形；②BCE ∆是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10213+；则以上结论正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②
C ．①③
D ．②③ 9．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AC BC ==，CD AB ⊥于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作P
E AC ⊥于点E ，作P
F BC ⊥于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=；（2）量得测角仪的高度CD a =；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A ．tan a b α+
B ．sin a b α+
C ．tan b a α+
D ．sin b a α+ 11．如图，为测量瀑布AB 的高度，测量人员在瀑布对面山上的D 点处测得瀑布顶端A 点的仰角是30，测得瀑布底端B 点的俯角是10︒，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得27.0CG m =，17.6GF m =（注：C 、G 、F 三点在同一直线上，CF AB ⊥于点F ），斜坡20.0CD m =，坡角40ECD ∠=︒，那么瀑布AB 的高度约为（ ）．（精确到0.1m 3 1.73≈，sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈）
A．44.8m B．45.4m C．47.4m D．114.6m
12．如图所示，矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝23，△ADE为正三角形．
若半径为R的圆能够覆盖五边形ABCDE（即五边形ABCDE的每个顶点都在圆内或圆上），则R的最小值是（）
A．23B．4 C．2.8 D．2.5
二、填空题
13．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为3，则AH=__．
14．如图所示，菱形ABCD的边长为8，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为____．
15．计算：tan60°﹣cos30°=________；如果∠A 是锐角，且sinA= 12，那么∠A=________゜．
16．如图，MN 是半径为1的O 的直径，点A 在O 上，30AMN ∠=︒，点B 是AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA PB +的最小值为______．
17．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC ，BD （点A 与点B 重合），点O 是夹子转轴位置，O E ⊥AC 于点E ，OF ⊥BD 于点F ，OE=OF=1cm ，AC =BD =6cm ， CE =DF ， CE :AE =2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O 转动．
(1)当E ，F 两点的距离最大值时，以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长是_____ cm ．
(2)当夹子的开口最大（点C 与点D 重合）时，A ，B 两点的距离为_____cm ．
18．如图，在△BDE 中，∠BDE ＝90°，BD ＝4，点D 的坐标是(6,0)，∠BDO ＝15°，将△BDE 旋转到△ABC 的位置，点C 在BD 上，则旋转中心的坐标为__________．
19．如图，ABCD 中，∠DAB =30°，AB =8，BC =3，P 为边CD 上的一动点，则PB +12PD 的最小值等于__________.
20．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，以点B 为圆心，BA 为半径画弧，交BC 于点
E ，已知3BE =，33BC =，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）
三、解答题
21．如图，有一个半径为3cm 球形的零件不能直接放在地面上，于是我们找了两个三角形的垫块把这个零件架起来，两个三角形与球的接触点分别是点P 和Q ，已知70α=，40β=，一侧接触点离地面距离PM 是4cm
（sin 700.94,cos700.34,tan 70 2.75;sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84≈≈≈≈≈≈）
（1）求圆心O 距离地面的高度；
（2）直接写出QOP ∠与α、β的关系；
（3）另一侧接触点离地面距离QN 又是什么？
22．已知O 的半径为2r ，弦23AB =，点B 是CD 的中点，AB 与CD 交于点E ．
（1）求圆心O 到弦AB 的距离．
（2）求AEC ∠的度数．
23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，60ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得ADE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 上，
（1）求DBC ∠的度数；
（2）求tan ∠BDE 的值．
24．计算；
（1）4sin 302cos 453tan 302sin 60--+︒︒︒︒
（2）()213tan 308cos 451tan 60cos60-++-︒︒︒︒
25．如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高.
26．计算：22sin 45tan 60tan 30cos60︒︒-︒+⋅︒．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
A 、连接OE ，根据同圆的半径相等得到O
B ＝OE ，根据等边三角形的性质得到∠BOE ＝∠BA
C ，求得OE ∥AC ，于是得到A 选项正确；
B 、由于EF 是⊙O 的切线，得到OE ⊥EF ，根据平行线的性质得到B 选项正确；
C 、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO ＝OB ，过O 作OH ⊥AC 于H ，根据三角函数得到OH ＝32
AO ≠OB ，于是得到C 选项错误； D 、根据等边三角形的性质和等量代换即可得到D 选项正确．
【详解】
A 、如图，连接OE ，
则OB＝OE，
∵∠B＝60°
∴∠BOE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOE＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确，不符合题意．B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确，不符合题意．C、∵∠B＝60°，OB＝OE，∴BE＝OB，
∵BE＝CE，
∴BC＝AB＝2BO，
∴AO＝OB，
如图，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC＝60°，
∴OH＝3AO≠OB，
∴C选项错误，符合题意．
D、如C中的图，∵BE＝
3
2
EC，
∴CE
＝
3
BE，
∵AB＝BC，BO＝BE，
∴AO＝CE
OB，
∴OH
＝
2
AO＝OB，
∴AC是⊙O的切线，
∴D选项正确．
故选：C．
【点睛】
本题为圆的综合题，掌握切线的判定和性质、平行线的判定和性质以及勾股定理是解答本题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
设AC=AB=x
，求得tan
AC
CD
D
===
，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：设AC=AB=x，
则tan
AC
CD
D
===
，
∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴
3
BE AB
CE CD
===
故选：B．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
根据三角形的全等的判定和性质可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角
形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据三线合一的性质，可判定AC ⊥EF ，然后分别求得AG 与CG 的长，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD= BC=DC ，
∵△AEF 是等边三角形，
∴AE=AF ，
在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，
AB AD AE AF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），
∴BE=DF ，AE=AF ，
∵BC=DC ，
∴BC-BE=CD-DF ，
∴CE=CF ，故①正确；
∵CE=CF ，
∴△ECF 是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=180°-60°-45°=75°，故②正确；
如图，连接AC ，交EF 于G 点，
∵AE=AF ，CE=CF ，
∴AC ⊥EF ，且AC 平分EF ，
∵∠CAF≠∠DAF ，
∴DF≠FG ，
∴BE+DF≠EF ，故③错误；
∵△AEF 是边长为2的等边三角形，∠ACB=∠ACD=45°，AC ⊥EF ，
∴EG=FG=1，
∴AG=AE•sin60°323==CG=112EF =， ∴31；故④正确．
综上，①②④正确
故选：A ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质以及解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
先作OD⊥BC于D，由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根
据垂径定理可知∠BOD＝60°，BD＝1
2
BC，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求BD，
进而可求BC．
【详解】
解：如右图所示，作OD⊥BC于D，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
又∵OD⊥BC，
∴∠BOD＝60°，BD＝1
2
BC，
∴BD＝sin60°×OB＝3，
∴BC＝2BD＝23，
故答案是23．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线
OD⊥BC，并求出BD．
5．D
解析：D
【分析】
根据根和系数的关系，求出点B（1，0），利用tan∠ACO＝tan∠CBO，求出OC＝7，进而求解．
【详解】
解：如图所示，
∵A （﹣7，0），则OA ＝7，
设点B 的横坐标为b ，
根据根和系数的关系，则﹣7＋b ＝﹣
6a a ＝﹣6， 解得b ＝1，
∴ 点B （1，0），则OB ＝1，
∵∠ACO ＝∠CBO ，
∴tan ∠ACO ＝tan ∠CBO ， ∴AO OC OC OB =，即71
OC OC =，解得OC ＝7 tan ∠CAB ＝
OC OA 7， 故选：D ．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x 轴的交点、三角函数公式，利用根和系数的关系求出点B 的坐标，是解题的关键．
6．C
解析：C
【解析】
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，
∴sinB=
45
AC AB = ， 故选C. 7．B
解析：B
【分析】
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.
【详解】
如图，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝a ，
∵cotαAC BC
=， ∴AC ＝BC•cotα＝a•cotα，
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.
8．A
解析：A
【分析】
证明AC∥DE，再由条件CE∥AD可证明四边形ACED是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=23
出AB长可得四边形ACEB的周长是10+213
【详解】
①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；
②∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EC=EB，
∴△BCE是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
AD⋅︒=23
∴AD=4，CD=cos30
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB，
∴EB=4，DB=23
∴BC=43
∴()2
222
+=+=
AC BC
243213
+③正确；
∴四边形ACEB的周长是1013
综上，①②③均正确，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、
勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法．
9．A
解析：A
【分析】
分两段来分析：①点P 从点A 出发运动到点D 时，写出此段的函数解析式，则可排除C 和D ；②P 点过了D 点向C 点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【详解】
解：∵90ACB ∠=︒，22AC BC ==， ∴45A ∠=︒，4AB =，
又∵CD AB ⊥，
∴2AD BD CD ===，45ACD BCD ∠=∠=︒，
∵PE AC ⊥，PF BC ⊥，
∴四边形CEPF 是矩形，
I ．当P 在线段AD 上时，即02x <≤时，如解图1
∴2sin 2AE PE AP A x ===
， ∴222CE x =-， ∴四边形CEPF 的面积为22
21222222y x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD 错误；
II ．当P 在线段CD 上时，即24x <≤时，如解图2：
依题意得：4CP x =-，
∵45ACD BCD ∠=∠=︒，PE AC ⊥，
∴sin CE PE CP ECP ==⨯∠，
∴()()24sin 4542
CE PE x x ==-︒=-， ∴四边形CEPF 的面积为()222144822x x x y ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦
=，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B 错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
延长CE 交AB 于F ，得四边形CDBF 为矩形，故CF=DB=b ，FB=CD=a ，在直角三角形ACF 中，利用CF 的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF 的长，从而可求出旗杆AB 的长．
【详解】
延长CE 交AB 于F ，如图，
根据题意得，四边形CDBF 为矩形，
∴CF=DB=b ，FB=CD=a ，
在Rt △ACF 中，∠ACF=α，CF=b ，
tan ∠ACF=AF CF
∴AF=tan tan CF ACF b α∠=,
AB=AF+BF=tan a b α+，
故选：A ．
【点睛】
主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．
11．B
解析：B
【分析】
如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，在Rt△DCN中，求出CN即可得到FN的长，由四边形DMFN是矩形可得DM的长，然后分别在Rt△ADM和Rt△DMB中，解直角三角形求出AM，BM即可解决问题．
【详解】
解：如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，
在Rt△DCN中，CN＝CD•cos40°≈20.0×0.77＝15.4（米），
∵CF＝CG＋GF＝44.6（米），
∴FN＝CN＋CF＝60.0（米），
易得四边形DMFN是矩形，
∴DM＝FN＝60.0（米），
在Rt△ADM中，AM＝DM•tan30°＝
3 1.73
60.060.0=34.6
3
（米），
在Rt△DMB中，BM＝DM•tan10°≈60.0×0.18＝10.8（米），
∴AB＝AM＋BM＝45.4（米），即瀑布AB的高度约为45.4米，
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是灵活运用三角函数解决问题，属于中考常考题型．
12．C
解析：C
【分析】
连接AC、BE、CE，取BC的中点F，连接EF，根据勾股定理可得AC，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB＝30°，∠CAD＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD＝∠EDA＝60°，AE＝AD＝DE＝3△EAC是直角三角形，由勾股定理可得EC的长．判断△EAB≌△EDC，根据全等三角形的性质可得EB＝EC，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE的最小圆的圆心在线段EF上，且此圆只要覆盖住△EBC必能覆盖五边形ABCDE，从而此圆的圆心到△BCE的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F是BC中点，BF＝CF3EF⊥BC，由勾股定理可得EF的长，继而列出关于R的一元二次方程，解方程即可解答．
【详解】
如图所示，连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC ＝∠DAB ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°,AD ∥BC ，AD ＝BC ＝
AB ＝CD ＝2 ∵BC ＝
AB ＝2
由勾股定理可得：
AC 4
∴sin ∠ACB ＝
24AB AC =＝12，sin ∠CAD ＝24CD AC =＝12
∴∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°
∵△ADE 是正三角形 ∴∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝
∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠CAD ＝90°,
∴△EAC 是直角三角形，
由勾股定理可得：
EC
∵∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAD ＝150°
∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝150°
∴∠EAB ＝∠EDC
∵EA ＝ED ，AB ＝DC
∴△EAB ≌△EDC
∴EB
＝EC ＝即△EBC 是等腰三角形
∵五边形ABCDE 是轴对称图形，其对称轴是直线EF ，
∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ．从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．
设此圆圆心为O ，则OE ＝OB ＝OC ＝R ，
∵F 是BC 中点
∴BF ＝CF EF ⊥BC
在Rt △BEF 中，由勾股定理可得：
EF 5 ∴OF ＝EF －OE ＝5－R
在Rt △OBF 中，22
2BF OF OB
即()22
25R R +-= 解得：R ＝2.8
∴能够覆盖五边形ABCDE的最小圆的半径为2.8．
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识．二、填空题
13．1【分析】连接BH证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL）得出∠ABH=30°在
Rt△ABH中解直角三角形即可【详解】解：连接BH如图所示：∵四边形ABCD 和四边形BEFG是正方形∴∠BAH=∠AB
解析：1
【分析】
连接BH，证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），得出∠ABH =30°，在Rt△ABH中解直角三角形即可．
【详解】
解：连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，
∵BH=BH，AB=EB，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∴∠ABH=∠EBH=12
∠ABE=30°，
∴AH=AB•tan ∠
， 故答案为：1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形．能正确作出辅助线得出Rt △ABH ≌△Rt △EBH ，从而求得∠ABH =30°是解题关键．
14．【分析】根据已知条件解直角三角形ABE 可求出AE 的长再由菱形的面积等于底×高计算即可【详解】∵菱形ABCD 的边长为8∴AB=BC=8∵AE ⊥BC 于E ∠B=60°∴sinB=即∴AE ∴菱形的面积故答案
解析：【分析】
根据已知条件解直角三角形ABE 可求出AE 的长，再由菱形的面积等于底×高计算即可．
【详解】
∵菱形ABCD 的边长为8，
∴AB=BC=8，
∵AE ⊥BC 于E ，∠B=60°，
∴sinB=AE AB ，即28
AE =， ∴AE =，
∴菱形的面积8=⨯=
故答案为：
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及特殊角的三角函数值，菱形面积公式的运用．关键是掌握菱形的性质．
15．30【分析】由特殊角三角函数值进行计算即可求出答案【详解】解：；∵∠A 是锐角∴；故答案为：；30【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题
【分析】
由特殊角三角函数值进行计算，即可求出答案．
【详解】
解：tan 60tan 30︒-︒==；
∵1sin 2A =，∠A 是锐角， ∴30A ∠=︒； 故答案为：
233；30． 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题． 16．【详解】解：如解图作点关于直线的对称点连接则线段的长就是的最小值作直径连接∵为的中点点关于直线对称∴∴故答案为：【点睛】本题考查了与圆有关的基础知识如直径的性质圆心角及圆周角的性质
解析：2
【详解】
解：如解图，作点B 关于直线MN 的对称点B '，连接AB '，则线段AB '的长就是PA PB +的最小值，
作O 直径AC ，连接CB '，
∵30AMN ∠=︒，B 为AN 的中点，点B 、B '关于直线MN 对称，
∴45C ∠=︒，
∴sin 452AB AC '=⋅︒=
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了与圆有关的基础知识，如直径的性质、圆心角及圆周角的性质． 17．16【分析】（1）当EOF 三点共线时EF 两点间的距离最大此时四边形ABCD 是矩形可得AB=CD=EF=2cm 根据矩形的性质求出周长即可（2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时连接OC 并延长交AB 于点
解析：16
6013 【分析】
（1）当E 、O 、F 三点共线时，E 、F 两点间的距离最大，此时四边形ABCD 是矩形，可得AB=CD=EF=2cm ，根据矩形的性质求出周长即可．
（2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时，连接OC 并延长交AB 于点H ，可得CH AB ⊥，AH=BH ，利用已知先求出125CE cm =
，在Rt △OEF 中利用勾股定理求出CO 的长，由sin OE AH ECO CO AAC ∠==，求出AH ，从而求出AB=2AH 的长．
【详解】
（1）当E 、O 、F 三点共线时，E 、F 两点间的距离最大，此时四边形ABCD 是矩形， ∴AB=CD=EF=2cm ，
∴以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm ．
（2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时，连接OC 并延长交AB 于点H ，
∴CH AB ⊥，AH=BH ，
∵AC=BD=6cm ，CE ∶AE=2∶3， ∴125
CE cm =， 在Rt △OEF 中，22135CO OE CE =
+=， ∵sin OE AH ECO CO AAC ∠=
=，3013AH =， ∴AB=2AH=6013
． 故答案为16，6013
． 【点睛】
本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解是解题的关键．
18．【分析】根据旋转的性质AB 与BD 的垂直平分线的交点即为旋转中心P 连接PD 过P 作PF ⊥x 轴于F 再根据点C 在BD 上确定出∠PDB ＝45°并求出PD 的长然后求出∠PDO ＝60°根据直角三角形两锐角互余求出 解析：(62,6)
【分析】
根据旋转的性质，AB 与BD 的垂直平分线的交点即为旋转中心P ，连接PD ，过P 作PF ⊥x 轴于F ，再根据点C 在BD 上确定出∠PDB ＝45°并求出PD 的长，然后求出∠PDO ＝60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DPF ＝30°，然后解直角三角形求出点P 的坐标．
【详解】
如图，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，连接PD，过P作PF⊥x轴于F，∵点C在BD上，
∴点P到AB、BD的距离相等，都是1
2BD，即
1
42
2
⨯=，
∴∠PDB＝45°，22
PD=，∵∠BDO＝15°，
∴∠PDO＝45°+15°＝60°，
∴∠DPF＝30°，
∴DF＝1
2PD＝
1
222
2
⨯=，3
cos30226
2
PF PD
︒
=⋅=⨯=，
∵点D的坐标是(6,0)，
∴OF＝OD﹣DF＝62
-，
∴旋转中心的坐标为(62,6)
-，
故答案为：(62,6)
-．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化－旋转，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置是解题的关键．
19．4【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E由锐角三角函数可得EP ＝即PB+=PB+PE则当点B点P点E三点共线且BE⊥AD时PB+PE有最小值即最小值为BE【详解】解：如图过点P作PE⊥AD交
解析：4
【分析】
过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得EP＝1
2
PD，即
PB+1
2
PD=PB+PE，则当点B,点P,点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值
为BE．
【详解】
解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD
∴∠EDP＝∠DAB＝30°，
∴sin ∠EDP ＝12EP DP = ∴EP ＝
12PD ∴PB ＋12
PD ＝PB ＋PE ∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB ＋PE 有最小值，即最小值为BE ， ∵sin ∠DAB ＝
12BE AB = ∴BE ＝12
AB =4 故答案为:4
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，锐角三角函数的性质，作出适当的辅助线是解题的关键．
20．【分析】设圆弧与AC 交于F 连接BF 过F 作FH ⊥BC 于H 解直角三角形得到∠BAC ＝60°求得△ABF 是等边三角形得到∠ABF ＝60°推出∠FBE ＝30°然后根据S 阴影＝S 扇形BAF ＋S △BCF−S △A
解析：34
π 【分析】
设圆弧与AC 交于F ，连接BF ，过F 作FH ⊥BC 于H ，解直角三角形得到∠BAC ＝60°，求得△ABF 是等边三角形，得到∠ABF ＝60°，推出∠FBE ＝30°，然后根据S 阴影＝S 扇形BAF ＋S △BCF −S △ABF −S 扇形BFE ＝S 扇形BAF −S 扇形BFE 计算即可．2
【详解】
解：设圆弧与AC 交于F ，连接BF ，过F 作FH ⊥BC 于H ，
在矩形ABCD 中，∵∠ABC ＝90°，AB ＝BE ＝3，BC ＝33
∴tan∠BAC＝333
3
=，∴∠BAC＝60°，
∵BA＝BF＝3，
∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF＝60°，
∴∠FBH＝30°，
∴FH＝1
2BF＝
3
2
，
∴S阴影＝S扇形BAF＋S△BCF−S△ABF−S扇形BFE＝S扇形BAF−S扇形BFE 22
603303333
360360244
，
故答案为：3
4
π
．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．（1）5.02；（2）QOPαβ
∠=+；(3)2.71
【分析】
（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，根据互余角的性质求得∠OPA=70°，再解直角三角形得AP，进而求AM；
（2）根据切线的性质求出∠OPC和∠OQB的度数，再通过邻补角的性质求得∠PCB和
∠QBC，最后根据五边形的内角和求得∠POQ；
（3）过O作OD⊥NQ，与NQ的延长线交于点D，仿（1）题方法求得DQ，再由圆心O距离地面的高度减去DQ便可得QN．
【详解】
（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，连接OP，如图1，
则OP =3cm ，∠OAP =90°，
∵CP 是⊙O 的切线，
∴∠OPC =90°，
∴∠PCM +∠MPC =90°，∠APO +∠MPC =90°，
∴∠APO =∠PCM =70°，
∴PA =OP •cos70°≈3×0.34=1.02（cm ），
∴圆心O 距离地面的高度：AM =AP +PM =1.02+4=5.02（cm ）；
（2）∵BQ 与CP 都是⊙O 的切线，
∴∠OPC =∠OQB =90°，
∵∠PCM=α，∠QBN=β，
∴∠PCB=180α︒-，∠QBC=180β︒-，
∴∠POQ =540°﹣90°﹣90°﹣(180α︒-)﹣(180β︒-)=αβ+，
∴∠POQ =7040110αβ+=︒+︒=︒；
（3）过O 作OD ⊥NQ ，与NQ 的延长线交于点D ，如图3，
按（1）的方法得，∠OQD =∠NBQ =40°，
∴DQ =OQ •cos40°≈3×0.77=2.31（cm ），
由（1）知，圆心O 距离地面的高度5.02cm ，DN=5.02cm
∴QN =DN -DQ =5.02﹣2.31=2.71（cm ）．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线性质，多边形内角和定理，正确构造直角三角形是解题的关键所在．
22．（1）1；（2）60°
【分析】
（1）过点O 作OF ⊥AB ，垂足为点F ，连接OB ，交CD 于点H ，根据垂径定理可得BF ＝AF ＝3，再利用勾股定理即可求得答案；
（2）由1sin 2
OF OBF OB ∠==可得∠OBF ＝30°，再由点B 是CD 的中点可得OB ⊥CD ，进而即可求得AEC ∠的度数．
【详解】
解：（1）过点O 作OF ⊥AB ，垂足为点F ，连接OB ，交CD 于点H ，
∵OF ⊥AB ，23AB =
∴BF ＝AF 3 在Rt OBF 中，22OF OB BF -222(3)1=-=，
∴圆心O 到弦AB 的距离为1；
（2）∵在Rt OBF 中，1sin 2
OF OBF OB ∠=
=， ∴∠OBF ＝30°，
∵点B 是CD 的中点，
∴OB ⊥CD ，
∴∠CHB ＝90°，
∴∠AEC ＝∠BEH ＝90°－∠OBF ＝60°，
∴AEC ∠的度数为60°．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用及推论，勾股定理，锐角三角函数的应用，熟练掌握垂径定理的应用及推论是解决本题的关键．
23．（1）135°；（2）23
【分析】
（1）根据旋转的性质得到ABD △是等腰三角形和顶角BAD ∠的度数，再算出ABD ∠的度数，就可以算出DBC ∠的度数；
（2）设2AD AB x ==，根据特殊角的三角函数值用x 表示出BE 和DE ，就可以求出
tan ∠BDE 的值．
【详解】
解：（1）∵90C ∠=︒，60ABC ∠=︒，
∴30BAC DAB ∠=∠=︒，
∵AD AB =， ∴()118030752
ABD ADB ∠=∠=
︒-︒=︒， ∴7560135DBC ABD ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒； （2）设2AD AB x ==，则12
DE AD x =
=
，AE =，
∴2BE x =-，
∴(
2tan 2x BE BDE DE x
∠===．
【点睛】
本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些性质定理进行求解．
24．（1
2
）1
【分析】
（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】
解：（1
）原式1422232
=⨯-+⨯
211=--+
=
（2
）原式
1312
=-+
221=+
1=．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值及实数运算法则是解本题的关键．
25．AB=7
)
1米． 【分析】
首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x （米），再利用CD=BC-BD=14的关系，进而可解即可求出答案．
【详解】
解：在Rt△ABD中，
∵∠ADB=45°，
∴
．
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=30°，
∴BC=AB．
设AB=x（米），
∵CD=14，
∴BC=x+14．
∴
x
∴x=7)1
即铁塔AB的高为7)1米．
【点睛】
本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
26．3 2
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．【详解】
解：原式21
2(
232
=⨯+-
1
11
2
=+-
3
2
=．
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．。