湖南省衡阳市 市第二十中学2020年高一数学理上学期期末试卷含解析

湖南省衡阳市市第二十中学2020年高一数学理上学期
期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量，，，定义新运算＝(，
)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如果对于任意向量都有=成立，那么向量为( )
A．(1,0) B．(－1,0) C．(0,1) D．(0，－1)
参考答案：
A
2. 已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）
A．a⊥α且a⊥βB．a⊥γ且β⊥γ
C．a?α，b?β，a∥b D．a?α，b?α，a∥β，b∥β
参考答案：
A
【考点】平面与平面平行的判定．
【专题】阅读型．
【分析】根据垂直于同一直线的两个平面平行可知选项A是否正确；平面与平面垂直的性质，判断选项B的正误，对于选项C可知两个平面可能相交，选项D，若a与b平行时，两平面相交，对选项逐一判断即可．
【解答】解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；
选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β 相交，所以B不正确；
选项C，a?α，b?β，a∥b，α与β 可能相交，故不正确；
选项D，a?α，b?α，a∥β，b∥β，如果a∥b推出α、β 相交，所以D不正确；
故选：A
【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，以及直线与平面平行与垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于基础题．
3. 一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
解：根据三视图可知该几何体是半个圆锥躺放在平面上，可知底面半径为2，高为，母线长为6，这样可以得到该几何体的表面积为
4. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当
x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）
A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）
参考答案：
A
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】依题意可求ω=2，又当x=时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可
求解析式f（x）=Asin（2x+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．
【解答】解：依题意得，函数f（x）的周期为π，
∵ω＞0，
∴ω==2．
又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，
∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，
∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．
∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．
f（2）=Asin（4+）＜0，
f（0）=Asin=Asin＞0，
又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asinx在区间（，）是单调递减的，
∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．
5. 若f(x)=(a2－3a+3)·a x是指数函数，则a的值为（）
A．a=1或2 B．a=1 C．a>0且a≠1 D．a=2
参考答案：
D
6. 已知集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1}，若Q?P，那么a的值是（）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0，1或﹣1
参考答案：
D
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】先化简P，再根据Q?P分情况对参数的取值进行讨论，即可求出参数a的取值集合．
【解答】解：∵P={x|x2=1}={1，﹣1}，Q={x|ax=1}，Q?P，
∴当Q是空集时，有a=0显然成立；
当Q={1}时，有a=1，符合题意；
当Q={﹣1}时，有a=﹣1，符合题意；
故满足条件的a的值为1，﹣1，0．
故选D．
7. 下列给出函数与的各组中，表示同一函数的是（）
A. B.
C. D.与
参考答案：
C
略
8. 设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）
A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定
参考答案：
D
由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．
解析：∵f（1.5）?f（1.25）＜0，
由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．
故选B．
9. 设平面向量=（5，3），=（1，﹣2），则﹣2等于（）
A．（3，7）B．（7，7）C．（7，1）D．（3，1）
参考答案：
A
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】利用平面向量坐标运算法则求解．
【解答】解：∵平面向量=（5，3），=（1，﹣2），
∴﹣2=（5，3）﹣（2，﹣4）=（3，7）．
故选：A．
10. 已知，满足，且，则
等于（）
A．0 B．2 C．4 D．6
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是．
参考答案：
[，3]
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】根据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解
【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，
∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，
故由二次函数图象可知：
m的值最小为；
最大为3．
m的取值范围是：≤m≤3．
故答案[，3]
【点评】本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题．
12. 已知f（x）=，g（x）=x2﹣4x﹣4，若f（a）+g（b）=0，则b的取值范围为．
参考答案：
[﹣1，5]
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据函数的单调性求出f（x）的值域，从而得到g（b）的取值范围，解一元二次不等式即可．
【解答】解：当x时，f（x）=ln（x+1）递增，可得f（x）≥﹣ln2；
当x＜﹣，即﹣2＜＜0时，f（x）=+=（+1）2﹣1∈[﹣1，0），
则f（x）的值域为[﹣1，+∞），
由f（a）+g（b）=0，
可得g（b）=﹣f（a），
即b2﹣4b﹣4≤1，
解得﹣1≤b≤5，
即b的取值范围为[﹣1，5]．
故答案为[﹣1，5]．
13. 若函数,对任意都使为常数,则正整数为________
参考答案：
3
略
14. 在中，若，，，__________．
参考答案：
解：∵，，
，，
由正弦定理，
∴．
15. 函数的定义域为；
参考答案：
16. （2016春?普陀区期末）函数y=的定义域是．
参考答案：
（1，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数的解析式，应满足分母不为0，且二次根式的被开方数大于或等于0即可．
【解答】解：∵函数y=，
∴＞0，
即x﹣1＞0，
解得x＞1；
∴函数y的定义域是（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应使函数的解析式有意义，列出不等式（组），求出自变量的取值范围，是容易题．
17. 已知，sin= ,则tan2 =___________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知且，求函数f（x）=9x﹣3x+1﹣1的最大值和最小值．
参考答案：
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】由指数函数和对数函数的单调性，解得0＜x≤3，可令t=3x，则1＜t≤27，将f （x）变形为g（t）=t2﹣3t﹣1，由二次函数的最值求法，即可得到所求值．
【解答】解：由且，
可得2﹣x≤22且log x≤log3，
解得x≥﹣2且0＜x≤3，
即为0＜x≤3，
可令t=3x，则1＜t≤27，
即有函数f（x）=9x﹣3x+1﹣1
即为函数g（t）=t2﹣3t﹣1=（t﹣）2﹣，
当t=即x=log2时，函数取得最小值﹣；
当t=27即x=3时，函数取得最大值647．
19. （10分）解关于x的不等式x2－(k＋1)x－2k2＋2k≤0
参考答案：
20. 已知，且向量与不共线.
（1）若与的夹角为，求；
（2）若向量与的夹角的钝角，求实数k的取值范围.
参考答案：
(1) (2) 且
【分析】
（1）因为与的夹角为，所以可求得.展开代入即可求得结果. （2）由向量与的夹角的钝角，可得
且不反向共线，展开解k即可.
【详解】解：（1）与的夹角为，
.
.
（2）向量与的夹角为钝角，
，且不能反向共线，
，解得
实数的取值范围是且.
【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，考查已知向量夹角求参，考查向量夹角为钝角的求解运算，考查了学生转化的能力，属于基础题.
21. 已知奇函数是定义在上的减函数，不等式，设不等式解集为，集合，求函数的最大值
参考答案：
因为为奇函数
所以
又因为为减函数，则有
解得集合
所以
，则
略
22. （本小题满分14分）设的内角的对边分别为，且
．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，则的最大值．
参考答案：
解：（1）正弦定理得
则.
∴又，
∴又，∴. ………………7分
（2）由余弦定理可知
有，得，当且仅当时取等号，故的最大值为.………14分。