抛物线最值问题求法

抛物线最值问题(wèntí)常用求法：
1、利用定义求最值；
2、构造二次函数，利用配方法求最值； 3、利用作切线法求最值；
精品PPT
四、课堂练习
1、定长是3的线段AB的端点A、B在抛物线y2 x 上移动，求线段AB的中点M到y轴距离d的最小值
分析：如图 MM1
d
AA1 BB1
y
B1
2
AF BF
M1
4
0和x
y
1
0的距离d=
3
2 2
即为所求
精品PPT
变式训练：
y
动点M
在椭圆
x2 4
+y2
=1上,求点
M到直线y=x+4距离d的最大值
o
x
和最小值。
思路分析：求与直线y x 4平行的椭圆的切线
切线与直线y x 4的距离即为最值
dmin
4 2 10
4 2 10
2
, dmax
2
精品PPT
三、课时(kèshí)小结
2
AB
3
A1
2
13 42
2d5 4精品来自PTBMFx
A
2、求点P(0,32)到椭圆
x2 4
y2
1上点的最大距离，
并求此时椭圆上点的坐标
y
P
Q
x
分析：将椭圆上任意一点(yī
diǎn)Q与点P的距离表示成一个变
量的函数然后求最值。
精品PPT
解：设点Q(x, y)是椭圆上任一点， 则 x2 y2 1 4
解：如图，由抛物线定义
y
M1 M1
MA
MA MF = MA MM１
Fx
当且仅当Ａ、Ｍ、Ｍ１三点共线时，
MA MM１ 最小４，此时Ｍ（１，２）
精品PPT
变式训练1、已知抛物线ｙ２＝４ｘ和定点Ａ（７，８），
抛物线上有一动点Ｍ，Ｍ到点Ａ的距离为ｄ１，Ｍ到抛物
线准线距离ｄ２，求ｄ１＋ｄ２的最小值及此时Ｍ点坐标A
解：设双曲线右焦点是F' , 由双曲线定义 PF PF' =2a
PF PA 2a PA PF F
4 AF 9
yA P
F' x
精品PPT
问题二：求点Ａ(３,０)到抛物线ｙ２＝４ｘ上点距离的最小值，
并求此时抛物线上点的坐标 解：设点Ｍ(ｘ,ｙ)是抛物线ｙ２＝４ｘ
y M
上任一点,则y2 4x
Q
FA
x
MQ 2 2 1 min
精品PPT
变式训练(xùnliàn)2：
求点Ａ(m,０)到抛物线ｙ２＝４ｘ上点距离的最小值，
并求此时抛物线上点的坐标 解：设点Ｍ(ｘ,ｙ)是抛物线ｙ２＝４ｘ
y M
上任一点,则y2 4x AM (x m)2 y2 (x m)2 4x x2 (4 2m)x m2
F Ax
PQ (x 0)2 ( y 3 )2 2
3y2 3y 25 4
3( y 1 )2 7 2
1 y1
当y 1 时，PQ
7
2
max
此时，Q( 3, 1),( 3, 1)
2
2
精品PPT
四、课后作业：讲义
拓展题:
求点P(0,
m)使其到椭圆
x2 4
y2
1上点的最大距离是 7
精品PPT
精品PPT
xy4 d
2 y2
y4 4
( y 2)2 12
Fx
2
42
当y
2时，dmin
3 2 ,此时M (1, 2) 2
精品PPT
解法二、设直线y
y xb
联立
x2
y2 4x
x b与抛物线相切 (2b 4)x b2 0
(2b 4)2 4b2 0 b 1
y M
F Ax
此时，切点（1, 2）即为所求点M
两平行线x
y
抛物线中常见(chánɡ jiàn)最值问题求法
精品PPT
一、复习(fùxí)引 1入.抛物线的定义
(dìngyì): 2.抛物线的标准方程和性质:
精品PPT
二、典例分析
问题一、在抛物线y2 4x上找一点M ,
使 MA MF 最小，其中，A(3,2),F（1，0）
求M点的坐标及此时的最小值。
mamf在抛物线上找一点最小其中a3210求m点的坐标及此时问题一mamfmammmammmm三点共线时最小4此时m12已知抛物线y4x和定点a78抛物线上有一动点mm到点a的距离为dm到抛物线准线距离d求dd的最小值及此时变式训练1m点坐标解由抛物线定义dmamfmamf最小是af10易求此时m441214papf已知点是双曲线的左焦点定点是双曲线右支上的动点解
(x 2 m)2 4m 4 x 0
当m 2时，x 0, AM
m2 ;
max
当m 2时，x m 2, AM
4m 4;
max
精品PPT
问题三：动点M 在抛物线y2=4x上,求点M到直线y=x+4 距离d的最小值，并求此时点M的坐标
解法一：设点Ｍ(ｘ,ｙ)是抛物线ｙ２＝４ｘ 上任一点,则y2 4x
y M
解、由抛物线定义ｄ１＋ｄ２ ＝ ＭＡ＋ ＭＦ
y
M1
M
当且仅当Ａ、Ｍ、Ｆ三点共线 ＭＡ＋ＭＦ最小是 ＡＦ＝１０
Fx
易求此时Ｍ（４，４）
精品PPT
变式训练2：已知点F是双曲线 x2 y2 1的左焦点， 4 12
定点A(1, 4), P是双曲线右支上的动点，求 PA + PF
的最小值。
yA
P
F
x
精品PPT
AM (x 3)2 y2
(x 3)2 4x x2 2x 9
F Ax
(x 1)2 8
x0
当x 1时，AM
2 2,此时M (1, 2)
min
精品PPT
变式训练(xùnliàn)1：
动点M 在抛物线y2 4x上运动，动点Q在圆
(x 3)2 y2 1上运动，求 MQ 的最小值
分析：“动中求静”
y M
只需求出动点M到圆心A(3,0) 距离最小值再减去圆半径即可。