正方形课件

D
C
F G
E
A
B
例3如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，
PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF
解: 连接PC ∵PE⊥BC ， PF⊥DC
而四边形ABCD是正方形 ∴∠FCE=90°
A
D
P F
∴四边形PECF是矩形 ∴PC=EF
B
EC
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
练:正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
ME+MF =8cm，则AC=___1_6_c_m__.
F
B A
M
C D
F
E
O
B
C
思考
正方形ABCD中∠DAF=25°,AF交对角线 BD于E,交CD于F,求∠ BEC的度数.
A
D
E
F
B
C
若∠DCE=30°则∠DAF=
小结
A
A
D
边 四条边都相等，对边平行 O
正
方
形
角 四个角都是直角
的
B
C
性
质
对角线
正方形的 两条对角线互相垂直平分 且相等,每条对角线平分一组对角
学一学
例题解析
例1. 如图，在正方ABCD中，对角线AC、 BD相交于O，
1)图中有多少个等腰直角三角形
2)说出图中相等的线段、相等的角。
3)求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。
A
D
B
CE
课堂练习
2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=__3_0_°_.
A
D
E
例3.已知正方形ABCD中,AC=10,P是ABB上一点,PE⊥CAC于E，
PF⊥BD于F,则PE+PF=______5________. A
E
D
分析：PE=AE，PF=OE
P
O
PE＋PF＝OA
3.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了________
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B ）
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直.
2.正C方、形对具角有互而补菱. 形不一定具有的性质（ D ） AD、、四对条角边线相相等等.. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.正方形ABCD，对角线交于0， 1)若AB=2㎝，则AC=_____,OA=_____,周长____，面积_____。
2)若OB=2㎝，则AC=_____,AB=_____,周长____，面积_____。
3)若AC+BD=8㎝，则AC=_____,AB=_____,正方形面积_____。 2.已知正方形的面积为9cm,它的周长为 _______________.
对角线: 分别平分两组对角
创设情景一
┓90°
问题: 从这个图形中你能得到什么？ 你是怎样想到的？
当 =90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊 的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.
情景二
A
D
A
D
B
C
问题:
B
C
图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形 ？（CD在移动的过程中始终保持与AB平行）
学以致用
分析：要判断是否是正方形，关键对折后 会得到什么条件。
解：根据老板的方法，只能反映纱巾的两 组对角分别相等，四条边都相等，所以该 纱巾是菱形，但不一定是正方形。
学以致用
由三条公路围成的一个区域为直角
三角形形状.工程队要想在区域内划一 块正方形的地块作为新小区,且让小区 足够大,请你来帮工程队设计一下 .
第十九章 四边形
数一数图中正方形的个数，你发现了什么？
（ ）个（ ）个 （ ）个
（ ）个
多
多
多
第n个图中正方形有 3n-1 个
练习：在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
△CMD≌△ADF
试一试
看能不能完成证明???
例4．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为
CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF (AAS) ∴DM=DF
又知四边形DEFG也是正方形
所以
DE=DG
又因为正方形的每个内角为90° B
E F
G C
所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC
所以∠ADE＝∠CDG
所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针
旋转 90° 得到。⊿AED≌ ⊿CGD
所以AE=CG
巩固练习：
如图，四边形ABCD和AEFG都是正方形， 求证：BE = DG
正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角． 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点 的直线都是它的对称轴.
学以致用
小红在店里看到一块漂亮的方纱巾， 非常想买。但她拿起来看时感觉不太方。 商店老板看她犹豫的样子，马上过来 拉起一组对角，让小红看这组对角是 否对齐，小红还有些犹豫，老板又拉 起另一组对角，让小红检验。小红终 于买了这块纱巾。你认为小红买的这 块纱巾真是正方形吗？你能帮她检验吗？
添加辅助线,无需证明)
A
E
F
B
D
C
性质
图形
对边平行且相等
四条边都相等 对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分 一组对角
小结
平行四 边形
矩形
√√
√√ √
√√
√
菱形 正方形
√√ √√ √√
√ √√ √√
√
√√
谢谢大家! 再见
(1)平行四边形有哪些性质?矩形与平行四边 形比较有哪些特殊的性质?
边: 对边平行且相等
平行四边形
角: 对角相等,邻角互补
矩形
对角线: 对角线互相平分 边 对边平行且相等 角: 四个角是直角
对角线: 对角线相等且互相平分
菱形的性质
菱形的性质
具有平行四边形一切性质
边: 四条边相等
角: 对角相等,邻角互补 互相垂直平分
分析：要证明BM＝CN，
△ABM≌△BCN
AB=BC，∠1=∠2=45 °AM=BN
正方形ABCD
OM=ON ∠OMN＝∠ONM＝45°
活动与探索
如图正方形ABCD的边长为1，E、F分别为 BC、CD上的点，若BE+DF=EF，
求证：∠EAF=450
变式：如图，正方形 A
ABCD的边长为4，点E
、F分别在BC、CD上
议一议
随堂练习
问题: 用10米长的篱笆围成一个四边形菜地，如 何确定面积最大的四边形的形状，面积为 多少？
在长度给定的情况下，围成的四边形中， 正方形的面积最大。
例2、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，
使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠E， ∠AFC的
度数.
A
D
F
B
E C
练习：1、如图，正方形ABCD中，BE=BD，求∠E
，∠EAF=450，△CEF 的面积为8 ，求
△AEF的3 面积。
G
B
D F
EC
八年级 数学
思维拓展
第十九章 四边形 如何设计花坛？
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直 的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成 面积相等的四部分（不考虑道路的宽度）， 你有几种方法？（至少说出三种）
八年级 数学
长见识
_有__一__组__邻__边__相__等____的矩形是正方形 矩形法
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形 ，也是特殊的菱形。
有一组邻边相等且有 一个角是直角
正方形、矩形、菱形及平 行四边形四者之间的关系
八年级 数学
第十九章 四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形
矩形
正
方
菱形
形
A
F E
B
D
C
自主学习
如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上， BE=CF.
（1）AE与BF相等吗？为什么？ （2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。
A
D
F G
BE
C
例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，
试说明AE=CG
A
D
解：因为四边形ABCD是正方形
根据正方形的四边相等，得 AD=CD
D
O
B
C
1 .正方形是中心对称图形，轴对称图形。
2.正方形的四条边都相等。
3.正方形的四个角都相等。
4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，
且每一条对角线平分一组对角。
平行四边形
一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
矩形
有一个角是直角
正方形
一组邻边相等
正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质：
正方形的四条边都相等，四个角都是直角
当CD移动到C D 位置，且 AD ＝AB时，此 时的图形还是矩形吗？
当AD＝AB这个四边形是矩形,它是特殊的矩形是 一组邻边相等的矩形也是正方形.
正方形的概念：
有__一__组__邻__边__相__等__且__有__一__个__角__是__直__角__的_
的平行四边形是正方形。
定义法
_有__一__个__角__是__直__角__的菱形是正方形 菱形法
(C) A
D(B
)
O 正方形是中心对称图形,对称中心为点O
它也是轴对称图形,有4条对称轴
(D)B
C(A
(1)它具有平行四边形的一切性质
)
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
(2)具有矩形的一切性质 四个角都是直角，对角线相等
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
∴AP=PC
∴AP=EF
例4．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
_____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
下面的证明请大家完成
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正 方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF
证明：
例5．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。