高三数学不等关系与不等式练习试题及答案

高三数学不等关系与不等式练习试题及答案
作者：佚名文章来源：网络点击数：更新时间：2014-4-18 17:46:41
一. 教学内容：
不等式高考复习一：不等关系与不等式
二. 教学目的
1、复习不等式的性质及应用
2、复习平均值不等式及其应用
三. 教学重点、难点
不等式的性质及均值不等式
四. 知识分析
（一）不等式的性质及应用
【考点梳理】
考点一：不等式有关概念
1. 不等式定义
用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫不等式．记作
等等．用“＜”或“＞”号连结的不等式叫严格不等式；用“≤”
或“≥”号连结的不等式叫非严格不等式．
2. 同向不等式、异向不等式
对于两个不等式，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式．
对于两个不等式，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式．
3. 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式
（1）绝对不等式：如果不论用什么实数代替不等式中的字母它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式．
（2）条件不等式：如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式．
（3）矛盾不等式：如果不论用什么样的实数代替不等式中的字母它都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式．
4. 关于a≤b和a≥b的含义
不等式“a≥b”的含义是“或者a＞b，或者a＝b”等价于“a不小于b”，即若a＞b 或者a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．
考点二：实数的特征与实数比较大小
1. 实数的两个特征
（1）任意实数的平方不小于0，即。

（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数。

2. 实数比较大小的依据和方法
（1）实数比较大小的依据：在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示如图，可以看出a、b之间具有以下性质：
如果是正数，那么；如果是负数，那么；如果等于零，那么，反之也成立，就是；；。

（2）实数比较大小的基本方法。

比较两个实数的大小，基本方法是作差，对差的正、负作出判断，进而得出结论。

考点三：不等式的性质
1. （对称性）；
2. （传递性）；
3. （可加性）；
4. ；
5. ，；
6. ；
7. （n是大于1的整数）；
8. （n是大于1的整数）。

【方法与技巧】
方法一：特殊值法
对于某些选择题，可采取特殊值法巧妙求解。

例：已知，且，设，，则（）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：（特殊值法）取。

由对数函数的单调性知。

，故选A。

方法二：排除法
利用不等式的性质，排除掉干扰项从而选出正确答案，也是解题的一种有效方法技巧。

例：若，下列不等式不成立的是
A. B.
C. D.
答案：B
解析：（排除法），
，。

故知不成立的是B。

故选B。

方法三：比差法
作差比较两数（式）大小的依据是：；；。

例：比较的大小，其中。

解析：
当时，；
当时，。

方法四：比商法
作商比较两数（式）大小的依据：
；。

例：设且，试比较与的大小。

解析：
当时，，
则，于是。

当时，，
则，于是。

综上所述，对于不相等的正数、b，都有。

【典例精析】
例1. 适当增加不等式条件使下列命题成立：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则。

剖析：本小题考查不等式的性质。

解析：（1）原命题改为若且，则，即增加条件“”。

（2）由可得，但只有时，才有，即增加条件“”。

（3）由可得，但作为真数，应有，故应增加条件“”。

（4）成立的条件有多种（如），与定理4的推论1相关的一个是、，因此，可增加条件“”。

点悟：解这类开放性试题，要求我们在深刻理解不等式的性质的同时，一定要注意它们成立的条件。

例2. 若，则下列命题中正确的命题是（）
A. 均不能成立
B. 均不能成立
C. 不等式均不能成立
D. 不等式均不能成立
剖析：本小题主要考查不等式的基本性质、敏锐的判断力、灵活运用知识解决问题的能力。

答案：B
解析：。

又不成立。

，故不成立。

由此可选B。

另外，A中成立，C与D中成立，证明如下：
，。

故。

故选B。

点悟：解决该题，除利用不等式的基本性质正面推导外，还可利用举例验证排除错误答案。

例3. 如果，则下列各式正确的是（）
A. B.
C.
D.
剖析：本题是在条件“”的情况下，利用不等式的性质，判断出成立的一个不等
式。

答案：D
解析：对于A，当时，，当时，不成立，故应排除A；
对于B，不成立，故应排除B；
对于C，，又由可知，但是的符号是不确定的，因此不成立，故应排除C；
对于D，由指数函数的性质可知，，又，
成立，故选D。

点悟：本题综合利用了不等式的基本性质、对数函数的值域、指数函数的性质以及“作差法”。

例4. 已知，分别求、、的范围。

剖析：本小题考查利用不等式的性质，求数（式）的取值范围。

解析：。

又，。

又。

（1）当时，；
（2）当时，。

综合（1）（2）得。

点悟：要准确运用不等式的性质，如：同向不等式不能相减，同向不等式只有当它的两边都是正数时才能相乘。

【易错题剖析】
易错题一：设，求的最大值和最小值。

解题思路：解法一：，。

设，即
比较两边系数：。

又，
解法二：
以下同解法一。

失分警示：误区：对同向不等式可加性推论：，前后关系不是充
要条件的关系认知不到位，错因由求出的值域取代由原条件求出的值域。

易错题二：已知，求的取值范围。

解题思路：令，则。

而，
故有。

失分警示：不能由，这是因为不可能同时取
到或，故结论错误。

同向不等式可以作加法运算，导向不等式可以作减法运算（不等号与被减不等式同向），当同向不等式两边为正时，可以作乘法运算，但如果涉及到“等号能否取到”，则要看是否满足取等号条件。

这一点常易疏漏，请特别注意。

（二）均值不等式及其应用
【考点梳理】
考点一：两个重要不等式
利用不等式的性质，可以推出下列重要不等式：
1. 如果，那么（当且仅当时取等号）。

2. 如果________，那么（当且仅当时取等号）。

称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数。

考点二：灵活变式
1. ；
2. ；
3. ；
4. ；
5.
当且仅当时，各式中等号成立。

考点三：两个重要结论
1. ，且（定值），那么当时，有最______值。

2. ，且（定值）那么当时，有最_____值。

【方法技巧】
方法一：均值不等式的配凑技巧
例：设，，则M、N的最准确的大小关系是（）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：因为
注意到，且（定值），
知。

取“=”的条件是，即或，但这是不可能的。

故。

又因为，
注意到，（定值），知，当
等号成立时，即，故。

，故选C。

方法二：用函数的观点解决不等式问题
例：已知，试比较与的大小。

解析：，
易知，时，上是减函数，
时，在上是增函数，
方法三：三角换元
例：若，则的最小值为_______。

答案：
解析：令，则，
（当且仅当时取等号），故的
最小值为。

【典例精析】
例1. 已知，求证：。

剖析：本题考查利用均值不等式证明不等式。

证明：，
，
同理，，
点悟：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择基本不等式；本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性。

例2. 已知，求的最小值。

剖析：本题考查利用均值不等式求最值。

解析：解法一：，
，
当且仅当，又，即时，上式等号成立。

故当时，。

解法二：由，得（定值），又知，所以
，当且仅当，即时，。

点悟：应用均值不等式时熟练掌握定理成立的条件、重要不等式的变形，在运用重要不等式证明不等式或求最值时，注意掌握“凑”（凑项、凑因式）的技巧，其目的一是创造一个应用重要不等式的情境；二是使等号成立的条件。

例3. 已知数列。

（1）若，求的取值范围；
（2）当时，求的最大值，并求出对应b的取值。

剖析：本题考查利用均值不等式求变量的值。

解析：（1）。

（2），
令，显然，
则，。

当时，即时等号成立。

由，则，又由，
当时，。

点悟：本题以数列知识为背景，考查学生灵活运用均值定理解决问题的能力。

例4. （2004全国）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在温室内，
沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。

当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大最大种植面积是多少
剖析：本题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力。

解析：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则。

蔬菜的种植面积。

当且仅当，即时，取等号。

答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为。

点悟：在本题的求解过程中有两个难点：一是建立函数关系式，二是利用均值不等式求最值要注意等号成立条件以及要会对式子进行合理的分拆、组合等。

【易错题剖析】
易错题一：已知且，求的最小值。

解题思路：，。

当且仅当即时，上式取等号，这时。

故当，时，最小值是9。

另解，，。

上式当且仅当即等号成立。

又。

故最小值是9，此时。

失分警示：误区：，
，因此，的最小值是8。

上面解法中，连续进行了两次不等变形：与，且这两次不等式中的等号不能同时成立，第一个不等式当且仅当时等号成立，第二个不等式是当
且仅当，即时等号成立，因此不可能等于8。

易错题二：若实数满足，则的最大值为（）
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：令。

故。

所以的最大值是。

故选B。

错因分析：误区：连续使用不等式变形，
，而误选A。

取等号的条件是且，即与题设矛盾。

使用均值不等式求值时，一定要注意等号成立的条件。

易错题三：求函数的最小值。

解题思路：解法一：。

由，得，
当且仅当，且，即时取“=”号。

因此y的最小值为。

解法二：令，则。

又在上单调递减（单调性的证明过程略）。

当时，有最小值。

失分警示：误区：。

的最小值为2。

该式若取等号，需。

即，不可能，所以取不到最小值。

应用均值不等式求最值要注意三个条件：
（1）各项或各因式为正；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式都能取得相等的值。

即所谓“一正、二定、三相等”。

【模拟试题】
一、选择题
1. 若a＞b，则（）
＞b2 ≥b2 ≤b2 D.以上都不对
2. 若a>b，c>d，则下列不等式恒成立的是（）
3. 已知a、b都为正数，则（）
＋b＞
2
＋b＜2
＋b≥
2
＋b≤2
4. 已知，则下列命题成立的是（）
5. 若a≠0或b≠0，则（）
+b2＞ab +b2≥ab +b2＜ab +b2≤ab
6. 若，则大小顺序为（）
7. 若a，b是任意实数，且a>b，则（）
8. 已知，下列不等式恒成立的是（）
二、填空题
9. 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是
f(x)__________g(x).
10. 已知，则________。

（填“>”，“<”或“=”）
11. 设a＜0，－1＜b＜0，则a、ab、ab2三者的大小关系为___________.
12. 设，则从小到大的顺序是____________。

13. 若成立，则a的范围是______________。

14. 若，则a，b，c，d的大小关系是
______________。

三、解答题
15. 已知＞(n为奇数)，试比较a2与b2的大小.
16. 若，且a最大，试比较a+d与b+c的大小。

【试题答案】
一、
2.
D 4.
C 6.
D 7.
B 8. C二、
9. ＞
10. <
11. a＜ab2＜ab
12.
13.
14.
三、
15. 解：由＞得a＞b.
若b≥0，则a2＞b2，
高三数学不等关系与不等式练习试题及答案
若b＜0，当a＞－b时，a2＞b2；
当a=－b时，a2=b2；
当a＜－b时，a2＜b2.
16. 设，则
由于a最大，
从而，故
，即。