陕西省西安一中大学区2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析

2016-2017学年陕西省西安一中大学区高二（上）期中数学试卷
（理科）
一、选择题:（本大题共12小题,每小题3分，共36分）
1．已知向量=（﹣1,1，﹣1），=（2，0，﹣3），则•等于（）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．1
2．不等式≥0的解集为(）
A．［﹣2，1］B．(﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2)∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2］∪(1,+∞）
3．下列命题中是假命题的是（）
A．若a＞0，则2a＞1
B．若x2+y2=0，则x=y=0
C．若b2=ac,则a，b,c成等比数列
D．若a+c=2b，则a，b，c成等差数列
4．已知｛a n}是等比数列，a1=4，a4=,则公比q等于（)
A．B．﹣2 C．2 D．
5．命题“任意x∈R，|x|+x2≥0"的否定是（）
A．任意x∈R，|x｜+x2＜0 B．存在x∈R，｜x|+x2≤0
C．存在x0∈R，｜x0｜+x02＜0 D．存在x0∈R，｜x0|+x02≥0
6．如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，，,则用向量,，可表示向量=（）
A．B． C． D．﹣
7．对于实数a，b，c,下列命题正确的是（）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b＜0，则D．若a＜b＜0,则
8．若命题￢（p∨（￢q））为真命题,则p,q的真假情况为（）
A．p真，q真B．p真,q假C．p假，q真D．p假,q假
9．已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y(）
A．有最小值3，最大值9 B．有最小值9，无最大值
C．有最小值8，无最大值D．有最小值3，最大值8
10．已知数列｛a n｝的前n项和S n=，则a3=（）
A．B．C．D．
11．设a n=﹣n2+9n+10，则数列{a n}前n项和最大值n的值为（)
A．4 B．5 C．9或10 D．4或5
12．方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）
A．0＜a≤1 B．a＜1 C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分）
13．已知x＞0，y＞0,n＞0，4x+y=1，则+的最小值为．
14．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．
=3S n(n≥1），则数列{a n｝的通项公式为．15．已知数列{a n｝的首项a1=1,a n
+1
16．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围为．
三、解答题(本大题共4小题,共44分）
17．已知向量=（1，5，﹣1)，=（﹣2，3,5)．
（1）若(k+）∥（﹣3），求实数k；
（2）若（k+）⊥（﹣3），求实数k．
18．设命题P：实数x满足2x2﹣5ax﹣3a2＜0,其中a＞0，命题q：实数x满足
．
（1）若a=2，且p∧q为真,求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．(1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）
20．已知数列{a n｝的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n
．
+1（Ⅰ)求数列｛b n｝的通项公式；
（Ⅱ）令c n=，求数列{c n｝的前n项和T n．
2016-2017学年陕西省西安一中大学区高二（上)期中数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．已知向量=（﹣1,1，﹣1），=（2，0，﹣3)，则•等于(）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．1
【考点】空间向量的数量积运算．
【分析】利用向量数量积坐标运算公式求解．
【解答】解：∵向量=（﹣1，1,﹣1),=（2，0，﹣3），
∴=﹣2+0+3=1．
故选：D．
2．不等式≥0的解集为（）
A．[﹣2，1］B．（﹣2，1］C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞,﹣2]∪（1，+∞）
【考点】其他不等式的解法．
【分析】先将此分式不等式等价转化为一元二次不等式组，特别注意分母不为零的条件，再解一元二次不等式即可
【解答】解：不等式≥0
⇔（x﹣1）（2+x）≤0且x≠﹣2
⇔﹣2≤x≤1且x≠﹣2⇔﹣2＜x≤1．
即不等式的解集为：（﹣2,1]．
故选B．
3．下列命题中是假命题的是(）
A．若a＞0，则2a＞1
B．若x2+y2=0,则x=y=0
C．若b2=ac，则a，b，c成等比数列
D．若a+c=2b，则a，b,c成等差数列
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A，由指数函数y=2x可得，当a＞0，2a＞1;
B，∵x2≥,y2≥0对任意实数恒成立,∴当x2+y2=0时，一定有x=y=0;
C，当b2=ac时,a,b,c可能同时为0，此时a,b，c不是等比数列;
D，当a+c=2b，一定有b﹣a=c﹣b，则a，b，c一定成等差数列．
【解答】解：对于A，由指数函数y=2x可得,当a＞0,2a＞1，故正确；
对于B，∵x2≥，y2≥0对任意实数恒成立，∴当x2+y2=0时，一定有x=y=0,故正确;
对于C，当b2=ac时,a，b，c可能同时为0,此时a，b，c不是等比数列，故错；对于D，当a+c=2b,一定有b﹣a=c﹣b，则a,b,c一定成等差数列，故正确．
故选：C．
4．已知｛a n}是等比数列，a1=4，a4=，则公比q等于（)
A．B．﹣2 C．2 D．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】把题目给出的条件直接代入等比数列的通项公式求公比．
【解答】解：在等比数列{a n｝中，由，
得，
∴q=．
∴等比数列{a n｝的公比为．
故选：D．
5．命题“任意x∈R，|x｜+x2≥0”的否定是（）
A．任意x∈R，｜x｜+x2＜0 B．存在x∈R,｜x|+x2≤0
C．存在x0∈R，｜x0|+x02＜0 D．存在x0∈R，|x0|+x02≥0
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“任意x∈R，｜x｜+x2≥0”的否定是存在x0∈R，|x0|+x02＜0．
故选：C．
6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，，,则用向量,,可表示向量=()
A．B． C． D．﹣
【考点】空间向量的基本定理及其意义．
【分析】从要表示的向量的起点出发，沿着平行六面体的棱把向量顺次首尾相连，写出结果，这样三个向量都是指定的基底中的向量,得到结果．
【解答】解：
=﹣
故选D．
7．对于实数a,b,c，下列命题正确的是（）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b＜0,则 D．若a＜b＜0，则
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】选项是不等式，可以利用不等式性质,结合特例逐项判断，得出正确结果．
【解答】解:A,当c=0时，有ac2=bc2 故错．
B 若a＜b＜0，则a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，a2＞ab；ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，ab ＞b2，∴a2＞ab＞b2故对
C 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错．
D 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1,可知，故错
故选B．
8．若命题￢（p∨（￢q）)为真命题，则p，q的真假情况为（)
A．p真，q真B．p真，q假C．p假，q真D．p假，q假
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据复合命题真假判断的真值表,结合题￢（p∨（￢q)）为真命题，可得结论．
【解答】解:若命题￢（p∨(￢q）)为真命题，
则命题p∨（￢q)为假命题，
则命题p和￢q为假命题，
∴p假，q真,
故选:C
9．已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y（）
A．有最小值3，最大值9 B．有最小值9，无最大值
C．有最小值8，无最大值D．有最小值3，最大值8
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，
由z=2x+y，得y=﹣2x+z,
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．无最大值．
由，解得，
即A(2,4）．
此时z的最小值为z=2×2+4=8,
故选:C
10．已知数列{a n｝的前n项和S n=，则a3=()
A．B．C．D．
【考点】数列的函数特性．
【分析】利用公式可求出数列{a n｝的通项a n．令n=3即可得到a3
【解答】解:a3=S3﹣S2=﹣=．
故选A．
11．设a n=﹣n2+9n+10,则数列｛a n｝前n项和最大值n的值为（）
A．4 B．5 C．9或10 D．4或5
【考点】数列的函数特性．
【分析】由题意可得S n≥S n+1,解出不等式根据项的符号可作出判断
【解答】解:解:a n=﹣n2+9n+10=﹣（n﹣10）（n+1），
∵｛a n｝的前n项和S n有最大值,
∴S n≥S n+1，得a n+1≤0，即﹣［（n+1）﹣10］［（n+1）+1]≤0，
解得n≥9，
易得a8=18，a9=10,a10=0，a11=﹣12，则S9=S10最大，此时n=9或10．
故选C．
12．方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）
A．0＜a≤1 B．a＜1 C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】首先，对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论,然后在二次项系数不为0时，分两根一正一负和两根均为负值两种情况，最后将两种情况综合在一起找到a所满足的条件a≤1，再利用上述过程可逆，就可以下结论充要条件是a ≤1．
【解答】解：①a≠0时，显然方程没有等于零的根．
若方程有两异号实根，则由两根之积小于0可得a＜0；
若方程有两个负的实根,则必有，故0＜a≤1．
②若a=0时，可得x=﹣也适合题意．
综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1．
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1．
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知x＞0，y＞0，n＞0，4x+y=1，则+的最小值为16．
【考点】基本不等式．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，4x+y=1,
则+=（4x+y)=8+≥8+2=16，当且仅当y=4x=时取等号．
其最小值为16．
故答案为：16．
14．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（2,+∞）．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】先化简，再由二次函数的性质,得到解答．
【解答】解：不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，
即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0对一切x∈R恒成立
若a+2=0，显然不成立
若a+2≠0，则解得a＞2．
综上，a＞2
=3S n(n≥1），则数列｛a n｝的通项公式为15．已知数列{a n｝的首项a1=1，a n
+1
．
【考点】数列的求和．
【分析】先看n≥2根据题设条件可知a n=3S n﹣1，两式想减整理得a n+1=4a n，判断出此时数列{a n}为等比数列，a2=3a1=3，公比为4
求得n≥2时的通项公式，最后综合可得答案．
【解答】解：当n≥2时，a n=3S n﹣1，
﹣a n=3S n﹣3S n﹣1=3a n，
∴a n
+1
=4a n，
即a n
+1
∴数列{a n｝为等比数列，a2=3a1=3，公比为4
∴a n=3•4n﹣2，
当n=1时，a1=1
∴数列{a n}的通项公式为
故答案为：
16．若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围为0
＜a≤1或a≥．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出前三个不等式构成的不等式组表示的平面区域，求出A，B的坐标，得到当直线x+y=a过A，B时的a值,再由题意可得a的取值范围．
【解答】解：如图，联立，解得A(）．
当x+y=a过B（1，0)时，a=1；
当x+y=a过A()时，a=．
∴若不等式组表示的平面区域是一个三角形,
则0＜a≤1或a≥．
故答案为：0＜a≤1或a≥．
三、解答题(本大题共4小题,共44分）
17．已知向量=(1,5,﹣1）,=(﹣2，3，5）．
（1）若(k+）∥（﹣3)，求实数k;
(2)若（k+）⊥（﹣3）,求实数k．
【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【分析】直接求出k+，﹣3，（1)利用向量共线的充要条件求解即可．（2）通过斜率的数量积为0，求解即可．
【解答】解：因为k+=（k﹣2,5k+3,﹣k+5），﹣3=（1，5，﹣1）﹣3（﹣2，3，5）=（7，﹣4，﹣16)。

4分
（1）因为（k+）∥（﹣3），所以==⇒k=﹣。

7分
（2）因为（k+）⊥（﹣3），所以7(k﹣2）﹣4(5k+3）﹣16（5﹣k）=0⇒k=。

10分
18．设命题P:实数x满足2x2﹣5ax﹣3a2＜0,其中a＞0，命题q：实数x满足．
(1)若a=2，且p∧q为真,求实数x的取值范围；
(2)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（1）首先分别求出命题P与命题q的集合简化形式B与A；p∧q为真，则p，q均为真,实则是求B∩A．
（2）由¬p是¬q的充分不必要条件，则（q能推导出p，p推导不出q）．则
说明B⊆A．
【解答】解:（1）若a=2，则2x2﹣5ax﹣3a2＜0可化为x2﹣5x﹣6＜0，
解得：﹣1＜x＜6．
由得，
∴不等式的解集为．
若p∧q为真，则p，q均为真，∴由可得．
（2）解2x2﹣5ax﹣3a2＜0得：．
若¬p是¬q的充分不必要条件，则．
设，,则B⊆A．
∴3a≥2且，即，∴实数a的取值范围是．
19．（1）如图,证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π）,c是直线b在π上的投影,若a⊥b，则a⊥c”为真．
（2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明）
【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系;四种命题；向量语言表述线线的垂直、平行关系．
【分析】（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果．
证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论．
（2)把所给的命题的题设和结论交换位置,得到原命题的逆命题，判断出你命题的
正确性．
【解答】证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b,c,n对应的方向向量分别是，则共面，
根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得,
则=
因为a⊥b，所以，
又因为a⊂α，n⊥α，
所以，
故，从而a⊥c
证法二
如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，
∵PO⊥π，a⊂π，
∴直线PO⊥a，
又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，
∴a⊥平面PAO,
又c⊂平面PAO，
∴a⊥c
（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，
逆命题为真命题
20．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，｛b n}是等差数列，且a n=b n+b n
+1
．(Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】(Ⅰ)求出数列｛a n｝的通项公式，再求数列｛b n}的通项公式；(Ⅱ）求出数列｛c n}的通项，利用错位相减法求数列｛c n}的前n项和T n．【解答】解：(Ⅰ)S n=3n2+8n，
∴n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，
n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；
∵a n=b n+b n+1，
∴a n
﹣1=b n
﹣1
+b n，
∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．
∴2d=6，
∴d=3，
∵a1=b1+b2，
∴11=2b1+3，
∴b1=4,
∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；
(Ⅱ)c n===6（n+1）•2n，
∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，
∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②,
①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣(n+1）•2n+1]=12+6×﹣6
（n+1)•2n+1=(﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，
∴T n=3n•2n+2．
2017年1月13日。