高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 3.1.1 两角和与差的余弦》2

《两角差的余弦公式》教学设计
隆尧县职教中心焦群英
一、教材分析
1．教材的地位和作用
本节课的内容具有承上、启下和辐射的作用。

它是前面所学的任意角的三角函数和诱导公式等知识的延伸，同时又是两角和余弦、两角和与差正弦、正切及二倍角公式的基础。

对于三角变换、三角函数式的化简、求值和恒等式证明等问题的解决有重要的支撑作用。

2．教学重点与难点
⑴教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式及其应用。

⑵教学难点：两角差的余弦公式的探索过程的组织和适当引导。

这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等。

设计依据：本节教材的安排是从复习向量引入，直接利用向量的知识推导了两角差的余弦公式，并单独作为一节。

这样安排的用意是突出两角差的余弦公式，本章其他的公式都是由两角差的余弦公式推导出来的，这样，学生学习本章内容会有一个清晰的思路。

3设计思想
本节课的设计“教为主导，学为主体，以人为本”的理念，因此，本节课的设计流程是“背景设计--探索推导-反思-应用-总结”，目的是让学生在推导公式的过程当中，学会分析问题，解决问题，培养学生合作交流的能力。

推导出了公式之后，就是公式的应用，同时加强了公式的正用，逆用，变形用，为学生后面学习其他公式打下了坚实的基础。

学生在应用公式的同事，发现了数学的规律，如怎样逆用及活用公式，这种解决问题的方法许会让学生收益，也达到了我们教育的目的。

本节主要是交给学生“发现问题—猜想探索公式—验证特殊情形、—推导公式—学习应用”的探索创新式学习方法。

这样，通过这节课的学习，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律，探索推导，获取新知的途径，让学生真正感受到探索的喜悦，成为学习的主体，体会到数学的内在美。

会产生一种成功感。

二、教学目标
1．知识与技能
使学生理解两角差的余弦公式的推导，并能初步应用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

2．过程与方法
⑴经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系，体会特殊到一般及数形结合的思想；
⑵在诱导公式的推导过程和公式的初步运用中体会角的代换思想。

3．情感、态度、价值观
⑴让学生在公式的推导和运用过程中体验成功的喜悦，培养学生不怕困难、勇于探索的求知精神；
⑵通过观察、对比体会公式的对称美、思维的和谐美，给学生以美的陶冶。

三、教学教法
从学生熟悉的现实生活开始，从生活问题到数学问题，从具体到抽象，从特殊到一般，逐步让学生通过自己的发现去学习数学，获取知识，以实现数学问题的“再发现”过程。

据此，我对本节课的教学方法采用“自主探究、教师引导、小组讨论、合作交流”的教学模式，来完成公式的发现、推导和应用过程。

教法：教师与学生展开双边活动。

提问——探索，重在交流；启发——证明，重在发现；演示——应用，重在创新。

数学思想方法贯穿其中：联想法——通过余弦值联想到余弦线；类比法——差角公式的右边与向量数量积的坐标表示；数形结合——三角函数方法、向量方法；分类讨论——推导过程、例题。

学法：自主探究——公式的猜想与发现；小组讨论——用向量方法证明公式；合作交流——两角差与相应向量的夹角。

教师引导贯穿始终。

四、课堂结构分析
合理的课堂结构设计及其实施是完成课堂教学任务的根本保证，也是实施素质教育、大面积提高教学质量的基本途径。

为了顺利完成本节课的教学，根据建构主义观点和数学学科的特点，站在
五、教学过程
本节课的教学过程分六个环节。

1．创设情景，引入新课
提出有关章头图的一个实例。

从实例引入课题，目的在于从中提出问题，引入研究课题。

︒+的三角函数与单角45︒、α的三角函数的关系的需要。

⑴实例中，存在研究45α
[设计意图]
数学源于生活，引导学生从生活中发现数学，体会数学就在身边，同时，数学也是服务于生活与实践的。

2．明确任务，探索归纳
⑴对于30︒、45︒、60︒等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可以进一步求
120︒、210︒、690︒等角的三角函数值，我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角
函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据。

⑵若已知α、β的三角函数值，那么cos()αβ-的值能否确定？它与α、β的三角函数值有什么关系？这是我们本课时需要探索的问题。

[设计意图]
新知识的产生与形成离不开发散思维与联想，对已学知识的深入思考一定会引出新的矛盾，这些矛盾是激励学生成长的重要因素，也是激发学生数学兴趣的途径。

为了引导好学生探索归纳，我设计了8个思考。

思考1：设α、β为两个任意角，你能判断cos()cos cos αβαβ-=-恒成立吗？
思考2：我们设想cos()αβ-的值与α、β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你能有什么发现？
思考3：一般地，你能猜想出cos()αβ-等于什么吗？
思考4：如图1，设α、β为锐角，且αβ>，角αβ=，那么cos()αβ-表示哪条线段长？
思考5：如何用线段分别表示sin β和cos β？ 思考6：cos cos cos OA αβα=sin sin sin AP αβα=，它表示哪条线段长？
思考7：利用OM OB BM OB CP =+=+思考8：上述推理能说明对任意角α、β都有
cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立吗？
[设计意图]
循序渐进，尊重知识的形成规律，让学生感受知识的产生是自然而然的、水到渠成的。

3．自主探究，证明公式
为了帮助学生突破难点，我设计了4个探究。

探究1：根据cos cos sin sin αβαβ+的结构特征，你能联想到一个相关的计算原理吗？ 探究2：如图2，设角α、β的终边与单位圆的交点分别为A 、B ，则OA 、OB 的坐标分别是什么？其数量积是什么呢？
探究3：向量的夹角θ与α、β有什么关系？根据数量积的定义，OA OB ⋅等于什么？由此可得什么结论？
探究4：公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+称为两差角的余弦公式，记作()C αβ-，该公式有什么特点？如何记忆？
教师强调公式中α、β的任意性。

[设计意图]
由于学生对向量的工具性作用的体会还很浅，所以既要给学生思考的空间，又要加强引导；同时既要让学生体会向量法证明的简捷性，又要培养学生思维的灵活性和发散性。

教师让学生用自已的语言描述公式()C αβ-的特点。

引伸问题：若以
2
π
代替公式中的α，你会发现什么结论？ 学生自主探索得到结论cos()sin 2πββ-=后，教师提出如何证明sin()cos 2π
ββ-=，
cos(2)cos πββ-=等。

学生独立完成后，师生共同回忆诱导公式的规律。

[设计意图]
让学生体会代换的思想，引导学生诱导公式可用()C αβ-得到证明，初尝获得公式后的喜悦。

诱导公式的复习，为后面两角和的余弦、两角和与差的正弦公式的推导作好准备。

4．巩固新知，理论迁移
例1．利用两角差的余弦公式求cos15︒的值。

接着例1设计了3个变式训练。

变式：利用()C αβ-化简：
终边α终边
2
图
⑴cos53cos 23sin 53sin 23︒︒+︒︒；
⑵cos()cos()sin()sin()αβαβαβαβ-++-+； ⑶cos 67sin 68sin113sin 22︒︒+︒︒ 还有一个思考：你会求sin 75︒吗？ 学生自主完成。

[设计意图]
例1是公式的正向运用，同时让学生体会把非特殊角转化为特殊角的思想；变式属于公式的逆向运用，培养学生的逆向思维和化归能力。

例2．已知4sin 5α=，(,)2παπ∈，5
cos 13
β=-，β是第三象限角，求cos()αβ-的值。

[设计意图]
例2既是对公式的正向运用，同时要为运用公式()C αβ-扫清障碍；再次让学生体会由α、β的任意性赋予公式()C αβ-的强大功能，探索三角公式之间的内在联系。

接着例2设计了3个练习：
⑴利用()ααββ--=可得cos β等于什么？
⑵若已知αβ+和β的三角函数值，如何求cos α的值？
⑶若cos cos a αβ+=，sin sin b αβ+=，则cos()αβ-等于什么？ [设计意图]
本练习对公式()C αβ-的理解提出了进一步的要求，同时遵循了循序渐进的教学原则。

5．小结反思，任务后延
教师引导学生围绕以下方面进行小结： ⑴知识层面
用三角函数探究公式；用向量方法证明公式——感受向量的工具性作用。

⑵思维能力层面
联想、类比、换元；特殊与一般；数形结合、分类讨论。

[设计意图]
让学生通过小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程的理解，领会数学研究的有关基本方法和途径，学习并能应用数学思想与方法解决有关问题。

6．布置作业，分层练习 （有必做题、选做题和思考题）
⑴必做题：教材第127页练习2、3、4题。

⑵选做题：教材第137页习题A 组2、3、4、5题。

⑶思考题：怎样求cos()αβ+、sin()αβ+及sin()αβ-？
[设计意图]
分层作业，关注学生的个体差异，满足不同学生的学习要求。

六、课件使用设想
使用计算机辅助教学，能够优化教学过程，实现教学过程的多元化、直观化、形象化、主体化。

本节课的内容多、任务重、覆盖广，使用计算机辅助能使学习任务顺利完成。

在公式的探索过程中，涉及的图形较复杂，使用计算机辅助能化繁为简，解决问题形象生动，易于难点突破。