2021年高考数学一轮复习 第二章 第9讲 知能训练轻松闯关

2021年高考数学一轮复习 第二章 第9讲 知能训练轻松闯关
1．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12<0，则方程
f (x )＝0在[－1，1]内( )
A ．可能有3个实数根
B ．可能有2个实数根
C ．有唯一的实数根
D ．没有实数根
解析：选C ．由f (x )在[－1，1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12<0，知f (x )在
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，12上有唯一零点，所以方程f (x )＝0在[－1，1]上有唯一实数根． 2．函数f (x )＝－|x －5|＋2x －1
的零点所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)
解析：选C ．依题意得f (0)·f (1)>0，f (1)·f (2)>0，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)>0，故f (x )的零点所在区间是(2，3)，故选C ．
3．函数f (x )＝(x 2
－2 014x －2 015)ln(x －2 015)的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：选B ．由x －2 015>0，解得x >2 015， 故函数f (x )的定义域为(2 015，＋∞)．
由f (x )＝0，即(x 2－2 014x －2 015)ln(x －2 015)＝0，得x 2
－2 014x －2 015＝0或ln(x －2 015)＝0，
由x 2
－2 014x －2 015＝0，即(x ＋1)(x －2 015)＝0，解得x ＝－1或x ＝2 015，显然都不在函数f (x )的定义域内，故不合题意；
解ln(x －2 015)＝0，即x －2 015＝1，解得x ＝2 016． 所以函数f (x )只有一个零点．故选B ．
4．(xx·广东六校联考(一))在用二分法求方程x 3
－2x －1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫75，2
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，75
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2 解析：选D ．设f (x )＝x 3
－2x －1，因为一根在区间(1，2)内，根据二分法的规则，取
区间中点32，因为f (1)＝－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝27
8－4<0，f (2)＝3>0，所以下一步可以断定该根所
在区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2，故选择D ．
5．若函数f (x )＝x 2＋2a |x |＋4a 2
－3的零点有且只有一个，则实数a ＝( )
A ．32或－32
B ．－32
C ．
32
D ．以上都不对 解析：选C ．函数f (x )＝x 2＋2a |x |＋4a 2
－3是偶函数，所以要使其零点只有一个，这
个零点只能是0．由f (0)＝0得a ＝±32．当a ＝32
时，f (x )＝x 2
＋3|x |，它只有一个零
点0，符合题意；当a ＝－32
时，f (x )＝x 2
－3|x |，它有3个零点0，－3，3，不符合题意，综上，a ＝
32
． 6．函数f (x )＝（x －2）ln x
x －3
的零点个数是________．
解析：函数的定义域是(3，＋∞)，且由f (x )＝0得x ＝2或x ＝1，但1∉(3，＋∞)，2∉(3，＋∞)，故f (x )没有零点．
答案：0
7．若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________．
解析：当a ＝0时，f (x )＝1，与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0，函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，f (－1)f (1)<0，即(5a －1)(a ＋1)>0，解得a <－1
或a >15．即a 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫15，＋∞． 答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫15，＋∞
8．函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |
－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．
解析：在同一直角坐标系内，画出y 1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m <1．
答案：(0，1)
9．已知函数f (x )＝x 3－x 2
＋x 2＋14．证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0．
证明：令g (x )＝f (x )－x ．
∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1
2＝－18，
∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＜0． 又函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0．
10．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2
＋2x －3－a ．如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．
解：f (x )＝2ax 2
＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a
．
①当－12a ≤－1，即0<a ≤1
2时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，即⎩
⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，
∴a 的解集为∅．
②当－1<－12a <0，即a >1
2时，
须使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ≤0，f （1）≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，
a ≥1，
解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．
1．(xx·湖北武汉模拟)若函数f (x )在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0．01，则对区间(1，2)至少二等分( )
A ．5次
B ．6次
C ．7次
D ．8次
解析：选C ．设对区间(1，2)二等分n 次，开始时区间长为1，第1次二等分后区间长为12，第2次二等分后区间长为122，第3次二等分后区间长为1
23，…，第n 次二等分后区间长为12n ．依题意得1
2
n ＜0．01，∴n ＞log 2100．由于6＜log 2100＜7， ∴n ≥7，即n ＝7为所求．
2．(xx·皖西七校联考)已知函数f (x )＝e |x |
＋|x |，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )
A ．(0，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－1，0)
D ．(－∞，－1)
解析：选B ．方程f (x )＝k 化为方程e |x |＝k －|x |，令y ＝e |x |
，y ＝k －|x |，如图，y ＝k
－|x |表示斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y ＝e |x |
恰好有一个公共点时，有k ＝1，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(1，＋∞)．故选B ．
3．(xx·南宁模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________．
解析：∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0， f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，
且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数， ∴x 0∈[2，3]，即a ＝2，b ＝3． ∴a ＋b ＝5．
答案：5
4．(xx·北京西城期末)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，
4x ，x ≤0，则f [f (－1)]＝________；若函数
g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是________．
解析：f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＝log 214＝－2；
令g (x )＝0，得f (x )＝k ，等价于y ＝f (x )的图象和直线y ＝k 有两个不同的交点，在平面直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象，如图所示，要使得两个函数图象有2个不同交点，需0<k ≤1．则实数k 的取值范围是(0，1]．
答案：－2 (0，1]
5．设函数f (x )＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪1－1x (x ＞0)．
(1)作出函数f (x )的图象；
(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1
b
的值；
(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解：(1)如图所示．
(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩
⎪⎨⎪⎧1
x －1，x ∈（0，1]，1－1
x
，x ∈（1，＋∞），
故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，
由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ，且1
a
－1＝
1－1b
，∴1a ＋1
b
＝2．
(3)由函数f (x )的图象可知，当0＜m ＜1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．
6．(选做题)(1)已知f (x )＝x 2
＋2mx ＋3m ＋4．m 为何值时，有两个零点且均比－1大；
(2)若函数f (x )＝|4x －x 2
|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)法一：设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4．
由题意，知
⎩⎪⎨⎪
⎧Δ＝4m 2
－4（3m ＋4）>0
（x 1＋1）（x 2＋1）>0（x 1＋1）＋（x 2＋1）>0
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧m 2－3m －4>03m ＋4－2m ＋1>0－2m ＋2>0 ⇔⎩⎪⎨⎪
⎧m >4或m <－1，m >－5，m <1，
∴－5<m <－1．
故m 的取值范围为(－5，－1)． 法二：由题意，知 ⎩⎪⎨⎪
⎧Δ>0，
－m >－1，f （－1）>0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧m 2－3m －4>0，m <1，1－2m ＋3m ＋4>0.
∴－5<m <－1．
∴m 的取值范围为(－5，－1)．
(2)令f (x )＝0，得|4x －x 2
|＋a ＝0，
即|4x －x 2
|＝－a ．
令g (x )＝|4x －x 2
|， h (x )＝－a ．
作出g (x )、h (x )的图象．
由图象可知，当0<－a <4， 即－4<a <0时，
g (x )与h (x )的图象有4个交点， 即f (x )有4个零点．
故实数a 的取值范围为(－4，0)．40401 9DD1 鷑24942 616E 慮:n38615 96D7 雗29769 7449 瑉23965 5D9D 嶝 q&35043 88E3 裣P+。