宁夏银川市第六中学2020届高三第三次月考数学(理)试卷 Word版含答案

姓名，年级：
时间：
理 科 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}05|2
>-=x x
x A ,则C R A =
A ．{}50|≤≤x x
B ．{}0|<x x
C ．{}5|>x x
D ．{}05|≤≤-x x
2．设i 是虚数单位，如果复数2a i
i
-+的实部与虚部是互为相反数，那么实数a 的值为
A ．3
B ．13
C ．13
-
D ．3-
3．若向量m =（0，-2）,n =(3，1）,则与n m +2共线的向量可以是
A ．（3，—1)
B ．（-1，3）
C ．（3-，-1)
D ．(3,1--) 4．设a ，b R ∈,那么“
1a
b
>”是“0a b >>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 A ．2 B ．2C ．2 D ．36．等比数列{}n a 的首项为3
2
，公比为12
-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时，1n n
S S -的最小值与最大值的比值为
A ．12
5-
B ．107-
C ．10
9 D ．
12
5
7．某汽车公司的A ，B 两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可装配1辆甲型车和2辆乙型车,B 厂每小时可装配3辆甲型车和1辆乙型车.现要装配40辆甲型车和40辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,则这两个装配厂的工作时数分别为 A ．16，8
B ．15,9
C ．17,7
D ．14，10
8．已知正数,x y 满足1=+y x ，则14
1x y
++的最小值为
A ．5
B ．
3
14 C ．92
D ．2
9．已知函数()3sin cos f x x x =+，把函数()f x 的图象向右平移3π
个单位，再把
图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数()g x 的图象,当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,方程()0g x k -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为
A ．1,3⎡⎤⎣⎦
B ．)
3,2⎡⎣
C ．[]1,2
D ．[)1,2
10．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为
A ．12017-
B ．12018-
C ．12019-
D ．12020-
11．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生。

已知：丙的
年龄比医生大;甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是
A ．甲是教师,乙是医生,丙是记者
B ．甲是医生,乙是记者,丙是教师
C ．甲是医生，乙是教师，丙是记者
D ．甲是记者，乙是医生,丙是教师
12．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0
x >开始 n =1,s =0
1
1+++
=n n s s
n =n +1
n <2019? 否
是
输出S 结束
时,()()0f x f x x
'+>,则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范
围是
A ．()1,+∞
B ．()11,1,5
⎛⎫
-+∞ ⎪
⎝
⎭
C ．1,15⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．(),1-∞
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分. 13．已知函数
b x ab ax x f --+=)1()(2，如果不等式
()0f x >的解集为()1,3-,那么
不等式()20f x -<的解集为________________。

14．观察下列各式:31=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10,…，由此
推得:33331+2+3+n
15．若函数()sin(f x A ω=如图所示,16．底面半径为1cm 2
1
cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切。

现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水体积为 cm 3
.
三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题
为必考题,
第22、23题为选考题. （一）必考题:共60分 17．(12分）
设数列｛a n ｝的前n 项和为S n .已知S 2=4,a n+1=2S n +1，n∈N *。

（1）求通项公式a n 。

（2）求数列{a n -n —2｝的前n 项和。

18．（12分）
某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用p (万元）和宿舍与工厂的距离x (km )的关系为)80(5
3≤≤+=
x x k
p ,
若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元.为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元,铺设路面每公里成本为6万元，设f （x )为建造宿舍与修路费用之和.
(1)求f （x )的表达式
（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x ）最小并求最小值.
19．（12分）
如图，在四边形ABCD 中，72,AC CD AD ==
2.3
ADC π
∠=
（1)求CAD ∠的正弦值；
(2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍,求AB 的长. 20．（12分）
各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知152,512,n a a T ==是数列{}2log n a 的前
n 项和.
（1）求数列{}n a 的通项公式； (2)求n T ； （3）求满足2013
1011)11()11)(11(32>---n T T T 的最大正整数n 的值。

21．（12分）
已知函数()ln 3f x a x ax =-- (0)a ≠． (1）讨论()f x 的单调性；
(2)若()(1)40f x a x e +++-≤对任意2[,]x e e ∈恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数)；
（3）求证：22221111
ln(
1)ln(1)ln(1)...ln(1)1234n
++++++++<*(2,)n n N ≥∈． （二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．［选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程⎩⎨⎧ϕ
=ϕ
+=sin cos 1y x （ϕ为参数）．以O
为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；
（2）若直线l
的极坐标方程是2sin()3
πρθ+=射线:3
OM π
θ=与曲线C 的
交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 23．［选修4－5：不等式选讲]
已知函数|1|)(-=x x f
（1）解不等式()(4)8f x f x ++≥;
（2）若||1,||1,0a b a <<≠，求证：
)(||)(a
b
f a ab f >。

答案
一、选择题：
二、填空题：
13．}2123|{>-<x x x 或 14．
4
)1(2
2+n n 15. 2
3
1-
16. π+
)2
231( 三、解答题:
17．解：（1）由题意得1221a a 4,
a 2a 1,
⎧+=⎪⎨
=+⎪⎩则
12
a 1,
a 3.⎧=⎪⎨
=⎪⎩————---————-——-----————--———--—————2分
又当n≥2时,由a n+1-a n =(2S n +1）—(2S n —1+1)=2a n ，得a n+1=3a n ，--—-——-4分
所以数列{a n }是以1为首项,公比为3的等比数列，所以a n =3
n —1
，n∈N
＊。

—--6分
（2)记S n =（a 1—1-2)+(a 2-2—2)+(a 3—3—2)+……+（a n —n-2)
——————8分
=(a 1+a 2+……+a n )—［3+4+5+……+(n+2）］ ---—-—10分
=2
513252132)23(313122n
n n n n n n n n ---=
+--=++---—-———12分
18．解（1)根据题意,距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元
800,5
13100=∴+⨯=
k k
—-———-—--———-3分 80,655
3800
)(≤≤+++=
∴x x x x f
-——--—------—6分 （2)5805)53(25
3800
)(-≥-+++=x x x f =75
—--——--——-—-—8
分
当且仅当)53(25
3800
+=+x x 即x ＝5时
75)(min =x f —————--—--——-11
分
答：宿舍应建在离厂5km 处可使总费用f （x)最小为75万元。

—-—-——12分
19。

（Ⅰ）在△ACD 中,设(0)AD x x =>，
由
余
弦
定
理
得
222
7=422cos 3
x x x x +-⨯⋅π,---——-———-—--—-——2分
整理得2
77x =，解得1x =。

所以
1, 2.AD CD ==-—-———----———-—-----——-—----—-—--—-——--
-——--—-————-4分 由
正
弦
定
理
得
2sin sin 3
DC AC
DAC =
∠π
，解得
21sin 7DAC ∠=。

..。

.....。

.。

.....。

.6分
(Ⅱ）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=，
所以11
sin 4sin 2
2
AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得
sin 4sin .
AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠
—---———-—-—-——-—----——--——-———8分
所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠
于
是
cos 2.
AB CAD AD ⋅∠=———-———-—--—-———--—-—-—--—---——
——--—-—-------——-——10分 因为21
sin 7
CAD ∠=，且CAD ∠为锐角， 所
以
227cos 1sin CAD CAD ∠=-∠=。

-———--———-—-———————--——-———-12分
因此7.AB = .。

..。

..。

...。

..12分 20．
21．解：(1）函数的定义域为
,'(1)
()a x f x x
-=
, 2分 当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,1]，单调减区间为[1,)+∞； 3分 当0a <时，()f x 的单调增区间为[1,)+∞，单调减区间为(0,1]； 4分 （2）令()ln 3(1)4ln 1F x a x ax a x e a x x e =--+++-=++-， 则'()a x F x x
+=
，令'()0a x
F x x +==，则x a =- 5分 （a)若a e -≤，即a e ≥- 则()F x 在2[,]e e 是增函数,
2
2
max
()()210F x F e a e e ==++-≤ 21
2e e a --≤
无解。

6分 （b ）若2a e -≥即2a e ≤-,则()F x 在2[,]e e 是减函数,
max ()()10F x F e a ==+≤ 1a ≤- 所以2a e ≤- 7分
（c)若2e a e <-<,即2e a e -<<-，
()F x 在[,]e a -是减函数, 在2[,]a e -是增函数, 2
2
()210F e a e e =++-≤可得21
2
e e a --≤
()10F e a =+≤可得1a ≤- 所以22
1
2
e e e a ---≤≤
综上所述21
2
e e a --≤ 8分
（3)令1a =-（或1a =）此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，
由（1）知()ln 3f x x x =-+-在[1,)+∞上单调递增，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立， 9分 ∵*2,n n N ≥∈，则有2211111
ln(
1)(1)1n n n n n n
+<<=---， 10分
所以 2222
1111ln(
1)ln(1)ln(1)...ln(1)234n ++++++++ 1111111(1)()()...()223341n n <-+-+-+--1
11n
=-< 12分
22。

（1)曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+= ，
极坐标方程为2cos ρθ= -----—4分
（2)设11(,)P ρθ，则有2cos 3ρθ
πθ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
解得11
1,3πρθ== ——6分 设22(,)Q ρθ
，则有2sin()3
3πρθπθ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩解得223,3πρθ==—-8分
所以2PQ = . —-10分
23。

解：(1）f (x )＋f (x ＋4)＝｜x －1｜＋|x ＋3|＝错误!
当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5; 当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立； 当
x ＞1时,由2x ＋2≥8，解得
x ≥3．……………………………………………4分
所以,不等式
f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5,或
x ≥3｝．……………………………5分
（2）f （ab )＞｜a |f （错误!），即｜ab －1|＞|a －
b |． …………………………………………6分
∵因为|a ｜＜1，｜b |＜1，
∴|ab －1｜2
－｜a －b ｜2
＝(a 2b 2
－2ab ＋1）－(a 2
－2ab ＋b 2
)＝(a 2
－1）(b 2
－1）＞0，
所以,｜ab －1｜＞｜a －b |．故所证不等式成立．…………………………………10分
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