四川省成都市2020年高二下数学期末联考试题含解析

四川省成都市2020年高二(下)数学期末联考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．在某次体检中，学号为i （1,2,3,4i =）的四位同学的体重()f i 是集合{45,48,52,57,60}kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤，则这四位同学的体重所有可能的情况有（ ） A ．55种
B ．60种
C ．65种
D ．70种
2．某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（ ） A ．720
B ．520
C ．600
D ．264
3．在数列{}n a 中，111,3n n a a a +==，则4a 等于（ ） A ．9
B ．10
C ．27
D ．81
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且423S S =，715a =，则{}n a 的公差为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知函数()2
2ln f x x ax =-，若α，β均在［1，4］内，且1βα-=，()()f f αβ=，则实数a 的取
值范围是（） A ．ln 20,
4⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．2
4ln 2ln ,
734⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．ln 22,ln 243⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．242
ln ,ln 2733
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
6．复数()2
i i 12i 1z m m =-+++-对应的点在第二象限，其中m 为实数，i 为虚数单位，则实数的取值范围（ ） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（﹣1，1）
C ．（﹣1，2）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
7．已知*n N ∈，设215n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，
则展开式中x 的系数为（ ） A ．-250
B ．250
C ．-500
D ．500
8．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与
双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆2
2
2
:216⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是
（ ）
A ．y x =±
B ．2y x =±
C ． y =
D ．y =
9．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，
可以判定会证明此题的人是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
10． “m ≥是“函数221y x mx =-+在(),-∞+∞内存在零点”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知A （2，0），B （0，1）是椭圆22
221x y a b
+=的两个顶点，直线()0y kx k =>与直线AB 相交于点D ，
与椭圆相交于E ，F 两点，若6ED DF =，则斜率k 的值为（ ） A ．
2
3
B ．38
C ．
23或38
D ．
23或34
12．已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则E ξ=（ ） A ．
145
B ．
135
C ．
73
D ．83
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．8
(x
的展开式中，5x 的系数是___．（用数字填写答案） 14．在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查.现从98件正品和2件次品共100件产品中，任选3件检查，恰有一件次品的抽法有__________种．
15．连续3次抛掷一枚质地均匀的硬币，在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为 ．
16．已知两直线的方向向量分别为(),1a m =，()4,b m = ，若两直线平行，则m =________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知向量a ,b 满足||||1a b ==，|3(0,)ka b a kb k k R +=-∈． (1)求a b ⋅关于k 的解析式f(k)． (2)若//a b ，求实数k 的值． (3)求向量a 与b 夹角的最大值．
18．在长方体1111ABCD A B C D -中，DA =2DC =，1DD =，E 是AB 的中点.
（1）求四棱锥1A BCDE -的体积；
（2）求异面直线1A E 与1B C 所成角的大小（结果用反三角形函数值表示）.
19．（6分）我国是枇把生产大国，在对枇杷的长期栽培和选育中，形成了众多的品种．成熟的枇杷味道甜美，营养颇丰，而且中医认为枇杷有润肺、止咳、止渴的功效．因此，枇杷受到大家的喜爱．某果农调查了枇杷上市时间与卖出数量的关系，统计如表所示：
结合散点图可知，,x y 线性相关．
（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程y ＝ˆbx +a （其中b ，a 用假分数表示）；
（Ⅱ）计算相关系数r ，并说明（I ）中线性回归模型的拟合效果． 参考数据：22115≈；
参考公式：回归直线方程y ＝ˆ
bx
+a 中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()()
()
1
2
1
ˆˆˆ,n
i
i
i n
i
i x x y y b
a
y bx x x ==--==--∑∑；相关系数()()
()
1
2
2
1
1
(;)n
i
i
i n n
i
i i x x y y x x y y ===--=-⋅-∑∑∑
20．（6分）为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况，从甲校抽取60人，从乙校抽取50人进行分析。

(1)根据题目条件完成上面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；
(2)现已知甲校,,A B C 三人在某大学自主招生中通过的概率分别为
12，13，1
3
，用随机变量X 表示,,A B C 三人在该大学自主招生中通过的人数，求X 的分布列及期望()E X .
参考公式：2
2
(),()()()()
n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++.
21．（6分）已知111
1,
,,,
,
112123
123n
++++++
+，其前n 项和为n S .
（1）计算1234,,,S S S S ；
（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.
22．（8分）如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =
，6BD =．
（1）求sin ABD ∠的值；
（2）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】
根据(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中等号所取个数分类讨论，利用组合知识求出即可. 【详解】
解：当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中全部取等号时，情况有1
55C =种；
当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有两个取等号，一个不取等号时，情况有21
5330C C =种；
当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有一个取等号，两个不取等号时，情况有31
5330C C =种；
当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中都不取等号时，情况有4
55C =种；
共560+60+5=70+种. 故选：D .
本题考查分类讨论研究组合问题，关键是要找准分类标准，是中档题. 2．D 【解析】 【分析】
根据题意，分别讨论：甲、乙两节目只有一个参加，甲、乙两节目都参加，两种情况，分别计算，再求和，即可得出结果. 【详解】
若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：134
244192C C A =， 若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：222
42372C A A =；
因此不同的演出顺序的种数为19272264+=. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查有限制的排列问题，以及计数原理的简单应用，熟记计数原理的概念，以及有限制的排列问题的计算方法即可，属于常考题型. 3．C 【解析】 【分析】
利用题设中递推公式，构造等比数列，求得等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】
由题意，在数列{}n a 中，111,3n n a a a +==，即1
11,
3n n
a a a +== 可得数列{}n a 表示首项11a =，公比3q =的等比数列，
所以33
411327a a q ==⨯=，故选C.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】
根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件得111463(2),615a d a d a d +=++=，由此可得d 的值，
即可得答案．
根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，
由题意得427
315S S a =⎧⎨=⎩，即111463(2)615a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，解得13
2a d =⎧⎨=⎩．
故选B ． 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和，关键是掌握等差数列的前n 项和公式的形式特点，属于基础题． 5．D 【解析】 【分析】
先求导，利用函数的单调性，结合()()f f αβ=，确定0a >;再利用1βα-=，即
()2ln 2ln 0a αβαβ-++=，可得()()2ln 2ln 1210a ααα-+++=，[]1,3α∈，设
()()()2ln 2ln 121h x x x a x =-+++，[]1,3x ∈，确定()h x 在[]1,3上递增，()h x 在[]1,3有零点，即
可求实数a 的取值范围． 【详解】
解：()()2
220ax f x x x
'-=>，
当0a ≤时，()0f x '> 恒成立，则f （x ）在（0，+∞）上递增，则f （x ）不可能有两个相等的函数值．故
0a >；
由题设()()f f αβ=， 则222ln 2ln a a ααββ-=- 22ln a αα- ＝2
2ln a ββ-
考虑到1βα-=，即()2ln 2ln 0a αβαβ-++=
()()2ln 2ln 1210a ααα∴-+++=，[]1,3α∈
设()()()2ln 2ln 121h x x x a x =-+++，[]1,3x ∈， 则()22201
h x a x x ++'=
-> 在[]1,3上恒成立， ()h x ∴在[]1,3上递增，()h x 在[]1,3有零点，则
()()1030h h ⎧≤⎪∴⎨≥⎪⎩
，2ln 2302ln32ln 470a a -+≤⎧∴⎨-+≥⎩ ，
242
ln ln 2733
a ∴≤≤ 故实数a 的取值范围是242
ln ln 2733
a ≤≤．
本题考查了通过构造函数，转化为函数存在零点，求参数取值范围的问题，本题的难点是根据已知条件()()f f αβ=，以及1βα-=，变形为()()2ln 2ln 1210a ααα-+++=，[]1,3α∈
，然后构造函数转
化为函数零点问题. 6．B 【解析】 【分析】
整理复数z 为a bi +的形式，根据复数对应点在第二象限列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】
()(
)
2
12z m m m =----i 对应点在第二象限，因此有(
)2
1020m m m -<⎧⎪
⎨--->⎪⎩， 即1
1112m m m <⎧⇒-<<⎨
-<<⎩
，故选B 【点睛】
本小题主要考查复数对应点所在象限，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】
分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数. 【详解】
215n
x x ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭的展开式 取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N = 429925n n M N n -=-=⇒=
52510315
51(5)
()5(1)r r r
r r r r r T C x C x x
---+=-=- 取3r = 值为-250 故答案选A 【点睛】
本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键. 8．B 【解析】 【分析】
先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭c b E x y 相切于点M ，根据题意，得到1//EM PF ，再由
22114F E F F =，根据勾股定理求出2b a =，从而可得渐近线方程. 【详解】
设直线2PF 与圆2
2
2
:216⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭c b E x y 相切于点M ，
因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形，所以1290F PF ∠=， 又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ，所以1//EM PF ， 又
2211
4F E F F =，所以144
b PF b =⋅=， 因此22PF a b =+， 因此有2
2
2
(2)4b a b c ++=，
所以2b a =，因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B 【点睛】
本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 9．B 【解析】
如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项A ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项C ；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项D ，故选B. 10．A 【解析】
分析：先求函数2
21y x mx =-+在(),-∞+∞内存在零点m 的解集，0≥，再用集合的关系判断充分条
件、还是必要条件。

详解：函数2
21y x mx =-+在(),-∞+∞内存在零点，则
0≥
，所以m m ≥≤-
的解集那么
m ≥
m m ≥≤- A
点睛：在判断命题的关系中，转化为判断集合的关系是容易理解的一种方法。

11．C 【解析】 【分析】
依题可得椭圆的方程，设直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，y kx =，
()()()001122,,,,,D x ky E x ky F x ky ，且12,x x 满足方程()22144k x +=，进而求得2x 的表达式，根据
6ED DF =，求得0x 的表达式，由D 在AB 上知0022x kx +=，进而求得0x 的另一个表达式，两个表达
式相等即可求得k ． 【详解】
依题设得椭圆的方程为2
214
x y +=，
直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，()0y kx k =>． 设()()()001122,,,,,D x ky E x ky F x ky ，其中12x x <， 且
12,x x 满足方程()2
2
144k x +=，故21x x =-=
，
由6ED DF =，知()
01206x x x x -=-，得()021215677x x x x =
+== 由D 在AB 上知
0022x kx +=，得0212x k =+．所以212k =+， 化简得2242560k k -+=，解得2
3k =或38
k =． 故选C ． 【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和椭圆联立，求交点，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题． 12．A 【解析】 【分析】
先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122i i E p p p ξξξξ=+++
+可求得数学期
望. 【详解】
ξ的可能取值为2,3,4.
2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故()339
25525
P ξ==⨯=.
3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故
()322312
3555525
P ξ==⨯+⨯=.
4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故()224
45525
P ξ==⨯=.
所以912414
2342525255
E ξ=⨯+⨯+⨯=.故选A. 【点睛】
求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布(),B n p ，也可以直接利用公式E np ξ=求期望.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．28 【解析】
分析：由题意知本题要求二项式定理展开式的一个项的系数，先写出二项式的通项，使得变量x 的指数等于5，解出r 的值，把r 的值代入通项得到这一项的系数． 详解：
3882
18
8((1)r r
r
r r r
r T C x
C x --+==-
要求x 5的系数， ∴8-
32
r
=5， ∴r=2，
∴x 5的系数是（-1）2C 82=28， 故答案为28
点睛：本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的通项，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键． 14．9506 【解析】
分析：事情分两步完成，先从2件次品中选一件有1
2C 种方法，再从98件正品里选两件有2
98C 种方法，根据乘法分步原理即得恰有一件次品的抽法的总数.
详解：事情分两步完成，先从2件次品中选一件有1
2C 种方法，再从98件正品里选两件有2
98C 种方
法，根据乘法分步原理得恰有一件次品的抽法的总数为12
2989506C C =种.故答案为：9506.
点睛：本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和应用能力. 15．
7
3 【解析】
试题分析：至少有一次正面向上的概率为872113=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，恰有一次出现反面向上的概率为8
3213
13=⎪⎭⎫ ⎝⎛C ，
那么满足题意的概率为73
8
783
=．
考点：古典概型与排列组合． 16．2± 【解析】 【分析】
根据题意可得出a b ，从而得出m 1﹣4＝0，解出m 即可． 【详解】 ∵a b ； ∴m 1﹣4＝0； ∴m ＝±1． 故答案为±1． 【点睛】
考查直线的方向向量的概念，以及平行向量的坐标关系． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）21
()(0)4k f x k k
+=>（2）2k =3）3πθ=
【解析】 【分析】
（1）根据向量的数量积即可． （2）根据向量平行时的条件即可． （3）根据向量的夹角公式即可． 【详解】
(1)由已知3ka b a kb +=-，
有(
)
2
2
3ka b a kb +=
-，
2
2
2
2
222363k a ka b b a ka b k b +⋅+=-⋅+⋅．
又因为||||1a b ==， 得2822ka b k ⋅=+，
所以21
4k a b k +⋅=，
即21
()(0)4k f x k k
+=>．
(2)因为//a b ，0k >，
所以21
04k a b k
+⋅=>，
则a 与b 同向．
因为||||1a b ==，所以1a b ⋅=，
即2114k k
+=，整理得2410k k -+=，
所以2k =
所以当2k =±a b ．
(3)设a 与b 的夹角为θ，则2
21111cos 2
444||||k a b k k a k a b b θ⋅⎡⎤+⎛⎫==⋅==+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
．
=
，即1k =时， cos θ取最小值1
2，此时3
πθ=．
【点睛】
本题主要考查了向量的平以及数量积和夹角，属于基础题．
18．（1）1A BCDE V -=；（2）1arccos 2
【解析】 【分析】
（1）先求出BCDE ABCD ADE S S S ∆=-=
,由此能求出四棱锥1A BCDE -的体积。

（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1A E 与1B C 所成角的大小。

【详解】 （1）
在长方体1111ABCD A B C D -中，6DA =，2DC =，13DD =，E 是AB 的中点.
∴136626122
BCDE ABCD ADE S S S ∆=-=⨯-⨯⨯=，
∴四棱锥1A BCDE -的体积1
111363233322
BC A BCD DE E V AA S -=⨯⨯=⨯⨯= （2）
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则
1(6,0,3)A ，6,1,0)E ，1(6,2,3)B ，(0,2,0)C ，
1(0,1,3)A E ∴=-，1
(6,0,3)BC =--，设异面直线1A E 与1B C 所成角为θ， 则11111cos 2
49A E B C A E B C
θ⋅=
=
=⋅⋅， 1
arccos 2
θ∴=
∴异面直线1A E 与1B C 所成角为1
arccos 2
【点睛】
本题考查了棱锥的体积公式，解题的关键是熟记棱锥体积公式，同时也考查了用空间直角坐标系求立体几何中异面直线所成的角，此题需要一定的计算能力，属于中档题。

19．（Ⅰ）29235
1717
y x =+；（Ⅱ）0.967r =，因为0.9670.75>，所以拟合效果较好。

【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用最小二乘法求线性回归方程；（Ⅱ）直接依据公式计算相关系数，比较即可。

【详解】 （1）911141615135x ++++=
=，3032364240
365
y ++++== ，
5
1()()(4)(6)(2)(4)10362458i
i
i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2
222221
()
(4)(2)13234i
i x x =-=-+-+++=∑，
所以ˆb
＝58293417
＝， 则2923536131717
a y bx --⨯＝＝＝， 故所求线性回归方程为292351717
y x ＝＋； （II ）
()
5
2
1
361603616104i i y y -∑＝＝＋＋＋＋＝，
故()()
5
i
i
x x y y r --
∑
0.9670.75≈＞,
故（I ）中线性回归模型的拟合效果较好. 【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求法以及相关系数的计算与应用。

20．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
(1)由题可得表格，再计算2K ，与6.635比较大小即可得到答案；
（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，分别利用乘法原理计算对应概率，从而求得分布列和数学期望. 【详解】
（1）2×2列联表如下
由()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，22110(40302020)7.8 6.635(4020)(2030)(4020)(2030)K ⨯-⨯=≈>++++，
所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关 （2）设A ，B ，C 自主招生通过分别记为事件M ，N ，R ，则11
(),()()23
P M P N P R === ∴随机变量X 的可能取值为0，1，2，3.
1222
(0)()2339
P X P MNR ===⨯⨯=，
()()
1221121214
12332332339P X P M NR MNR MNR ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
()()1121111215
223323323318
P X P MNR MNR MNR ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
()()1111
323318
P X P MNR ===⨯⨯=
所以随机变量X 的分布列为：
()01239918186
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=
【点睛】
本题主要考查独立性检验统计案例，随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生的分析能力，转化能力及计算能力，比较基础. 21．（1）4381,,,325；（2）21
n n
S n =+，证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）由题可得前4项，依次求和即可得到答案； （2）由（1）得到前四项和的规律可猜想21
n n
S n =+，由数学归纳法，即可做出证明，得到结论。

【详解】
（1）计算12141,1123
S S ==+
=+，344163318
,312342212345S S =+
===+=+++++. （2）猜想21
n n
S n =
+. 证明：①当1n =时，左边11S ==，右边21
111
⨯=
=+，猜想成立.
②假设(
)
*
n k k =∈N
猜想成立，即111121*********
k k
S k k =+
++⋯+=++++++⋯++成立，
那么当1n k =+时，()()
11
22
1231
112k k k S S k k k k k +=+
=
++++
++++++， 而()()()()()()()2
212122
1121211
k k k k k k k k k +++==
+++++++，故当1n k =+时，猜想也成立. 由①②可知，对于*n ∈N ，猜想都成立. 【点睛】
本题主要考查了归纳、猜想与数学归纳法的证明方法，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证1n =时成立；（2）假设当n k =时成立，证得1n k =+也成立；（3）得到证明的结论．其中在n k =到1n k =+的推理中必须使用归纳假设．着重考查了推理与论证能力．
22．（Ⅰ）4
1BC = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理可得答案;
（Ⅱ）由90ABC ︒∠=结合（Ⅰ）可得cos CBD ∠，在BCD ∆中，由余弦定理得BC 值. 【详解】
（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AD BD
ABD A
=∠∠．
因为60,A AD BD ︒∠===
所以sin sin sin 60
4AD ABD A BD ︒∠=
⨯∠==
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，sin 4
ABD ∠=， 因为90ABC ︒∠=，
所以()
cos cos 90sin 4
CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=． 在BCD ∆中，由余弦定理，
得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠．
因为2,CD BD ==
所以24624
BC BC =+-， 即2320BC BC -+=， 解得1BC =或2BC =． 又CD BC >，则1BC =． 【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题.。