数学选修2-2第一章测试题及答案

第一章测试题
一、选择题
1. 已知函数f (x )=ax 2
＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 （ ）
A.1
B.2
C.－1
D. 0
2. 函数y =(2x ＋1)3
在x =0处的导数是 （ ） A.0 B.1 C.3 D.6 3．函数)0,4
(
2cos π
在点x y =处的切线方程是 （ ）
A ．024=++πy x
B ．024=+-πy x
C ．024=--πy x
D ．024=-+πy x
4.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15
-
Ｂ．0
Ｃ．
15
Ｄ．5
5. 给出以下命题：⑴若
()0b a
f x dx >⎰
，则f (x )>0； ⑵
20
sin 4x dx =⎰
π;⑶f (x )
的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则
()()a a T T
f x dx f x dx +=⎰
⎰
；其中正确命题的个数为 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0 6．函数3
13y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C. 极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2
7.若函数f(x)=x 3
-3b 2
x +3b 在（0，1）内有极小值，则 （ ）
A.0<b<2
B.b<2
C.b>0
D.0<b<2
1
8、由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ）
A ．
32
9
B ．2ln3-
C ．4ln3-
D ．4ln3+
9. 已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程为（ ） A ．
2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．201
4
gt 10．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 ( )
A 、0
B 、-4
C 、-2
D 、2
1
-
1 O
y
x
11．已知函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，其中()f x '
为函数()f x 的导函数，则()y f x =的大致图象是( )
12.设0<a <b ，且f (x )＝x
x
++11，则下列大小关系式成立的是 ( ). A.f (a )< f (
2b a +)<f (ab ) B . f (2b
a +)<f (
b )< f (ab ) C . f (ab )< f (2b a +)<f (a ) D . f (b )< f (2
b
a +)<f (a
b )
二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分)
13.一物体在力⎩
⎨⎧>+≤≤=)2(,43)
20(,10)(x x x x F (单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从0=x 处运动到
4=x （单位：m ）处，则力)(x F 做的功为 焦。

14.已知f(x)=3x ·sinx，则f’(1)=__________
15．
dx x ⎰
--3
3
29= , dx x x ⎰+20)sin (π
＝ 。

16、已知曲线
323610y x x x =++-上一点P ，则过曲线上P 点的所有切线方程中，斜率最小的切
线方程是 。

三、解答题 17．（10分）
求2
12cos 02
y x x x x π=-==函数的图象与轴及直线、所围成的图形的面积。

18．（12分）已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2
在x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．
19．（12分）平面向量13(3,1),(,)2a b =-=r r
，若存在不同时为0的实数k 和t 使2
(3),,x a t b y ka tb =+-=-+r r r r r r 且x y ⊥r r ，试确定函数()k f t =的单调区间。

20、（12分）已知函数3
2
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得 极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)， 如图所示.求： （1）0x 的值； （2）,,a b c 的值. （3）若曲线=y )(x f )20(≤≤x 与m y =有两个不同的交点，求实数m 的取值范围。

21、（12分）已知函数
()32f x x ax bx c =-+++图像上的点),1(m P 处的切线方程为
31y x =-+．
（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式； （2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围。

22．（12分）设0a ≥，
2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．
（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+．
2-2第一章测试题
答案
一、选择题
1—5 ADDBB 6—12 CDCAB 11—12 BD 二、填空题
13. 46 14.31
sin1+cos1 15. 2
9π, 218π+ 16. 3110x y --=
三、非选择题
6
π
18．设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x ，y ），且x ＞0，y ＞0，
则另一个在抛物线上的顶点为（－x ，y ）， 在x 轴上的两个顶点为（－x ，0）、（x ，0），其中0＜ x ＜2．
设矩形的面积为S ，则S ＝2 x （4－x 2
），0＜ x ＜2． 由S′（x ）＝8－6 x 2
＝0，得x ＝
33
2
，易知
x 是S 在（0，2）上的极值点，即是最大值点，
3
8．
19．解：由11),(2a b =-=r r 得0,2,1a b a b ===r r r r g 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=r r r r
r r r r r r g g g
33311
430,(3),()(3)44
k t t k t t f t t t -+-==-=- （t ≠0）
'233()0,1,144f t t t t =-><->得或；233
0,1144
t t -<-<<得 且 t ≠0
所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；减区间为(1,0),(0,1)-。

20、（1）0x =1 （2）12,9,2=-==c b a （3）)5,4[ 21.解：()'
232f
x x ax b =-++，
因为函数()f x 在1x =处的切线斜率为-3，所以()'
1323f a b =-++=-，即20a b +=， 又()112f a b c =-+++=-得1a b c ++=-。

（1）函数()f x 在2x =-时有极值，所以()'21240f a b -=--+=， 解得2,4,3a b c =-==-，所以()3
2
243f x x x x =--+-．
（2）因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()'
23f x x bx b =--+在区间[]2,0-上的值
恒大于或等于零， 则()()'21220,
'00,
f b b f b -=-++≥⎧⎪⎨
=≥⎪⎩得4b ≥，所以实数b 的取值范围为[)4,+∞
22.（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a
f x x x x
'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22
()10x F x x x x
-'=-=>，，
列表如下：
故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值
(2)22ln 22F a =-+．
（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即2
1ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+．。