上海市交大附中2020届高三数学下学期期中试题(含解析)

上海市交大附中2020届高三数学下学期期中试题〔含解析〕
一． 填空题
1.计算矩阵的乘积 : ()300c a
b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
_____. 【答案】(3,)a ac
【解析】
【分析】
直接利用矩阵的乘积公式求解即可. 【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭
. 故答案为 : (3,)a ac
【点睛】此题主要考查矩阵的乘积 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.
2.计算 : 012393n n n n n n C C C C ++++=_____.
【答案】4n
【解析】
【分析】
先把原式写成0011223333n n n n n n C C C C ++++ , 再利用二项式定理得解. 【详解】由题得原式=0011223333(13)4n n n n n n n n C C C C +++
+=+=. 故答案为 : 4n
【点睛】此题主要考查二项式定理的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3.已知23sin
cos 223θθ+= , 那么sin θ=_____. 【答案】13
【解析】
【分析】 把等式23sin cos 223
θ
θ
+=两边同时平方化简即得解.
【详解】由题得221sin
cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=. 故答案为 : 13
【点睛】此题主要考查二倍角的正弦公式的应用 , 考查同角的平方关系的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4.假设双曲线22
14x y m
-=的焦距为6 , 那么该双曲线的虚轴长为_____. 【答案】25
【解析】
【分析】
由题得243,m +=解方程即得解.
【详解】由题得20,43,5m m m >+=∴=. 所以双曲线的虚轴长为25.
故答案为 : 25
【点睛】此题主要考查双曲线的简单几何性质 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.
5.在首项为21 , 公比为
12的等比数列中 , 最接近于1的项是第________项 【答案】5
【解析】
【分析】
先求出等比数列的通项 , 再列举出数列的前几项 , 比拟即得解. 【详解】由题得等比数列的通项为112341
212121=21(),21,,,,2248
n n a a a a a -⨯∴==== 5621211.31,0.66,1632
a a =
≈=≈ 所以521 1.3116a =≈与1最接近. 所以最接近于1项是第5项.
故答案为 : 5
【点睛】此题主要考查等比数列的通项 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于
基础题.
6.如以下图 , 二面角l αβ--的大小是3π , 线段AB ⊂α , B l ∈ , AB 与l 所成的角为6
π , 那么AB 与平面β所成的角是_____〔用反三角函数表示〕
【答案】3arcsin
4
【解析】
【分析】 如以下图 , 过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥ , 垂足为C ,连接,OB OC , 证明3ACO π∠=
, 不妨设1,AC =根据已知求出32,,2
AB AO ==求出3sin 4ABO ∠=即得解. 【详解】
如以下图 , 过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥ , 垂足为C ,连接,OB OC . 因为AO β⊥ , 所以AO l ⊥ , 因为AC l ⊥ ,
,AO AC ⊂平面AOC ,AO AC A ⋂=,
所以l ⊥平面AOC , 所以l OC ⊥,
所以ACO ∠就是二面角l αβ--的平面角 , 所以3ACO π
∠=.
由题得6ABC π
∠=,不妨设31,2,,2
AC AB AO =∴==
由题得AB 与平面β所成的角是ABO ∠, 所以3
32sin 24
ABO ∠==. 所以3arcsin 4
ABO ∠=. 故答案为 : 3arcsin 4
【点睛】此题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算 , 考查空间直线和平面所成的角的作法和计算 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边 , 2a = , 且
(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C - , 那么△ABC 面积的最大值为_____. 【答案】3
【解析】
【分析】
由正弦定理化简已知可得222a b c bc -=- , 结合余弦定理可求A 的值 , 由基本不等式可求4bc , 再利用三角形面积公式即可计算得解．
【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-
(2)()()b a b c b c ∴+-=-
2222a b ab b c bc ∴-+-=- ,
又因为2a = , 所以222222222
1,,cos ,223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-∴+-=∴==∴= , ABC ∆面积13sin 24
S bc A bc == , 而222b c a bc +-=
222b c bc a ∴+-=
2242b c bc bc bc ∴+-=≥-
4bc ∴
所以13sin 324S bc A bc == , 即ABC ∆面积的最大值为3．
故答案为 : 3．
【点睛】此题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用 , 考查了计算能力和转化思想 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
8.已知函数()lg(1)f x x =+ , ()g x 是以2为周期的偶函数 , 且当01x ≤≤时 , 有()g x =()f x , 那么函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =_____.
【答案】310([0,lg2])x x -∈
【解析】
【分析】
先根据偶函数性质求出[1x ∈- , 0]上的解析式 , 再根据周期为2求出[1x ∈ , 2]上的解析式 , 最后求出反函数．
【详解】当10x -时 , 01x - , ()()(1)f x f x lg x ∴=-=-+ ,
当12x 时 , 120x -- , ()(2)[(2)1](3)f x f x lg x lg x ∴=-=--+=-+．
()(3)(12)g x lg x x ∴=-+ ,
()310g x x ∴-+= , ()310g x x ∴=- ,
所以1()310x g x -=- ,
()(3)(12)g x lg x x =-+是减函数 ,
()[0,lg 2]g x ∈
所以1()310x g x -=- , (02)x lg .
故答案为 : 310([0,lg2])x x -∈
【点睛】此题主要考查反函数的求法 , 考查根据函数的奇偶性周期性求解析式 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9.已知()y f x =是定义在R 上的函数 , 方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解 , 那么这7个解的和为_____.
【答案】3.5
【解析】
【分析】
先分析出原方程的两根应满足(1)1αα+-= , 再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2ααββγλ---，,即得解.
【详解】假设α满足(2019)0f α+= ,
那么取1x α=- , 那么(2020)(2019)0f x f α-=+= , 那么1α-也是原方程的一根. 所以原方程的两根应满足(1)1αα+-= ,
既然有7个根 , 所以应有一根满足1(1),2
ααα=-∴=. 所以这7个根为11,,1,,1,2ααββγγ---，
, 所以它们的和为13+
=3.52
. 故答案为 : 3.5 【点睛】此题主要考查方程的零点 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10.设0.ab ••
是一个循环节长度为两位的循环纯小数 , 其中a 和b 分别为10以内的非负整数 , 且a b , 0b ≠ , 假设集合••1{|0.,}A n ab n n *==∈N , 那么A 中所有元素的和为_____. 【答案】143
【解析】
【分析】
由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和 , 可得分数形式 , 再由列举法可得集合A , 求和可得所求．
【详解】0.ab 是一个循环节长度为两位的循环纯小数 ,
即0.0.ab =0.100.001991100
ab a b ab ab ⨯+++⋯==- , 1{|0.A n ab n
== , *110}{|99a b n N n n +∈== , *}n N ∈ , a 和b 分别为10以内的非负整数 , 且a b , 0b ≠ , 可得0a = , 1b = , 99n = ; 0a = , 3b = , 33n = ; 0a = , 9b = , 11n = ;
0a ≠时 , 不存在满足题意的n ,
那么A 中所有元素的和为993311143++=．
故答案为 : 143
【点睛】此题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法 , 注意运用列举法 , 考查化简运算能力 , 属于基础题．
11.已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩
为奇数为偶数〔*n ∈N 〕 , 127k a =⋅〔k 是一个已知的正整数〕 , 假设存在*m ∈N , 当n m >且n a 为奇数时 , n a 恒为常数p , 那么p =_____.
【答案】1
【解析】
【分析】
先分析出当1k =时 , 当2k =时 , 得1p = , 再说明127k a =⋅时 , 17k a += , 222,k a +=列举出该数列 , 即得解.
【详解】由题得127k a =⋅是一个偶数 , 所以112272722
k k a a -=== , 当1k =时 , 234567897,22,11,34,17,52,26,13,a a a a a a a a ========
101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,a a a a a a a a a a a =========== 211,a = , 所以1p = ; 当2k ≥时 , 122
7k a -=是偶数 , 所以223272
k a a -== , 当2k =时 , 同理可得1p = ;
; 所以127k a =⋅时 , 17k a += , 222,k a +=
所以从第1k +项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,
所以1p =.
故答案为 : 1
【点睛】此题主要考查递推数列的性质 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12.假设实数,x y 满足()
()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+.那么xy 的最小值为____________ 【答案】1.4
【解析】
【分析】
根据等式两边范围确定,x y 满足条件 , 再根据二次函数性质求xy 的最小值.
【详解】∵()()()2221122cos 11
x y xy
x y x y ++--+-=-+ , ∴10x y -+＞ , ()()()()22211211111
11x y xy x y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+ ()()11121211
x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+, 当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号
()22cos 12x y +-≥ , 当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号
∴()()()2221122cos 12111x y xy x y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且
()1x y k k Z π+-=∈ ,
即()12
k x y k Z π+==∈ , 因此21124
k xy π+⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭〔当且仅当0k =时取等号〕 , 从而xy 的最小值为1.4
【点睛】在利用基本不等式求最值时 , 要特别注意〞拆、拼、凑〞等技巧 , 使其满足基本不等式中〞正〞(即条件要求中字母为正数)、〞定〞(不等式的另一边必须为定值)、〞等〞(等号取得的条件)的条件才能应用 , 否那么会出现错误.
二． 选择题
13.已知函数()y f x =是R 上的增函数 , 那么对任意12,x x ∈R , 〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的〔 〕条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充分必要
D. 非充分非
必要
【答案】C
【解析】
【分析】
先证明充分性 , 再证明必要性 , 即得解.
【详解】当12x x <时 , 因为函数()y f x =是R 上的增函数 , 所以12()()f x f x < , 所以〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的充分条件 ;
当12()()f x f x <时 , 因为函数()y f x =是R 上的增函数 , 所以12x x < , 所以所以〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的必要条件. 综合得〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的充分必要条件.
应选 : C.
【点睛】此题主要考查充分必要条件的判定 , 考查函数单调性的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14.已知11z ≠- ,
111i 1z b z -=+〔b ∈R 〕 , 2141(+1)z z =- , 那么z 对应的点在〔 〕 A. 圆上
B. 抛物线上
C. 双曲线上
D. 椭圆上
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出214+1bi z b z =- , 再求出12221+1bi z b
+=+ , 代入得22z b bi =-- , 设,z x yi =+即得解.
【详解】由题得
22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1
z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅ 211111444()+1+1+1
z bi bi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1
bi z b z =- 因为111i 1z b z -=+ , 所以21112121i(1),1b bi z b z z b
-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b
+=+ , 代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=- , 消去b 得24y x =-.
所以z 对应的点在抛物线上.
应选 : B
【点睛】此题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
15.在平面直角坐标系中 , O 是坐标原点 , 两定点A , B 满足2OA OB OA OB ==⋅= , 由点集{P |OP ＝λOA ＋μOB , |λ|＋|μ|≤1 , λ , μ∈R }所表示的区域的面积是
( )
A. 22
B. 23
C. 42
D. 43
【答案】D
【解析】
由2OA OB OA OB ==⋅=知 :
21cos ,,,2223
OA OB OA OB OA OB
OA OB
π⋅=
=
=∴=⨯⨯. 不妨设()()
()2,0,1,3,,OA OB OP x y === , 那么 : 23x y λμ
μ
=+⎧⎪⎨=⎪⎩.
解得3123y y x μλ⎧
=⎪⎪
⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
由|λ|＋|μ|≤1得
3223x y y -+≤.
作出可行域 , 如以下图． 那么所求面积1
243432
S =⨯⨯⨯=. 此题选择D 选项.
16.已知1a , {}234,,1,2,3,4a a a ∈ , ()1234,,,N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类 ,
如(11
23)3N ，，，，=(1221)2N =，，， , 求所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为〔 〕
A.
8732
B.
114
C.
177
64
D.
175
64
【答案】D 【解析】 【分析】
此题首先可以确定()1234,,,N a a a a 的所有可能取值分别为1234、、
、 , 然后分别计算出每一种取值所对应的概率 , 最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出()1234,,,N a a a a 的平均值．
【详解】由题意可知 :
当()1234,,,1N a a a a =时 , 1411
4464
P =⨯= ; 当()1234,,,2N a a a a =时 , (
)121
444
24
68421425664
C C C P ⨯++=
=
= ;
当()1234,,,3N a a a a =时 , ()
34
436+3+31449
425616
P ⨯=
=
= ; 当()1234,,,4N a a a a =时 , 4444243
==425632
A P = ,
综上所述 , 所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为 :
12193175
1+2+3+4=6464163264
⨯
⨯⨯⨯ , 应选D ． 【点睛】此题考查了平均值
的
计算 , 能否通过题意得出()1234,,,N a a a a 的所有可能情况并
计算出每一种可能情况所对应的概率是解决此题的关键 , 考查推理能力与计算能力 , 是难题． 三． 解答题
17.如以下图 , 用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥 , 放在水平桌面上 , 被一阵风吹倒．
〔1〕求该圆锥的外表积S 和体积V ;
〔2〕求该圆锥被吹倒后 , 其最高点到桌面的距离d ． 【答案】〔1〕=50S π厘米 , 12533
V π
=立方厘米 ; 〔2〕53h =厘米． 【解析】 【分析】
〔1〕设底面半径为r 厘米 , 母线的长为l 厘米 , 求出圆锥的高 , 利用公式即可求出该圆锥的外表积S 和体积V ;
〔2〕根据圆锥的轴截面为等边三角形 , 且边长为10厘米即可求出最高点到桌面的距离
d ．
【详解】〔1〕设底面半径为r 厘米 , 母线的长为l 厘米 , 那么10l =厘米 , 且r l 2π=π , 解得 : =5r 厘米 ,
外表积=50S rl ππ=〔平方厘米〕 , 圆锥的高2253h l r =-=〔厘米〕 , ∴体积21125333
V r h π
π==
〔立方厘米〕． 〔2〕∵圆锥的轴截面为等边三角形 , 且边长为10厘米 , ∴最高点到底面的距离为等边三角形的高 , 53h =厘米．
【点睛】此题主要考查圆锥的外表积和体积的计算 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18.已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++〔0A > ,
, 2
π
ϕ<
〕的图象如以下图所示
〔1〕求出函数()f x 的解析式 ; 〔2〕假设将函数()f x 的图象向右移动
3π
个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14
〔纵坐标不变〕得到函数()y g x =的图象 , 求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心. 【答案】〔1〕1
()4sin()22
3
f x x π
=+
+ ;
〔2〕[,],36
k k k Z π
πππ-+∈ , (,2),212k k Z ππ
-∈.
【解析】 【分析】
〔1〕通过函数的图象求出振幅 , 周期 , 以及b ．求出函数f 〔x 〕的解析式 ;
〔2〕利用平移变换的运算求出函数y ＝g 〔x 〕的解析式 , 通过正弦函数的单调增区间求解
函数单调增区间及对称中心． 【详解】〔1〕 64
22
A b A A b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩
由图可得
212422
T T πππωω=⇒==⇒= 且()62,36
2
f k k Z ππ
π
ϕπ=⇒
+=+
∈而2
π
ϕ<
,
故3
πϕ=
综上1()4sin()22
3
f x x π
=+
+
〔2〕显然()4sin(2)26
g x x π
=++
由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈得
()g x 的单调递增区间为[,],36
k k k Z π
π
ππ-
+∈.. 由2,(
,2),6
212
k x k k Z k Z π
ππ
π+
=∈⇒-∈. 【点睛】此题考查三角函数的解析式的求法 , 平移变换以及正弦函数的单调区间 , 对称中心的求法 , 考查计算能力．
19.假设函数()y f x =满足〞存在正数λ , 使得对定义域内的每一个值1x , 在其定义域内都存在2x , 使12()()f x f x λ=成立〞 , 那么称该函数为〞依附函数〞．
〔1〕分别判断函数①()2x f x = , ②2()log g x x =是否为〞依附函数〞 , 并说明理由 ; 〔2〕假设函数()y h x =的值域为[,]m n , 求证 : 〞()y h x =是‘依附函数’〞的充要条件是〞0[,]m n ∉〞．
【答案】〔1〕①是 , ②不是 ; 理由详见解析〔2〕详见解析． 【解析】 【分析】
〔1〕①可取1λ= , 说明函数()2x f x =是〞依附函数〞 ; ②对于任意正数λ , 取11x = , 此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解 , 说明2()log g x x =不是〞依附函数〞 ;
〔2〕先证明必要性 , 再证明充分性 , 即得证.
【详解】〔1〕①可取1λ= , 那么对任意1x ∈R , 存在21x x =-∈R , 使得12221x x ⋅=成立 ,
〔说明 : 可取任意正数λ , 那么221log x x λ=-〕 ∴()2x f x =是〞依附函数〞 ,
②对于任意正数λ , 取11x = , 那么1()0g x = ,
此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解 , ∴2()log g x x =不是〞依附函数〞． 〔2〕必要性 : 〔反证法〕假设0[,]m n ∈ ,
∵()y h x =的值域为[,]m n , ∴存在定义域内的1x , 使得1()0h x = , ∴对任意正数λ , 关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解 , 即()y h x =不是依附函数 , 矛盾 , 充分性 : 假设0[,]m n ∉ , 取0mn λ=> ,
那么对定义域内的
每一个值1x , 由1()[,]h x m n ∈ , 可得1[,][,]()m n h x n m
λλλ
∈= , 而()y h x =的值域为[,]m n , ∴存在定义域内的2x , 使得
21()()
h x h x λ
= , 即12()()h x h x λ=成立 ,
∴()y h x =是〞依附函数〞．
【点睛】此题主要考查函数的新定义 , 考查充分必要条件的证明 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.如以下图 , 已知点P 是x 轴下方〔不含x 轴〕一点 , 抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ= , PE EB λ= , 其中λ为常数 , 且D 、E 两点均在C 上 , 弦
AB 的中点为M ．
〔1〕假设P 点坐标为(1,2)- , 3λ=时 , 求弦AB 所在的直线方程 ;
〔2〕在〔1〕的条件下 , 如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点 , 过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点 , 求证 : 假设1l 和2l 的斜率都存在 , 那么1l 与2l 的交点N 在直线PM 上 ;
〔3〕假设直线PM 交抛物线C 于点Q , 求证 : 线段PQ 与QM 的比为定值 , 并求出该定值．
【答案】〔1〕230x y -+= ; 〔2〕详见解析 ; 〔3〕证明详见解析 , 定值为1+λ
λ
． 【解析】 分析】
〔1〕设11(,)A x y , 22(,)B x y , 得到2
11230x x --=和2
22230x x --= , 即得,A B 的坐
标 , 即得弦AB 所在的直线方程 ;
〔2〕先求出1:690l x y --= , 2:210l x y ++= , 再求出交点(1,3)N - , 即得证 ;
〔3〕先求出直线PM 的方程为0x x = , 得到2
00
(12)(1)M x y y λλλ
+-+= , 2
0Q y x = , 即
得线段PQ 与QM 的比.
【详解】〔1〕设11(,)A x y , 22(,)B x y , 由3PD DA = , 3PE EB = ,
可得111323(
,)44x y D +-+ , 22
1323(,)44
x y E +-+ , 由D 点在C 上可得 :
2
112313()44
y x -++= , 化简得 : 211230x x --= , 同理可得 : 2
22230x x --= ,
∵A 、B 两点不同 , 不妨设(3,9)A , (1,1)B - , ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=．
〔2〕由〔1〕可知 , (3,9)A , (1,1)B - , 设11:9(3)l y k x -=- , 与2:C y x =联立 , 并令0∆= , 可得16k = , 同理2l 的斜率22k =- , ∴1:690l x y --= , 2:210l x y ++= ,
解方程组得交点(1,3)N - , 而直线PM 的方程为1x = , 得证．
〔3〕设00(,)P x y , 2
11
(,)A x x , 222
(,)B x x , 由PD DA λ= , 得20101(,)11x x y x D λλλλ
++++ ,
代入2y
x , 化简得 : 22
10100
2(1)0x x x y x λλλ-++-= , 同理可得 : 2
2
202002(1)0x x x y x λλλ-++-= ,
显然12x x ≠ , ∴1x 、2x 是方程22
0002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根 ,
∴1202x x x += , 2
00
12(1)y x x x λλ
+-⋅=
,
∴12
02
M x x x x +=
= , 即直线PM 的方程为0x x = , ∵222
0012(12)(1)2M x y x x y λλλ
+-++==
, 2
0Q y x = , ∴200
(1)(1)M Q x y y y λλλ
+-+-=
, 2
00Q P y y x y -=- ,
所以线段PQ 与QM 的比为2
002
00(1)(1)1Q P
M Q y y x y y x y y λ
λλλλ
-==+-+--+
∴线段PQ 与QM 的比为定值
1λ
λ
+．
【点睛】此题主要考查直线和抛物线的位置关系 , 考查直线方程的求法 , 考查抛物线的定值问题 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
21.设{}n a 是公差不为零的等差数列 , 满足6713a a a += , 222
4967a a a a +=+ , 设正项数列
{}n b 的前n 项和为n S , 且423n n S b +=．
〔1〕求数列{}n a 和{}n b 的通项公式 ;
〔2〕在1b 和2b 之间插入1个数11x , 使1b 、11x 、2b 成等差数列 ; 在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x , 使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列 ; ⋅⋅⋅ ; 在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、
2n x 、⋅⋅⋅、nn x , 使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列．
① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++
++++ ;
② 对于①中的n T , 是否存在正整数m 、n , 使得1
2m n m
a T a +=成立 ？假设存在 , 求出所有的正整数对(,)m n ; 假设不存在 , 请说明理由． 【答案】〔1〕n a n = , 1123n n
b -=
⋅ ; 〔2〕①123
(3)43
n n
n T +=- ; ②存在符合题意的正整数对(,)m n , 它们为(3,3)和(9,2)． 【解析】 【分析】
〔1〕求出等差数列的首项和公差即得数列{}n a 的通项公式 , 由题得当2n ≥时 ,
423n n S b += , 11423n n S b --+= , 相减即得{}n b 的通项公式 ;
〔2〕①1223112
()()()222
n n n n
T b b b b b b +=
++++++ , 再利用错位相减法求和得解 ; ②假设存在正整数,m n , 使得12m n m a T a +=
, 化简得2(23)
23(23)
n n m n +=+-+ , 令()33(23)n f n n =-+ , 证明4n ≥时 ,
2(23)
3(23)
n
n n +∉-+Z , 列举得解. 【详解】〔1〕设数列{}n a 的公差为()d d ≠0 , 那么由6713a a a +=可得1a d = ,
再由222
4967a a a a +=+化简得 : 244d d = , 解得 : 1d = , ∴n a n = ,
当1n =时 , 11423S b +=得 : 11
2
b =
; 当2n ≥时 , 423n n S b += , 11423n n S b --+= ,
两式相减得113
n n b b -=
, ∴1123n n b -=⋅．
〔2〕①1223112()()()222
n n n n
T b b b b b b +=++++++ ,
123121113521[35(21)][1]243333
n n n n n n
b b b n b nb +--=++++-+=+++++ , 设213521
1333
n n P --=++++ ,
所以231135
21
33333n
n P -=+++
+
, 上面两式错位相减得
231
2222221
1++3333
3
3n n
n P --=+++-
, 所以1111[1()]
2211211331+22()=2()(22)13333313
n n n n n n n P n -----=⨯
-=---⨯+- 所以1
331
3=333n n n n P -++=-- , ∴123(3)43
n n n T +=
-． ②假设存在正整数,m n , 使得1
2m n m
a T a +=
, 代入化简得23(23)
3
n n
n m -+= , 即2(23)23(23)n n m n +=+-+ , 令()33(23)n f n n =-+ ,
那么由(1)()2(33)0n f n f n +-=-≥可得 : (1)(2)(3)(4)()f f f f f n =<<<<<
．
当4n ≥时 , ()(4)480f n f ≥=> ,
∴3(23)2(23)n n n -+>+ , 即
2(23)
3(23)
n
n n +∉-+Z , 舍去 ; 当1n =时 , 3m =- , 舍去 ; 当2n =时 , 9m = , 符合题意 ;
当3n =时 , 3m = , 符合题意 ;
综上 : 存在符合题意的
正整数对(,)m n , 它们为(3,3)和(9,2)．
【点睛】此题主要考查数列通项的求法和数列求和 , 考查数列的存在性问题的求解 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。