高考数学总复习 107 离散型随机变量及其分布列课件 苏教版
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六页，共29页。
2．设随机变量 X 等可能取值 1，2，3，…n，如果 P(X<4)＝0.3， 那么 n＝________．
解析：P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝n1＋n1＋n1＝n3＝ 0.3，∴n＝10.
答案：10
第七页，共29页。
3．若随机变量 X 的分布列为 P(X＝i)＝2ia(i＝1，2，3)，则 P(X ＝2)＝________．
第7节 离散型随机变量(suí jī biàn liànɡ)及其分
第一页，共29页。
【知识梳理】 1．随机变量的定义 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫 做随机变量，它常用字母 X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量 如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那 么这样的随机变量叫做离散型随机变量．
办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理
业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需 1234 5
的时间(分)
频率
0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时．
(1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率；
(2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 X 的分布
【基础自测】 1．袋中装有 10 个红球、5 个黑球．每次随机抽取 1 个球后，若 取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的 次数为 X，则“X＝6”表示的事件是________． 解析：事件“X＝6”表示前 5 次摸到黑球，且第 6 次摸到红球， 故“X＝6”表示“放回 5 个红球”． 答案：放回 5 个红球
X0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 EX＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
第二十一页，共29页。
考向三 超几何分布
某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否
符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，
否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：
(2)要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布表的正 误．
第二十九页，共29页。
第三页，共29页。
(2)两点分布 如果随机变量 X 的分布列为
X 01 P 1－p p ，称 X 服从两点分布，而称 p＝P(X＝1)为成功概率． (3)超几何分布 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为 P(X＝k)＝CkMCCNnnN－－kM，k＝0， 1，2，…，m，
列及数学期望．
第十八页，共29页。
解：设 Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得 Y 的分布列如下：
Y1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 (1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”， 则事件 A 对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分 钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟；②第一个顾客办 理业务所需的时间为 3 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟． 所以 P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2) ＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.
X0 1 2 3
P
28 57
8 19
8 95
1 285
第二十四页，共29页。
【点评】 超几何分布的理论基础是古典概型，主要运用于抽 查产品，摸不同类别的小球等概率模型．如果随机变量 X 服从超几 何分布，那么事件{X＝k}发生的概率为 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0，1， 2，…，m
赛甲队胜乙队的概率为 0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局 的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令 ξ 为本场比 赛的局数．求 ξ 的概率分布列．
【解】 ξ 的所有取值为 3，4，5. 当 ξ＝3 时，表示甲连胜 3 局或乙连胜 3 局，则 P(ξ＝3)＝C33×0.63×0.40＋C30×0.60×0.43＝0.28；
第二十五页，共29页。
3．某校高三年级某班的数学课外活动小组中有 6 名男生，4 名 女生，从中选出 4 人参加数学竞赛考试，用 X 表示其中的男生人数， 求 X 的分布列．
解：依题意，随机变量 X 服从超几何分布， 所以 P(X＝k)＝Ck6CC41440－k(k＝0，1，2，3，4)． ∴P(X＝0)＝CC06C41044＝2110，P(X＝1)＝CC16C41034 ＝345， P(X＝2)＝CC26C41024＝37，P(X＝3)＝CC36C41041＝281，
A 小区 低碳族 非低碳族
比例 B 小区
1 2
低碳族
1 2
非低碳族
比例 C 小区
4 5
低碳族
1 5
非低碳族
比例
2
1
3
3
第二十二页，共29页。
(1)从 A，B，C 三个小区中各选一人，求恰好有 2 人是低碳族的
概率；
(2)在 B 小区中随机选择 20 户，从中抽取的 3 户中“非低碳族”
数量为 X，求 X 的分布列．
第二十八页，共29页。
◆失误与防范 掌握离散型随机变量的概率分布表，需注意
(1)概率分布表的结构为两行，第一行为随机变量 X 所有可能取 得的值；第二行是对应于随机变量 X 的值的事件发生的概率．看每 一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事 件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求 一个随机事件发生的概率．
解析：X＝－1，甲抢到一题但答错了． X＝0，甲没抢到题，或甲抢到 2 题，但答对一对一错． X＝1 时，甲抢到 1 题且答对或甲抢到 3 题，且 1 错 2 对． X＝2 时，甲抢到 2 题均答对． X＝3 时，甲抢到 3 题均答对． 答案：－1，0，1，2，3
第十页，共29页。
考向一 离散型随机变量的分布列的性质
【解】 (1)3 人中恰好有 2 人是低碳族的概率为 P＝12×45×13＋12
×15×23＋12×45×23＝175.
(2)在 B 小区中随机选择的 20 户中，“非低碳族”有 20×15＝
4(户 )，
P(X＝
k)＝
Ck4C136－ C320
k
(k＝0，
1，
2，3)，
第二十三页，共29页。
∴P(X＝0)＝CC04C320316＝2587，P(X＝1)＝CC14C320126＝189， P(X＝2)＝CC24C320116＝985，P(X＝3)＝CC34C320106＝2185， 故 X 的分布列为：
第十三页，共29页。
1．设随机变量 Y 的分布列为：
Y －1 2 3
P
1 4
m
1 4
试计算事件“Y≤12”和32≤Y≤72”的概率．
解：由14＋m＋14＝1，∴m＝12，∴P(Y≤12)＝P(－1)＝14，P23≤Y≤72
＝P(2)＋P(3)＝34.
第十四页，共29页。
考向二 离散型随机变量的分布列 甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比
第四页，共29页。
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分 布列
X0
1
…
m
P
C0MCnN－－0M CNn
C1MCnN－－1M CNn
…
CmMCnN－－mM CnN
为超几何分布列，如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，
则称随机变量 X 服从超几何分布．
第五页，共29页。
解析：21a＋22a＋23a＝1，∴a＝3，∴P(X＝2)＝2×2 3＝13. 答案：13
第八页，共29页。
4．随机变量 X 的分布列如下： X －1 0 1 P a bc
其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|＝1)＝________． 解析：∵a，b，c 成等差数列，∴2b＝a＋c. 又 a＋b＋c＝1，∴b＝13，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝23. 答案：23
第十五页，共29页。
当 ξ＝4 时，表示前 3 局中甲胜 2 局，第四局甲胜或前 3 局中乙 胜 2 局，第四局乙胜，则
P(ξ＝4)＝C23×0.62×0.41×0.6×＋C13×0.61×0.42×0.4＝0.374 4；
当 ξ＝5 时，表示前 4 局中甲胜 2 局，第五局甲胜或前 4 局中乙 胜 2 局，第五局乙胜，则
第二十六页，共29页。
P(X＝4)＝CC46C41004＝114， ∴X 的分布列为
X0 1 2 3 4
P
1 210
4 35
3 7
81 21 14
第二十七页，共29页。
◆方法与技巧 求离散型随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定 ξ
的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出 ξ 取各个值的概 率．
第十九页，共29页。
(2)解法一 X 所有可能的取值为 0，1，2. X＝0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟， 所以 P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5； X＝1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾 客办理业务所需的时间超过 1 分钟，或第一个顾客办理业务所需的 时间为 2 分钟， 所以 P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2) ＝0.1×0.9＋0.4＝0.49； X＝2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟， 所以 P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01； 所以 X 的分布列为
若离散型随机变量 X 的分布列为
X0
1
P 9c2－c 3－8c
试求出常数 c.
第十一页，共29页。
【解】 由离散型随机变量分布列的性质可知：
90c≤2－9cc2＋－3c－ ≤81，c＝1，解得 0≤3－8c≤1，
c＝13.
即 X 的分布列为X0 1ຫໍສະໝຸດ P2 31 3
第十二页，共29页。
【点评】 离散型随机变量的两个性质主要解决以下两类问题： ①通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求得概 率，得出分布列； ②求对立事件的概率或判断某概率的成立与否．
X0 1 2 P 0.5 0.49 0.01
第二十页，共29页。
EX＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51 解法二 X 所有可能的取值为 0，1，2. X＝0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟， 所以 P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5； X＝2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟， 所以 P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01； P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49； 所以 X 的分布列为
第九页，共29页。
5．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题，比赛规 定：对于每一个题，没有抢到题的队伍是 0 分，抢到题并回答正确 的得 1 分，抢到题但回答错误的扣 1 分(即得－1 分)；若 X 是甲队在 该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则 X 的所有可能取值是 ________．
第二页，共29页。
2．离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1，2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则下表称为离 散型随机变量 X 的概率分布列，简称 X 的分布列．
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： ①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1．
P(ξ＝5)＝C24×0.62×0.42×0.6＋C24×0.62×0.42×0.4＝0.345 6.
∴ξ的分布列为：
ξ3
4
5
P 0.28 0.374 4 0.345 6
第十六页，共29页。
【点评】 根据不同情形进行分类，要充分理解 ξ 取每一个值 的具体含义．
第十七页，共29页。
2．(2012·高考陕西卷)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客
2．设随机变量 X 等可能取值 1，2，3，…n，如果 P(X<4)＝0.3， 那么 n＝________．
解析：P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝n1＋n1＋n1＝n3＝ 0.3，∴n＝10.
答案：10
第七页，共29页。
3．若随机变量 X 的分布列为 P(X＝i)＝2ia(i＝1，2，3)，则 P(X ＝2)＝________．
第7节 离散型随机变量(suí jī biàn liànɡ)及其分
第一页，共29页。
【知识梳理】 1．随机变量的定义 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫 做随机变量，它常用字母 X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量 如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那 么这样的随机变量叫做离散型随机变量．
办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理
业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需 1234 5
的时间(分)
频率
0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时．
(1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率；
(2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 X 的分布
【基础自测】 1．袋中装有 10 个红球、5 个黑球．每次随机抽取 1 个球后，若 取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的 次数为 X，则“X＝6”表示的事件是________． 解析：事件“X＝6”表示前 5 次摸到黑球，且第 6 次摸到红球， 故“X＝6”表示“放回 5 个红球”． 答案：放回 5 个红球
X0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 EX＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
第二十一页，共29页。
考向三 超几何分布
某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否
符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，
否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：
(2)要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布表的正 误．
第二十九页，共29页。
第三页，共29页。
(2)两点分布 如果随机变量 X 的分布列为
X 01 P 1－p p ，称 X 服从两点分布，而称 p＝P(X＝1)为成功概率． (3)超几何分布 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为 P(X＝k)＝CkMCCNnnN－－kM，k＝0， 1，2，…，m，
列及数学期望．
第十八页，共29页。
解：设 Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得 Y 的分布列如下：
Y1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 (1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”， 则事件 A 对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分 钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟；②第一个顾客办 理业务所需的时间为 3 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟． 所以 P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2) ＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.
X0 1 2 3
P
28 57
8 19
8 95
1 285
第二十四页，共29页。
【点评】 超几何分布的理论基础是古典概型，主要运用于抽 查产品，摸不同类别的小球等概率模型．如果随机变量 X 服从超几 何分布，那么事件{X＝k}发生的概率为 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0，1， 2，…，m
赛甲队胜乙队的概率为 0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局 的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令 ξ 为本场比 赛的局数．求 ξ 的概率分布列．
【解】 ξ 的所有取值为 3，4，5. 当 ξ＝3 时，表示甲连胜 3 局或乙连胜 3 局，则 P(ξ＝3)＝C33×0.63×0.40＋C30×0.60×0.43＝0.28；
第二十五页，共29页。
3．某校高三年级某班的数学课外活动小组中有 6 名男生，4 名 女生，从中选出 4 人参加数学竞赛考试，用 X 表示其中的男生人数， 求 X 的分布列．
解：依题意，随机变量 X 服从超几何分布， 所以 P(X＝k)＝Ck6CC41440－k(k＝0，1，2，3，4)． ∴P(X＝0)＝CC06C41044＝2110，P(X＝1)＝CC16C41034 ＝345， P(X＝2)＝CC26C41024＝37，P(X＝3)＝CC36C41041＝281，
A 小区 低碳族 非低碳族
比例 B 小区
1 2
低碳族
1 2
非低碳族
比例 C 小区
4 5
低碳族
1 5
非低碳族
比例
2
1
3
3
第二十二页，共29页。
(1)从 A，B，C 三个小区中各选一人，求恰好有 2 人是低碳族的
概率；
(2)在 B 小区中随机选择 20 户，从中抽取的 3 户中“非低碳族”
数量为 X，求 X 的分布列．
第二十八页，共29页。
◆失误与防范 掌握离散型随机变量的概率分布表，需注意
(1)概率分布表的结构为两行，第一行为随机变量 X 所有可能取 得的值；第二行是对应于随机变量 X 的值的事件发生的概率．看每 一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事 件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求 一个随机事件发生的概率．
解析：X＝－1，甲抢到一题但答错了． X＝0，甲没抢到题，或甲抢到 2 题，但答对一对一错． X＝1 时，甲抢到 1 题且答对或甲抢到 3 题，且 1 错 2 对． X＝2 时，甲抢到 2 题均答对． X＝3 时，甲抢到 3 题均答对． 答案：－1，0，1，2，3
第十页，共29页。
考向一 离散型随机变量的分布列的性质
【解】 (1)3 人中恰好有 2 人是低碳族的概率为 P＝12×45×13＋12
×15×23＋12×45×23＝175.
(2)在 B 小区中随机选择的 20 户中，“非低碳族”有 20×15＝
4(户 )，
P(X＝
k)＝
Ck4C136－ C320
k
(k＝0，
1，
2，3)，
第二十三页，共29页。
∴P(X＝0)＝CC04C320316＝2587，P(X＝1)＝CC14C320126＝189， P(X＝2)＝CC24C320116＝985，P(X＝3)＝CC34C320106＝2185， 故 X 的分布列为：
第十三页，共29页。
1．设随机变量 Y 的分布列为：
Y －1 2 3
P
1 4
m
1 4
试计算事件“Y≤12”和32≤Y≤72”的概率．
解：由14＋m＋14＝1，∴m＝12，∴P(Y≤12)＝P(－1)＝14，P23≤Y≤72
＝P(2)＋P(3)＝34.
第十四页，共29页。
考向二 离散型随机变量的分布列 甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比
第四页，共29页。
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分 布列
X0
1
…
m
P
C0MCnN－－0M CNn
C1MCnN－－1M CNn
…
CmMCnN－－mM CnN
为超几何分布列，如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，
则称随机变量 X 服从超几何分布．
第五页，共29页。
解析：21a＋22a＋23a＝1，∴a＝3，∴P(X＝2)＝2×2 3＝13. 答案：13
第八页，共29页。
4．随机变量 X 的分布列如下： X －1 0 1 P a bc
其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|＝1)＝________． 解析：∵a，b，c 成等差数列，∴2b＝a＋c. 又 a＋b＋c＝1，∴b＝13，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝23. 答案：23
第十五页，共29页。
当 ξ＝4 时，表示前 3 局中甲胜 2 局，第四局甲胜或前 3 局中乙 胜 2 局，第四局乙胜，则
P(ξ＝4)＝C23×0.62×0.41×0.6×＋C13×0.61×0.42×0.4＝0.374 4；
当 ξ＝5 时，表示前 4 局中甲胜 2 局，第五局甲胜或前 4 局中乙 胜 2 局，第五局乙胜，则
第二十六页，共29页。
P(X＝4)＝CC46C41004＝114， ∴X 的分布列为
X0 1 2 3 4
P
1 210
4 35
3 7
81 21 14
第二十七页，共29页。
◆方法与技巧 求离散型随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定 ξ
的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出 ξ 取各个值的概 率．
第十九页，共29页。
(2)解法一 X 所有可能的取值为 0，1，2. X＝0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟， 所以 P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5； X＝1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾 客办理业务所需的时间超过 1 分钟，或第一个顾客办理业务所需的 时间为 2 分钟， 所以 P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2) ＝0.1×0.9＋0.4＝0.49； X＝2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟， 所以 P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01； 所以 X 的分布列为
若离散型随机变量 X 的分布列为
X0
1
P 9c2－c 3－8c
试求出常数 c.
第十一页，共29页。
【解】 由离散型随机变量分布列的性质可知：
90c≤2－9cc2＋－3c－ ≤81，c＝1，解得 0≤3－8c≤1，
c＝13.
即 X 的分布列为X0 1ຫໍສະໝຸດ P2 31 3
第十二页，共29页。
【点评】 离散型随机变量的两个性质主要解决以下两类问题： ①通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求得概 率，得出分布列； ②求对立事件的概率或判断某概率的成立与否．
X0 1 2 P 0.5 0.49 0.01
第二十页，共29页。
EX＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51 解法二 X 所有可能的取值为 0，1，2. X＝0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟， 所以 P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5； X＝2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟， 所以 P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01； P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49； 所以 X 的分布列为
第九页，共29页。
5．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题，比赛规 定：对于每一个题，没有抢到题的队伍是 0 分，抢到题并回答正确 的得 1 分，抢到题但回答错误的扣 1 分(即得－1 分)；若 X 是甲队在 该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则 X 的所有可能取值是 ________．
第二页，共29页。
2．离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1，2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则下表称为离 散型随机变量 X 的概率分布列，简称 X 的分布列．
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： ①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1．
P(ξ＝5)＝C24×0.62×0.42×0.6＋C24×0.62×0.42×0.4＝0.345 6.
∴ξ的分布列为：
ξ3
4
5
P 0.28 0.374 4 0.345 6
第十六页，共29页。
【点评】 根据不同情形进行分类，要充分理解 ξ 取每一个值 的具体含义．
第十七页，共29页。
2．(2012·高考陕西卷)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客