与三角形四心相关的向量问题

与三角形“四心”相关的向量问题
1、已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
,
[0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
2、练习：在直角坐标系xoy 中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||2OC =，则OC =_________________.10310(55
OC =- 3、已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
4、已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C
λ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
5、已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足
1[(1)(1)(12)]3
OP OA OB OC λλλ=-+-++(,0)R λλ∈≠，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. AB 边的中点
6、已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++= 0, 则O 点是△ABC 的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
7、已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3
PO PA PB PC =++(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
8、已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++= 0，则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
解：∵OB OA AB =+，OC OA AC =+，则()a b c OA bAB c AC ++++= 0，得()||||bc AB AC AO a b c AB AC =
+++. 因为||AB AB 与||AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，设||||
AB AC AP AB AC =+，则AP 平分∠BAC. 又AO 、AP 共线，知AO 平分∠BAC. 同理可证BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，所以O 点是△ABC 的内心.
9、已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPC PO a b c
++=++(其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
解：由已知得bPB cPC cPA bPA PO PA a b c +--=+
++=bAB cAC PA a b c
++++， ∴bAB c AC AO a b c +=++=()bc AB AC a b c c b +++=()||||bc AB AC a b c AB AC +++， 由上题结论知O 点是△ABC 的内心. 故选B.
10、设O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，求证：1()3
OG OA OB OC =++. 11、设O 为△ABC 的外心，H 为△ABC 的垂心，则OH OA OB OC =++.
练习：△ABC 的外接圆的圆心为O ，两边上的高的交点为H ，OH =()m OA OB OC ++，则实数m =___________
（m = 1） A B C O H D。