「精品」高中物理第六章万有引力与航天3万有引力定律教学案新人教版必修2

3 万有引力定律
[学习目标] 1.了解万有引力定律得出的过程和思路.2.理解万有引力定律内容、含义及适用条件.3.认识万有引力定律的普遍性，能应用万有引力定律解决实际问题.
一、月—地检验
1.猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律.
2.推理：根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的1
60
2.
3.结论：地球上物体所受的地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同(“相同”或“不同”)的规律. 二、万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比.
2.表达式：F ＝G m 1m 2r
2，G 为引力常量：由卡文迪许测得G ＝6.67×10
－11 N·m 2/kg 2
. [即学即用]
1.判断下列说法的正误.
(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间.(√) (2)引力常量是牛顿首先测出的.(×)
(3)物体间的万有引力与它们间的距离成反比.(×)
(4)根据万有引力表达式可知，质量一定的两个物体若距离无限靠近，它们间的万有引力趋于无限大.(×)
2.两个质量都是1 kg 的物体(可看成质点)，相距1 m 时，两物体间的万有引力F ＝________ N ，一个物体的重力F ′＝________ N ，万有引力F 与重力F ′的比值为________.(已知引力常量G ＝6.67×10－11
N·m 2/kg 2，重力加速度g ＝10 m/s 2
).
答案 6.67×10
－11
10 6.67×10
－12
一、月—地检验
[导学探究] (1)已知地球半径R 地＝6 400 km ，月球绕地球做圆周运动的半径r ＝60R 地，运行周期T ＝27.3天＝2.36×106
s ，求月球绕地球做圆周运动的向心加速度a 月； (2)地球表面物体自由下落的加速度g 一般取多大？，a 月与g 的比值是多大？
(3)根据万有引力公式及牛顿第二定律推算，月球做匀速圆周运动的向心加速度是地面附近自由落体加速度g 的多少倍？比较(2)、(3)结论说明什么？ 答案 (1)根据向心加速度公式，有：a 月＝r ω2
＝r
4π
2
T 2
即a 月＝4×3.142
()
2.36×1062×
3.84×108 m/s 2≈2.72×10－3 m/s 2
(2)g ＝9.8 m/s 2
，a 月g ＝2.72×10－3 m/s 29.8 m/s 2
≈1
3 600
. (3)根据万有引力定律F ＝G
m 1m 2r 2，F ∝1
r
2，所以月球轨道处的向心加速度约是地面附近自由落体加速度的1
602.说明地球表面的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力.
[知识深化] 月—地检验的推理与验证
1.月—地检验的目的：检验维持月球绕地球运动的力与使物体下落的力是否为同一种性质的力，是否都遵从“平方反比”的规律.
2.推理：月心到地心的距离约为地球半径的60倍，如果月球绕地球运动的力与地面上使物体下落的力是同一性质的力，则月球绕地球做圆周运动的向心加速度应该大约是它在地面附近下落时加速度的160
2.
3.验证：根据已知的月地距离r ，月球绕地球运动的周期T ，由a 月＝4π
2
T
2r ，计算出的月球绕
地球的向心加速度a 月，近似等于g
602，则证明了地球表面的重力与地球吸引月球的力是相同
性质的力.
例1 “月－地检验”的结果说明( )
A.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力
B.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力
C.地面物体所受地球的引力只与物体的质量有关，即G ＝mg
D.月球所受地球的引力只与月球质量有关 答案 A
解析 地面上的物体所受地球的引力和月球所受地球的引力是同一种性质的力. 二、万有引力定律
[导学探究] 如图1所示，天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的.
图1
(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗？为什么通常两个物体间感受不到万有引力，而太阳对行星的引力可以使行星围绕太阳运转？
(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？
答案 (1)任意两个物体间都存在着万有引力.但由于地球上物体的质量一般很小(相比较天体质量)，地球上两个物体间的万有引力是远小于地面对物体的摩擦力，通常感受不到，但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用. (2)相等.它们是一对相互作用力. [知识深化]
1.万有引力定律表达式F ＝G
m 1m 2r
2，式中G 为引力常量.G ＝6.67×10
－11 N·m 2/kg 2
，由英国物理学家卡文迪许在实验室中比较准确地测出.
测定G 值的意义：(1)证明了万有引力定律的存在；(2)使万有引力定律有了真正的实用价值. 2.万有引力定律的适用条件
(1)在以下三种情况下可以直接使用公式F ＝G
m 1m 2
r 2
计算： ①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r 表示两质点间的距离.
②求两个均匀球体间的万有引力：公式中的r 为两个球心间的距离.
③一个质量分布均匀球体与球外一个质点的万有引力：r 指质点到球心的距离.
(2)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据
F ＝
G m 1m 2
r
2得出r →0时F →∞的结论而违背公式的物理含义.因为，此时由于r →0，物体已不
再能看成质点，万有引力公式已不再适用.
(3)当物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出物体上每一个质点与另一个物体上所有质点间的万有引力，然后求合力. 例2 (多选)下列说法正确的是( ) A.万有引力定律F ＝G
m 1m 2
r 2
适用于两质点间的作用力计算
B.据F ＝G
m 1m 2
r 2
，当r →0时，物体m 1、m 2间引力F 趋于无穷大 C.把质量为m 的小球放在质量为M 、半径为R 的大球球心处，则大球与小球间万有引力F ＝G Mm R
2 D.两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F ＝G m 1m 2
r 2
计算，r 是两球体球心间的距离 答案 AD
解析 万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算万有引力.故A 、D 项正确；当r →0时，两物体不能视为质点，万有引力定律不再适用，B 项错误；大球M 球心周围物体对小球m 的引力合力为零，故C 项错误.
万有引力的特点：
(1)万有引力的普遍性.万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引力.
(2)万有引力的相互性.两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用于两个物体上.
(3)万有引力的宏观性.在通常情况下，万有引力非常小，只是在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义.
例3 如图2所示，两球间的距离为r ，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m 1、m 2，半径大小分别为r 1、r 2，则两球间的万有引力大小为( )
图2
A.G
m 1m 2
r 2
B.G
m 1m 2
r 1
2 C.G m 1m 2
(r 1＋r 2)2
D.G m 1m 2
(r 1＋r 2＋r )
2 答案 D
解析 两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为G m 1m 2
(r 1＋r 2＋r )
2，故选D.
三、“挖补”法分析质点和球壳之间的引力
例4 有一质量为M 、半径为R 、密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质量为m
的质点.现从M 中挖去半径为1
2
R 的球体，如图3所示，则剩余部分对m 的万有引力F 为(
)
图3
A.7GMm
36R
2 B.7GMm 8R 2 C.GMm 18R
2 D.7GMm
32R
2 答案 A
解析 质量为M 的球体对质点m 的万有引力
F 1＝G
Mm (2R )2＝G Mm 4R
2 挖去的球体的质量M ′＝43π(R 2)3
43πR 3M ＝M
8
质量为M ′的球体对质点m 的万有引力
F 2＝G
M ′m (R ＋R 2
)
2＝G Mm
18R 2 则剩余部分对质点m 的万有引力
F ＝F 1－F 2＝G
Mm 4R 2－G Mm 18R 2＝7GMm 36R
2.故选项A 正确
.
1.万有引力公式F ＝G m 1m 2
r 2
的适用条件是质点或质量均匀的球体，只有把挖去的小球补上才成为质量均匀的球体.
2.注意本题的基本思想—挖—补—挖.
求剩余部分对质点的作用力即是大球(补全)对m 的作用力减去小球对m 的作用力
.
1.(对万有引力定律的理解)(多选)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( ) A.不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力
B.只有能看做质点的两物体间的引力才能用F ＝Gm 1m 2
r 2
计算 C.由F ＝
Gm 1m 2
r 2
知，两物体间距离r 减小时，它们之间的引力增大 D.万有引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的，且约等于6.67×10－11
N·m 2/kg 2
答案 CD
解析 任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A 错；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F ＝
Gm 1m 2
r 2
来计算，B 错；物体间的万有引力与它们间距离r 的二次方成反比，故r 减小，它们间的引力增大，C 对；引力常量G 是由卡文迪许精确测出的，D 对. 2.(万有引力公式的简单应用)两个密度均匀的球体，两球心相距r ，它们之间的万有引力为10－8
N ，若它们的质量、球心间的距离都增加为原来的2倍，则它们间的万有引力为( ) A.10－8
N B.0.25×10－8
N C.4×10－8 N D.10－4
N
答案 A
解析 原来的万有引力为：F ＝G Mm
r
2 后来变为：F ′＝G 2M ·2m (2r )2＝G Mm r 2
即：F ′＝F ＝10－8
N ，故选项A 正确.
3.(万有引力定律的简单应用)两个完全相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F .若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为( ) A.2F B.4F C.8F D.16F 答案 D
解析 两个小铁球之间的万有引力为F ＝G mm (2r )2＝G m 24r 2.实心小铁球的质量为m ＝ρV ＝ρ·
4
3πr 3
，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量m ′与小铁球的质量m 之比为m ′m ＝r ′3
r
3
＝81.故两个大铁球间的万有引力为F ′＝G m ′m ′
r ′2
＝16F .故选D. 4.(万有引力定律的简单应用)设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R (R 是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为g ，则g g 0
为( ) A.1
B.1
9
C.14
D.116
答案 D
解析 地球表面处的重力加速度和离地心高4R 处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：
地面上：G mM R
2＝mg 0① 离地心4R 处：G
mM
(4R )
2＝mg ② 由①②两式得g g 0＝(R 4R )2＝1
16
，故D 正确.
课时作业
一、选择题(1～10为单项选择题，11～12为多项选择题) 1.第一次通过实验较准确测出万有引力常量G 的科学家是( ) A.卡文迪许 B.开普勒 C.第谷 D.牛顿
答案 A
2.某实心匀质球半径为R ，质量为M ，在球外离球面h 高处有一质量为m 的质点，则其受到实心匀质球的万有引力大小为( ) A.G Mm
R 2 B.G Mm
(R ＋h )2 C.G Mm h
2 D.G
Mm
R 2
＋h 2
答案 B
解析 万有引力定律中r 表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r ＝R ＋h .
3.两辆质量均为1×105
kg 的装甲车相距1 m 时，它们之间的万有引力相当于( ) A.一个人的重力量级 B.一个鸡蛋的重力量级 C.一个西瓜的重力量级 D.一头牛的重力量级 答案 B 解析 由F ＝G
m 1m 2
r 2
得F ＝0.667 N ，相当于一个鸡蛋的重力量级. 4.依据牛顿的理论，两物体之间万有引力的大小，与它们之间的距离r 满足( )
A.F 与r 成正比
B.F 与r 2
成正比 C.F 与r 成反比 D.F 与r 2
成反比
答案 D
解析 万有引力定律的表达式为F ＝G
m 1m 2r
2，所以F 与r 2
成反比，选项D 正确，A 、B 、C 错误. 5.2015年7月14日，“新视野”号太空探测器近距离飞掠冥王星，如图1所示.在此过程中，冥王星对探测器的引力( )
图1
A.先变大后变小，方向沿两者的连线指向冥王星
B.先变大后变小，方向沿两者的连线指向探测器
C.先变小后变大，方向沿两者的连线指向冥王星
D.先变小后变大，方向沿两者的连线指向探测器 答案 A
解析 根据万有引力定律F ＝G mM r
2，万有引力与物体之间的距离的二次方成反比，故在探测器飞掠冥王星的过程中，随着它与冥王星间的距离r 先减小后增大，那么冥王星对探测器的引力先变大后变小，而引力的方向沿两者的连线指向冥王星，选项A 正确，B 、C 、D 错误. 6.某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F .若此物体受到的引力减小到F
4，则此物体距
离地面的高度应为(R 为地球半径)( ) A.2R B.4R C.R D.8R
答案 C
解析 根据万有引力定律F ＝G Mm R
2， 有14F ＝G Mm (R ＋h )
2，则解得h ＝R ，选项C 正确. 7.要使两物体间的万有引力减小到原来的1
4，下列办法不正确的是( )
A.使两物体的质量各减小一半，距离不变
B.使其中一个物体的质量减小到原来的1
4
，距离不变
C.使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变
D.两物体的质量和距离都减小到原来的1
4
答案 D
解析 万有引力定律的表达式为F ＝G Mm
r
2，根据该公式可知，使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的14，A 正确；使其中一个物体的质量减小到原来的1
4，距离不
变，则万有引力变为原来的1
4，B 正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则
万有引力变为原来的14，C 正确；两物体的质量和距离都减小到原来的1
4，则万有引力大小不
变，D 错误.
8.某未知星体的质量是地球质量的14，直径是地球直径的1
4，则一个质量为m 的人在未知星体
表面受到的引力F 星和地球表面所受引力F 地的比值F 星
F 地
为( ) A.16 B.4 C.1
16 D.14
答案 B
解析 根据万有引力定律F ＝G Mm R 2∝M R
2
故F 星F 地＝M 星M 地·R 地 2
R 星 2＝14×(41
)2
＝4.B 项正确. 9.地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为( ) A.1∶9 B.9∶1 C.1∶10 D.10∶1
答案 C
解析 设月球质量为m ，则地球质量为81m ，地月间距离为r ，飞行器质量为m 0，当飞行器距月球为r ′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G
mm 0r ′2＝G 81mm 0(r －r ′)2，
所以r －r ′
r ′
＝9，r ＝10r ′，r ′∶r ＝1∶10，故选项C 正确.
10.如图2所示，一个质量均匀分布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F .如果在
球体中央挖去半径为r 的一部分球体，且r ＝R
2，则原球体剩余部分对质点P 的万有引力变为
( )
图2
A.F 2
B.F 8
C.7F 8
D.F 4
答案 C
解析 利用填补法来分析此题.原来物体间的万有引力为F ，挖去半径为R
2的球体的质量为原
来球体的质量的18，其他条件不变，故剩余部分对质点P 的万有引力为F －F 8＝7
8F .
11.下列关于万有引力的说法，正确的有( )
A.物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力
B.万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的
C.地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力
D.F ＝G
m 1m 2
r 2
中，G 是一个比例常数，没有单位 答案 BC
解析 物体间力的作用是相互的，物体落到地面上，地球对物体有引力，物体对地球也存在引力，选项A 错误；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，选项B 正确；地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力，选项C 正确；国际单位制中质量m 、距离r 、力F 的单位分别是kg 、m 、N ，根据牛顿的万有引力定律F ＝G m 1m 2
r 2
，得到G 的单位是N·m 2
/kg 2
，选项D 错误. 12.关于引力常量G ，下列说法中正确的是( ) A.G 值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值
B.引力常量G 的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C.引力常量G 在数值上等于两个质量都是1 kg 的可视为质点的物体相距1 m 时的相互吸引力
D.引力常量G 是不变的，其数值大小由卡文迪许测出，与单位制的选择无关 答案 AC
解析 牛顿提出了万有引力之后的100年中由于G 值没有测出，而只能进行定性分析，而G 值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值，选项A 正确；引力常量是一个常数，其大小
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11 与质量以及两物体间的距离无关，选项B 错误；根据万有引力定律可知，引力常量G 在数值上等于两个质量都是1 kg 的可视为质点的物体相距1 m 时的相互吸引力，选项C 正确；引力常量是定值，其数值大小由卡文迪许测出，但其大小与单位制的选择有关，选项D 错误.
二、非选择题
13.火星半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的19
.一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为100 kg ，则在火星上其质量为多少？重力为多少？(设地面上重力加速度g ＝9.8 m/s 2
，星球对物体的引力等于物体的重力).
答案 100 kg 436 N
解析 质量是物体本身的属性，在不同的星球上物体质量不变，还是100 kg.
由G 重＝G Mm R 2得，在火星表面物体重力与地球表面物体重力之比G 重火G 重地＝M 火M 地·R 地 2R 火 2＝19×221＝49 所以物体在火星上的重力G 重火＝49
×100×9.8 N≈436 N. 14.一个质量均匀分布的球体，半径为2r ，在其内部挖去一个半径为r 的球形空穴，其表面与球面相切，如图3所示.已知挖去小球的质量为m ，在球心和空穴中心连线上，距球心d ＝6r 处有一质量为m 2的质点，求：
图3
(1)被挖去的小球对m 2的万有引力为多大？
(2)剩余部分对m 2的万有引力为多大？
答案 (1)G mm 225r 2 (2)G 41mm 2225r 2 解析 (1)被挖去的小球对m 2的万有引力为
F 2＝
G mm 2(5r )2＝G mm 2
25r 2 (2)将挖去的小球填入空穴中，由V ＝43
πr 3可知，大球的质量为8m ，大球对m 2的引力为 F 1＝G 8m ·m 2(6r )2＝G 2mm 2
9r 2 m 2所受剩余部分的引力为F ＝F 1－F 2＝G
41mm 2
225r 2.。