第1节二维随机向量及其分布函数

第 3 章.多维随机向量及其概率分布
引 例 : ={ 某 地 区 居 民 }= , 设 其 生 高 为 X, 体 重 为 Y, 则
X ,Y X ,Y | 为定义在 上的两个随机变量,同理设
=(射击时的弹着点),X 为横坐标,Y 为纵坐标,则弹着点位置
注:①1)2)3)是F x, y能成为分布函数的充要条件;
②3)不能由 1)2)推出,即使再加上单调条件也不能推出 3)
推论:1)F x, y分别关于 x,y 单调增,即 x1 x2 : F x1, y F x2 , y y1 y2 : F x, y1 F x, y2 2)F , 0; 3).0 F x, y 1.
第1节. 二维随机向量及其分布函数
一. 二维随机向量定义:
设 X,Y 是,F,P上的随机变量,称有序实数对 X ,Y 为二维随机向
量或二维随机变量.与一维类似,我们关心(X,Y)的概率分布,即(X,Y) 取那些值,以及取各指定范围内值的概率:如平面区域 D 内的概率
P X ,Y D,这时关键是研究事件 X x,Y y的概率.
(X,Y)= X ,Y | 为两个随机变量,不但要分别研究 X,Y,
还要研究它们之间的联系,如生高 X,体重 Y 之间通常生高 X 大,则体 重 Y 也大,但又不是完全确定的关系,本书只研究相互独立与线性相 关等简单关系.由于二维以上随机变量与二维在概念方法上无本质 差别,所以本章重点讨论二维随机向量.
证:1)在性质 3)中令 y1 或 x1 .
三.边缘分布函数:
1.定义:设 X ,Y 为二维随机变量,称 X 的分布函数FX x为 X ,Y 关 于 X 的边缘分布函数,同理FY y为 X ,Y 关于 Y 的边缘分布函数.
注意:边缘分布就是只考虑单个变量的普通的分布,无任何特殊含义,
y

A

B


2


C


2


1
lim
x
F

x,0

A
B


2

C

0，
lim F
y
0,
y

AB

C


2


0，
由此解得:C


2
,
B


2
,
A

1
2
2.
FX

x


F

x,


1
2


2

arctan
x

形域内的概率.显然有
P x1 X x2 , y1 Y y2 F x2 , y2 F x2 , y1 F x1, y2 F x1, y1
2.分布函数性质:
设(X,Y)的联合分布函数为F x, y,则 1)F x, y分别对 x,y 右连续,即
二.二维分布函数:
1. 定 义 : 设 (X,Y) 是 ,F,P 上 的 二 维 随 机 变 量 , 称 二 元 实 函 数 F x, y P X x,Y y x, y R2为(X,Y)的联合分布函数. 几何意义:F x, y代表随机点落入以点 x, y 为顶点的左下方的无穷矩
例:设二维随机变量 X ,Y 的联合分布函数为
F x, y A B arctan xC arctan y,求 1.常数
A, B,C , x , y ;2.FX x, FY y.
解:1. lim x y
F

x,
只不过计算时,从联合分布导出而已.
2.计算: FX

x

P
X

x

P

X

x,Y



F

x,

lim
y
F

x,
y
FY

y

P Y

y

PX

,Y

y

F
,
y

lim F
x

x,
y
由F x, y可得FX x, FY y,反之不成.


2


2


1



2

ห้องสมุดไป่ตู้
arctan
x



x


FY

y

F
,
y

1
2


2


2


2

arctan
y


1



2

arctan
y

,


y

.
F x, y F x, y,F x, y F x, y
2)规范性:F , y F x, 0, F , 1;
3)x1 x2 , y1 y2 有(包含单调增)
F x2 , y2 F x1, y2 F x2 , y1 F x1, y1 0