高考数学(理科)大二轮复习练习专题三三角函数专题能力训练

专题能力训练9三角函数的图象与性质
一、能力突破训练
1.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动个单位长度
2.设θ∈R,则“”是“sin θ<”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()
A.x=(k∈Z)
B.x=(k∈Z)
C.x=(k∈Z)
D.x=(k∈Z)
4.(2018全国Ⅱ,理10)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是()
A. B. C. D.π
5.函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,若它的最小正周期为π,则函数f(x)的图象的一个对称中心是()
A. B.
C. D.
6.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则cos(α-β)=.
7.定义一种运算:(a1,a2)⊗(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(,2sin x)⊗(cos x,cos 2x)的图象向左平移
n(n>0)个单位所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为.
8.函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)=.
9.已知函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点,则函数g(x)=λsin x cos x+sin2x的图象的一条对称轴是.(写出其中的一条即可)
10.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin x cos x(x∈R).
(1)求f的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
11.已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
二、思维提升训练
12.下图是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,则f(-1)等于()
A.2
B.
C.-
D.-2
13.设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=-
D.ω=,φ=
14.函数y=的图象与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()
A.2
B.4
C.6
D.8
15.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:
①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=(sin x+cos x);
③f(x)=sin x;④f(x)=sin x+.
其中为“互为生成”函数的是.(填序号)
16.如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,的夹角为α,且tan α=7,
的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.
17.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标
伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.
(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;
(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.
①求实数m的取值范围;
②证明:cos(α-β)=-1.
专题能力训练9三角函数的图象与性质
一、能力突破训练
1.D解析由题意,为得到函数y=sin=sin,只需把函数y=sin2x的图象上所有点向右平行移动个单位长度,故选D.
2.A解析当时,0<θ<,∴0<sinθ<
∴是“sinθ<的充分条件.
当θ=-时,sinθ=-,但不满足
∴不是“sinθ<的必要条件.
∴是“sinθ<的充分而不必要条件.故选A.
3.B解析由题意可知,将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度得
y=2sin=2sin的图象,令2x++kπ(k∈Z),得x=(k∈Z).故选B.
4.A解析f(x)=cos,图象如图所示,要使f(x)在[-a,a]上为减函数,a最大为
5.B解析由题意知T=π,则ω=2.
由函数图象关于直线x=对称,
得2+φ=+kπ(k∈Z),
即φ=-+kπ(k∈Z).
∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=A sin
令2x-=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z).
∴函数f(x)的图象的一个对称中心为故选B.
6.-解析方法1:因为角α与角β的终边关于y轴对称,根据三角函数定义可得sinβ=sinα=,cosβ=-cosα,因此,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-=-
方法2:由角α与角β的终边关于y轴对称可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos2α=2sin2α-1=2-1=-
7解析f(x)=cos2x-2sin x cos x=cos2x-sin2x=2cos,将f(x)的图象向左平移n个单位对应的函数解析式为f(x)=2cos=2cos,要使它为偶函数,则需要2n+=kπ(k∈Z),所以n=(k∈Z).因为n>0,所以当k=1时,n有最小值
8sin解析由题意得A=,函数的周期为T=16.
∵T=,∴ω=,此时f(x)=sin
由f(2)=,即sin=sin=1,
则+φ=2kπ+,k∈Z,
解得φ=2kπ+,k∈Z.
∵|φ|<,∴φ=,
∴函数的解析式为f(x)=sin
9.x=-(答案不唯一)解析将点代入f(x)=sin x+λcos x,得λ=-g(x)=-sin x cos x+sin2x=-
sin2x+cos2x=-sin,令2x+=kπ+,k∈Z,得x=,k∈Z.由k=-1,得x=-
10.解(1)由sin,cos=-,
f-2,
得f=2.
(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sin x cos x得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x+kπ,k∈Z,
所以,f(x)的单调递增区间是
(k∈Z).
11.解(1)由已知,有
f(x)=
=cos2x
=sin2x-cos2x=sin
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-
,f所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-
二、思维提升训练
12.A解析设函数f(x)的最小正周期为T,因为A,B两点之间的距离为5,所以=5,解得T=6.
所以ω=
又图象过点(0,1),代入得2sinφ=1,
所以φ=2kπ+或φ=2kπ+(k∈Z).
又0≤φ≤π,所以φ=或φ=所以f(x)=2sin或f(x)=2sin
对于函数f(x)=2sin,当x略微大于0时,有f(x)>2sin=1,与图象不符,故舍去.
综上,f(x)=2sin
故f(-1)=2sin=2.
13.A解析由题意可知,>2π,,
所以<1.所以排除C,D.
当ω=时,f=2sin
=2sin=2,
所以sin=1.
所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).
因为|φ|<π,所以φ=故选A.
14.D解析函数y1=,y2=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.
当1<x≤4时,y1<0,而函数y2在(1,4)上出现1.5个周期的图象,
在上是减函数;在上是增函数.
所以函数y1在(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E,F,G,H.
相应地,y1在(-2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A,B,C,D,
且x A+x H=x B+x G=x C+x F=x D+x E=2,故所求的横坐标之和为8.
15.①④解析首先化简题中的四个解析式可得:①f(x)=sin,②f(x)=2sin,③f(x)=sin x,④f(x)=sin x+可知③f(x)=sin x的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过
伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sin x不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理①f(x)=sin的图象与②f(x)=2sin的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f(x)=sin x+的图象可以向左平移个单位,再向下平移个单位即可得到①f(x)=sin的图象,所以①④为“互为生成”函数.
16.3解析||=||=1,||=,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<,sinα>0,cosα>0,tanα=,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=,cosα==1,=cos=-,得方程组
解得所以m+n=3.
17.(1)解将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sin x.
从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).
(2)①解f(x)+g(x)=2sin x+cos x
=
=sin(x+φ)
依题意,sin(x+φ)=在[0,2π)内有两个不同的解α,β当且仅当<1,
故m的取值范围是(-).
②证法一因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,
所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.
当1≤m<时,α+β=2,
即α-β=π-2(β+φ);
当-<m<1时,α+β=2,
即α-β=3π-2(β+φ),
所以cos(α-β)=-cos2(β+φ)
=2sin2(β+φ)-1
=2-1=-1.
证法二因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,
所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.
当1≤m<时,α+β=2,
即α+φ=π-(β+φ);
当-<m<1时,α+β=2,
即α+φ=3π-(β+φ).
所以cos(α+β)=-cos(β+φ).
于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]
=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ) =-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)
=--1.。