八年级数学下册 4.5 一次函数的应用 一次函数帮你决策方案设计素材 (新版)湘教版

一次函数帮你决策方案设计
利用一次函数解决生活中的实际问题，是中考的热点问题之一。

随着我国经济的迅猛发展，生产生活中不可避免的存在着一些方案设计问题，而一次函数就能很好的帮我们解决这方面遇到的难题：
例1、（武汉）康乐公司在A 、B 两地分别有同型号的机器17台和15台，现要运往甲地18台，乙地14台。

从A 、B 两地运往甲、乙两地的费用如下表：
（1）如果从A 地运往甲地x 台，求完成以上调运所需总费用y(元)与x(台)的函数关系式；
（2）若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总的费用最少，该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么？
分析：（1）根据调运情况，总费用应是A 地运往甲、乙两地的费用与B 地运往甲、乙两地的费用总和，由此可以写出y 与x 的函数关系式；（2）找出自变量取值范围，由一次函数的增减性确定出使总费用最少的最佳调运方案。

解：（1）由题意得，y=600x+500(17-x)+400(18-x)+800×[15-(18-x)]=500x+13300
（2）由（1）知：总费用y=500x+13300
∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--≥-≥-≥0
)18(150180170x x x x ∴3≤x≤17 又∵k＞0，∴y 随x 的增大而增大，
∴当x=3时，)(14800133003500元最小=+⨯=y
∴该公司完成以上调运方案至少需要14800元运费，最佳方案是：由A 地调3台至甲地，14台至乙地，由B 地调15台至甲地。

点拨：利用一次函数设计最佳方案，通常情况下是求最值问题。

解决这类问题时，首先确定出一次函数解析式，找出自变量取值范围，进而利用一次函数的增减性在自变量取值范围内求出最值。

例2、（重庆）我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售。

按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。

根据下表提供的信息，解答以下问题：
（1）设装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值。

分析：（1）根据装运每种脐橙所需的车辆运载的吨数之和等于运载的总吨数，即可列出y 与x 之间的函数关系式；（2）根据装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，列出不等式组，由其整数解确定出所有方案；（3）利润最大问题，需要列出利润与装运A 种脐橙车辆数x 的函数关系式，再根据函数的增减性及（2）中x 的取值范围求出最大利润。

解：（1）根据题意，装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，那么装运C 种脐橙的车辆数为()y x --20，则有：
()10020456=--++y x y x 整理得：202+-=x y
（2）由（1）知，装运A 、B 、C 三种脐橙的车辆数分别为x 、202+-x 、x ，由题意得：⎩
⎨⎧≥+-≥42024x x ，解得：4≤x ≤8，因为x 为整数，所以x 的值为4、5、6、7、8，所以安排方案共有5种。

方案一：装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车；
方案二：装运A 种脐橙5车，B 种脐橙10车，C 种脐橙5车；
方案三：装运A 种脐橙6车，B 种脐橙8车，C 种脐橙6车；
方案四：装运A 种脐橙7车，B 种脐橙6车，C 种脐橙7车；
方案五：装运A 种脐橙8车，B 种脐橙4车，C 种脐橙8车；
（3）设利润为W （百元）则：
()160048104162025126+-=⨯+⨯+-+⨯=x x x x W
∵048<-=k ∴W 的值随x 的增大而减小
要使利润W 最大，则4=x ，故选方案一
1600448+⨯-=最大W ＝1408（百元）＝14.08（万元）
答：当装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车时，获利最大，最大利润为14.08万元。

点拨：此类问题是利用不等式和一次函数来设计方案解决实际问题的，解决此类问题时，需要根据题意列出不等式（组），确定出x 的取值范围，根据其整数解的情况才能找出具体有几种方案，进而再根据一次函数性质找出最值问题中所需的方案。