(浙江专版)高考数学一轮复习 第二章 函数 2.7 函数与方程学案-人教版高三全册数学学案

§2.7函数与方程
考纲解读
考点考纲内容要求
浙江省五年高考统计
2013 2014 2015 2016 2017 函数的零点
与方程的根理解函数零点的概念. 理解
21(文),
约3分
8(文),
5分
12(文),
6分
20,约2
分
分析解读 1.函数零点的思想属于常考知识.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题.也有可能与其他知识综合出现在解答题中,属难题.
2.预计函数与方程的有关问题可能在2019年的高考中出现,复习时应引起重视.
五年高考
考点函数的零点与方程的根
1.(2017课标全国Ⅲ理,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )
A.-
B.
C.
D.1
答案 C
2.(2017山东理,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[2,+∞)
B.(0,1]∪[3,+∞)
C.(0,]∪[2,+∞)
D.(0,]∪[3,+∞)
答案 B
3.(2016天津,8,5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是( )
A. B.
C.∪
D.∪
答案 C
4.(2015天津,8,5分)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
5.(2013重庆,6,5分)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( )
A.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
答案 A
6.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=其中集合
D=,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.
答案8
7.(2015湖北,13,5分)函数f(x)=2sin xsin-x2的零点个数为.
答案 2
8.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=
①若a=1,则f(x)的最小值为;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.
答案①-1 ②∪[2,+∞)
9.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为.
答案(0,1)∪(9,+∞)
教师用书专用(10—16)
10.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
A.y=cos x
B.y=sin x
C.y=ln x
D.y=x2+1
答案 A
11.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )
A. B. C.(1,2) D.(2,+∞)
答案 B
12.(2015江苏,13,5分)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.
答案 4
13.(2015湖北,12,5分)函数f(x)=4cos2cos-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.
答案 2
14.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.
答案(-∞,0)∪(1,+∞)
15.(2014江苏,13,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.
答案
16.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b=.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
解析(1)因为a=2,b=,
所以f(x)=2x+2-x.
①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,
所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.
②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.
因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,
所以m≤对于x∈R恒成立.
而=f(x)+≥2=4,且=4,
所以m≤4,故实数m的最大值为4.
(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,
所以0是函数g(x)的唯一零点.
因为g'(x)=a x ln a+b x ln b,又由0<a<1,b>1知ln a<0,ln b>0,
所以g'(x)=0有唯一解x0=lo.
令h(x)=g'(x),则h'(x)=(a x ln a+b x ln b)'=a x(ln a)2+b x(ln b)2,
从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.
于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)<g'(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>g'(x0)=0.
因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.
下证x0=0.
若x0<0,则x0<<0,于是g<g(0)=0.又g(log a2)=+-2>-2=0,且函数g(x)在以和log a2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和log a2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0<a<1,所以log a2<0.
又<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.
若x0>0,同理可得,在和log b2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.
因此,x0=0.
于是-=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.
三年模拟
A组2016—2018年模拟·基础题组
考点函数的零点与方程的根
1.(2018浙江重点中学12月联考,5)已知点A在曲线y=ax+(a,b∈R)上,且该曲线在点A处的切线与直线4x+3y-1=0垂直,则方程x2+ax+b=0的实数根的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.不确定
答案 A
2.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,10)已知函数f(x)满足f(x+1)=,当x∈[0,1]时,f(x)=x.若函数h(x)=f(x)-ax-a在区间(-1,1]内有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
3.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,10)已知函数f(x)满足f(x)=3f,当x∈[1,4]时,f(x)=ln x,若在区间
内,函数g(x)=f(x)-mx有三个不同的零点,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 A
4.(2018浙江名校协作体期初,16)已知函数f(x)=则关于x的方程f(x2-4x)=6的不同实
根的个数为.
答案 4
5.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,11)设函数f(x)=x2-x-1,若方程f(f(x))=t恰有三个根,则
t= .
答案
6.(2016浙江名校(衢州二中)交流卷五,12)设函数f(x)=则f(f(-2))= ;若存在互
不相等的实数x1,x2,x3,使得f(x1)=f(x2)=f(x3),则a的取值范围是.
答案3;(2,+∞)
B组2016—2018年模拟·提升题组
一、选择题
1.(2017浙江名校(杭州二中))定义函数f(x)=[x],x∈[0,+∞),这里[x]表示不超过x的最大整数,则方程
f(x)-log2x=0的根的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.无数个
答案 A
2.(2017浙江杭州二模(4月),5)设方程x=ln(ax)(a≠0,e为自然对数的底数),则( )
A.当a<0时,方程没有实数根
B.当0<a<e时,方程有一个实数根
C.当a=e时,方程有三个实数根
D.当a>e时,方程有两个实数根
答案 D
3.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),6)已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=sin x+x的零点依次为x1,x2,x3,则以下排列正确的是( )
A.x1<x2<x3
B.x1<x3<x2
C.x3<x1<x2
D.x2<x3<x1
答案 B
二、填空题
4.(2018浙江镇海中学期中,17)设函数f(x)=|x-a|-+a,a∈R,若关于x的方程f(x)=2有且仅有三个不同的实数根,且它们成等差数列,则实数a的取值构成的集合为.
答案
5.(2017浙江名校协作体,17)设函数f(x)=x2-2ax+15-2a,x∈(0,+∞)的两个零点分别为x1,x2,且在区间(x1,x2)上恰好有两个正整数,则实数a的取值范围为.
答案
6.(2016浙江镇海中学期初考试,15)已知函数f(x)=-x2-x+a,g(x)=且函数y=g(x)-ax恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围为.
答案(2-3,0)
C组2016—2018年模拟·方法题组
方法1 判断函数零点个数的解题策略
1.(2017浙江镇海中学模拟卷三,9)已知x1,x2为函数f(x)=(x2+ax+b)·e x+c的极值点(其中a,b,c为实常数).若f(x1)=x1<x2,则关于x的方程f2(x)+(a+2)f(x)+a+b=0的不同实根的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
方法2 利用函数零点的个数研究参变量的取值范围的解题策略
2.(2017浙江衢州质量检测1月,22)已知函数f(x)=|x2-a|,g(x)=x2-ax,a∈R.
(1)当a=1时,求f(x)在区间[-1,1]上的最大值;
(2)求f(x)在区间[-1,1]上的最大值M(a)的最小值;
(3)若关于x的方程f(x)+g(x)=0在(0,2)上有两个解,求a的取值范围.
解析(1)当a=1时,f(x)=|x2-1|,f(x)在区间[-1,1]上的最大值为1.
(2)由于f(x)=|x2-a|在区间[-1,1]上是偶函数,故只需考虑f(x)在区间[0,1]上的最大值即可.
若a≤0,则f(x)=x2-a,它在[0,1]上是增函数,故M(a)=1-a.
若0<a<,则M(a)=1-a,若a≥,则M(a)=a,
故当a=时,M(a)取得最小值,且最小值为.
(3)令y=f(x)+g(x)=|x2-a|+x2-ax.
当a=0时,y=2x2.令y=0,得x=0,不符合题意.
当a<0时,y=2x2-ax-a的图象的对称轴方程为x=<0,故函数在(0,2)上单调递增,当x=0时,y=-a>0,故方程f(x)+g(x)=0在(0,2)上无解.
当a>0时,y=
令h(x)=2x2-ax-a.由h(0)=-a<0知,方程h(x)=0在(0,+∞)上只有一解,
又x=1是方程-ax+a=0的解,所以要满足题意,则
即
解得1<a<.
综上所述,a的取值范围为1<a<.。