2019-2020学年吉林省长春外国语学校高三(上)期初数学试卷(8月份)

2019-2020学年吉林省长春外国语学校高三（上）期初数学试卷（8月份）
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1. 已知集合A ＝{x|log 2x ≥1}，B ＝{x|x 2−x −6<0}，则A ∩B ＝（ ） A.⌀ B.{x|2<x <3} C.{x|2≤x <3} D.{x|−1<x ≤2}
2. 函数y =√x ln (2−x)的定义域为（ ） A.(0, 2) B.[0, 2) C.(0, 2] D.[0, 2]
3. 已知p ：(x +3)(x −1)>0，q:x >a 2−2a −2，若￢p 是￢q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）
A.[−1, +∞)
B.[3, +∞)
C.(−∞, −1]∪[3, +∞)
D.[−1, 3]
4. 已知a =log 29−log 2√3,b =1+log 2√7,c =1
2+log 2√13，则（ ） A.a >b >c B.b >a >c
C.c >a >b
D.c >b >a
5. 为了得到函数y =sin (2x −π
3)的图象，只需把函数y =cos (2x −4π3
)的图象( )
A.向左平移π
4个单位长度 B.向右平移π
4个单位长度 C.向左平移π2个单位长度 D.向右平移π
2个单位长度
6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B =π
2，a =√6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S △ABC ＝（ ） A.3
2
B.3
C.√6
D.6
7. 已知f(x)=
ln x
x
，则（ ） A.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2)
C.f(3)>f(2)>f(e)
D.f(e)>f(3)>f(2)
8. 已知向量a →
，b →
满足(a →
+2b →
)⋅(5a →
−4b →
)＝0，且|a →
|＝|b →
|＝1，则a →
与b →
的夹角θ为（ ） A.3π
4
B.π
4
C.π
3
D.2π
3
9. 周期为4的奇函数f(x)在[0, 2]上的解析式为f(x)={x 2,0≤x ≤1
log 12
x +1,1<x ≤2 ，则f(2018)+f(2019)＝（ ）
A.0
B.−1
C.2
D.3
10. 函数f(x)=|x −2|−ln x 在定义域内零点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
11. 在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a n 2
, a n−12)(n ∈N ∗, n ≥2)在直线x −9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 为（ ）
A.
1−(−3)n
2
B.3n −1
C.
1+3n 2
D.
3n 2+n 2
12. 奇函数的定义域为R ，若f(x +2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)=( ) A.−2 B.−1 C.0 D.1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
设函数f(x)={1,x >0
0,x =0−1,x <0 ，g(x)＝x 2f(x −1)，则函数g(x)的单调递减区间为________．
若tan α＝3，则sin (2α+π4
)的值为________；
若单位向量e 1→
，e 2→
的夹角为π
3，向量a →
=e 1→
+λe 2→
(λ∈R)，且|a →
|=√3
2
，则λ＝________．
数列{________； 三、解答题
已知函数f(x)＝sin 2x −sin 2(x −π
6)，x ∈R ． （1）求f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)在区间[−π3,π
4]的最大值和最小值．
数列{a n }中，a 1＝2，a n+1=
n+12n
a n (n ∈N ∗)．
(Ⅰ)证明数列{a
n
n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =a
n 4n−a n
，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2．
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K 2
=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
已知椭圆x 2a 2+y 2=1(a >0)的离心率为√3
2． （1）求椭圆的方程；
（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为(−a, 0)，若|AB|=4√2
5
，求直线l 的倾斜角．
设函数f(x)=1
3x 3−(1+a)x 2+4ax +24a ，其中常数a >1 （1）讨论f(x)的单调性；
（2）若当x ≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围．
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1−t 2
1+t 2
,
y =4t
1+t 2 （t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3ρsin θ+11=0． (1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)求C 上的点到l 距离的最小值．
已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： (1)1
a
+1
b
+1
c
≤a 2+b 2+c 2；
(2)(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥24．
参考答案与试题解析
2019-2020学年吉林省长春外国语学校高三（上）期初数学试卷（8月份）
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1.
【答案】 C
【考点】 交集及其运算 【解析】
先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【解答】
∵ 集合A ＝{x|log 2x ≥1}＝{x|x ≥2}， B ＝{x|x 2−x −6<0}＝{x|−2<x <3}， ∴ A ∩B ＝{x|2≤x <3}． 2.
【答案】 B
【考点】
对数函数的定义域 【解析】
由对数式的真数大于0，被开放数大于等于0，求解x 的取值范围，然后用集合或区间表示即可得到函数的定义域． 【解答】
要使原函数有意义，则{2−x >0
x ≥0
，解得：0≤x <(2)
所以原函数的定义域为[0, 2)． 3.
【答案】 C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件 【解析】
由￢p 是￢q 的充分不必要条件，可得：q 是p 的充分不必要条件，解出不等式：(x +3)(x −1)>0，得出关于a 的不等式，即可得出． 【解答】
￢p 是￢q 的充分不必要条件， ∴ q 是p 的充分不必要条件，
p ：(x +3)(x −1)>0，解得x >1或x <−3． 又q:x >a 2−2a −2，
∴ a 2−2a −2≥1，化为：a 2−2a −3≥0， 解得：a ≥3，或a ≤−1．
∴ 实数a 的取值范围是(−∞, −1]∪[3, +∞)． 4.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较 【解析】
先根据对数的运算性质，化简a ，b ，c 再根据y ＝log 2x 为增函数即可比较． 【解答】
a ＝log 29−log 2√3=log √3
=log 2√27，
b ＝1+log 2√7=log 2√28，
c =1
2+log 2√13=log 2√26，
∵ y ＝log 2x 为增函数，√28>√27>√26， ∴ b >a >c ， 5.
【答案】 A
【考点】
函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】
利用诱导公式，函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 【解答】
解：把函数y =cos (2x −4π
3
)=sin (2x −5π
6
)的图象向左平移π
4个单位长度， 可得y =sin [2(x +π
4)−
5π6
]=sin (2x −π3
)的图象，
故选A .
6.
【答案】 B
【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】
由B =π
2，利用勾股定理可求b 2＝a 2+c 2，由sin 2B ＝2sin A sin C ，利用正弦定理可得：b 2＝2ac ，联立可求a ＝c ，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】
在△ABC 中，∵ B =π
2，a =√6， ∴ b 2＝a 2+c 2，
∵ sin 2B ＝2sin A sin C ，
∴ 由正弦定理可得：b 2＝2ac ， ∴ a 2+c 2＝2ac ，可得：a ＝c =√6， ∴ S △ABC =1
2ac sin B =12×√6×√6×1=3．
7.
【答案】
D 【考点】
利用导数研究函数的单调性 【解析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值，计算f(e)，f(3)，f(2)的值，比较即可． 【解答】 f(x)的定义域是(0, +∞)， ∵ f ′(x)=
1−ln x x 2
，
∴ x ∈(0, e)，f ′(x)>0； x ∈(e, +∞)，f ′(x)<0， 故x ＝e 时，f(x)max ＝f(e)， 而f(2)=
ln 22
=
ln 86
,f(3)=
ln 33
=
ln 96
，
f(e)>f(3)>f(2)， 8.
【答案】 C
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算 【解析】
根据平面向量数量积的定义与运算，求出a →
与b →
夹角θ的余弦值，从而求出θ的值． 【解答】
因为|a →
|＝|b →
|＝1，a →
与b →
的夹角为θ，且(a →
+2b →
)⋅(5a →
−4b →
)＝0， 所以5a →2
+6a →
⋅b →
−8b →
2=0，
即5×12+6×1×1×cos θ−8×12＝0， 解得cos θ=1
2；
又θ∈[0, π]， 所以θ=π
3．
9.
【答案】 B
【考点】
分段函数的应用 【解析】
根据题意，由函数的周期性分析可得f(2018)＝f(2+2016)＝f(2)，f(2019)＝f(−1+2010)＝f(−1)＝−f(1)，结合可得函数的解析式可得f(2)与f(1)的值，据此计算可得答案． 【解答】
故选：B ． 10. 【答案】
C 【考点】 函数的零点 【解析】 先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y 1=|x −2|，y 2=ln x(x >0)的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数． 【解答】 解：由题意，函数f(x)的定义域为(0， +∞)，
由函数零点的定义，
f(x)在(0， +∞)内的零点即是方程|x −2|−ln x =0的根． 令y 1=|x −2|，y 2=ln x(x >0)， 在一个坐标系中画出两个函数的图象：
由图得，两个函数图象有两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点． 故选C ． 11.
【答案】 B
【考点】 数列的求和 【解析】
首先确定数列的通项公式，进一步求出数列的前n 项和． 【解答】
各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a n 2
, a n−12)(n ∈N ∗, n ≥2)在直线x −9y ＝0上， 则：， 整理得：a n
a
n−1
=3（常数），
所以：数列{a n }是以a 1＝2为首项，3为公比的等比数列．
则：a n =2⋅3n−1．
当n ＝1时，首项符合通项． 故：a n =2⋅3n−1， 则：S n =2(3n −1)3−1
=3n −1．
12.
【答案】 D
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
根据函数的奇偶性的性质，得到f(x+8)=f(x)，即可得到结论．
【解答】
解：∵f(x+2)为偶函数，f(x)是奇函数，
∴设g(x)=f(x+2)，
则g(−x)=g(x)，
即f(−x+2)=f(x+2)，
∵f(x)是奇函数，
∴f(−x+2)=f(x+2)=−f(x−2)，
即f(x+4)=−f(x)，f(x+8)=f(x+4+4)=−f(x+4)=f(x)，
则f(8)=f(0)=0，f(9)=f(1)=1，
∴f(8)+f(9)=0+1=1.
故选D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
【答案】
[0, 1)
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
根据f(x)的解析式便可求出f(x−1)的解析式，进而得出g(x)的解析式，根据解析式及二次函数、分段函数的单调性即可求出g(x)的单调递减区间．
【解答】
f(x−1)={
1x>1
0x=1
−1x<1
；
∴g(x)={x2x>1 0x=1
−x2x<1
；
∴g(x)的单调递减区间为[0, 1)．【答案】
−√2 10
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
由已知求得sin2α与cos2α的值，再由两角和的正弦求解．【解答】
∵tanα＝3，
∴sin2α=2sinαcosα
sin2α+cos2α=2tanα
tan2α+1
=6
10
=3
5
，
cos2α=cos2α−sin2α
sin2α+cos2α=1−tan2α
1+tan2α
=−8
10
=−4
5
．
则sin(2α+π
4)＝sin2αcosπ
4
+cos2αsinπ
4
=3
5
×√2
2
−4
5
×√2
2
=−√2
10
．
【答案】−
1
2
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
对a
→
=e1→+λe2→两边平方，解方程得出λ．
【解答】
∵|e1→|=|e2→|=1，e1→⋅e2→=cosπ
3
=1
2
．
∵a→=e1→+λe2→，|a→|=√3
2
，
∴3
4
=1+λ2+λ
解得λ=−1
2
．
【答案】
a n}的前项和为S n，a1＝1，S n+1＝1−2S n，则S n＝2
3
⋅(−2)n−1+1
3
【考点】
数列递推式
【解析】
直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
【解答】
数列{a n}的前项和为S n，a1＝1，S n+1＝1−2S n，则S n+1−1
3
=−2(S n−1
3
)，
所以
S n+1−1
3
S n−1
3
=−2（常数），
故数列{S n−1
3
}是以S1−1
3
=a1−1
3
=2
3
为首项，−2为公比的等比数列．所以S n−1
3
=2
3
⋅(−2)n−1，
整理得S n=2
3
⋅(−2)n−1+1
3
（首项符合通项），故S n=2
3
⋅(−2)n−1+1
3
．
三、解答题
【答案】
化简可得f(x)＝sin2x−sin2(x−π
6
)
=
1
2
(1−cos2x)−
1
2
[1−cos(2x−
π
3
)]
=
1
2
(1−cos2x−1+
1
2cos2x+
√3
2sin2x)
=
1
2
(−
1
2cos2x+
√3
2sin2x)
=1
2
sin(2x−π
6
)，
∴f(x)的最小正周期T=2π
2
=π；
∵x∈[−π
3, π
4
]，∴2x−π
6
∈[−5π
6
, π
3
]，
∴sin(2x−π
6)∈[−1, √3
2
]，∴1
2
sin(2x−π
6
)∈[−1
2
, √3
4
]，
∴f(x)在区间[−π
3, π
4
]内的最大值和最小值分别为√3
4
，−1
2
．
【考点】
三角函数的最值
三角函数的周期性及其求法【解析】
（1）由三角函数公式化简可得f(x)=1
2sin(2x−π
6
)，由周期公式可得；
（2）由x∈[−π
3, π
4
]，结合合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．
【解答】
化简可得f(x)＝sin2x−sin2(x−π
6
)
=1
2
(1−cos2x)−
1
2
[1−cos(2x−
π
3
)]
=1
2
(1−cos2x−1+
1
2cos2x+
√3
2sin2x)
=1
(−
1
cos2x+
√3
sin2x)
=1
2sin(2x−π
6
)，
∴f(x)的最小正周期T=2π
2
=π；
∵x∈[−π
3, π
4
]，∴2x−π
6
∈[−5π
6
, π
3
]，
∴sin(2x−π
6)∈[−1, √3
2
]，∴1
2
sin(2x−π
6
)∈[−1
2
, √3
4
]，
∴f(x)在区间[−π
3, π
4
]内的最大值和最小值分别为√3
4
，−1
2
．
【答案】
（1）由题设a n+1
n+1=1
2
×a n
n
，数列{a n
n
}是首项为2，公比q=1
2
的等比数列
所以a n
n =2×(1
2
)n−1=22−n，a n=n×22−n=4n
2n
；
（2）证明：b n=a n
4n−a n =
4n
2n
4n−4n
2n
=1
2n−1
，
注意对任意n∈N∗，2n−1≥2n−1，
所以T n≤1+1
2+1
22
+1
23
+⋯+1
2n−1
=2(1−1
2n
)<2．
【考点】数列递推式数列的求和【解析】
(Ⅰ)化简已知条件，即可证明数列{a n
n
}是等比数列，求出首项与公比，然后求数列{a n}的通项公式；
(Ⅱ)化简数列的通项公式，利用放缩法推出b n≤1
2n−1
，然后利用等比数列求和，证明结论．
【解答】
（1）由题设a n+1
n+1
=1
2
×a n
n
，数列{a n
n
}是首项为2，公比q=1
2
的等比数列
所以a n
n
=2×(1
2
)n−1=22−n，a n=n×22−n=4n
2n
；
（2）证明：b n=a n
4n−a n
=
4n
2n
4n−4n
2n
=1
2n−1
，
注意对任意n∈N∗，2n−1≥2n−1，
所以T n≤1+1
2
+1
22
+1
23
+⋯+1
2n−1
=2(1−1
2n
)<2．
【答案】
解：(1)由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P=40
50
=4
5
，
女顾客对该商场服务满意的概率P=30
50
=3
5
.
(2)由题意可知，K2=100(40×20−30×10)2
70×30×50×50
=100
21
≈4.762>3.841，
故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
【考点】
用频率估计概率
独立性检验
【解析】
（1）由题中数据，结合等可能事件的概率求解；
（2）代入计算公式：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，然后把所求数据与3.841进行比较即可判断．
【解答】
解：(1)由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P=40
50
=4
5
，
女顾客对该商场服务满意的概率P=30
50
=3
5
.
(2)由题意可知，K2=100(40×20−30×10)2
70×30×50×50
=100
21
≈4.762>3.841，
故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
【答案】
由e=c
a
=√3
2
，得3a2＝4c2．再由c2＝a2−b2，解得a＝2b＝2．
所以椭圆的方程为x
2
4
+y2＝1．
由（1）可知点A的坐标是(−2, 0)．设点B的坐标为(x1, y1)，
直线l 的斜率为k ．则直线l 的方程为y ＝k(x +2)．
于是A 、B 两点的坐标满足方程组{y =k(x +2)
x 24+y 2
=1 消去y 并整理， 得：(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4＝0 由−2x 1=
16k 2−4
1+4k 2
得x 1=2−8k 2
1+4k 2，从而y 1=4k
1+4k 2． 所以|AB|=√(−2−2−8k 21+4k 2
)2
+(4k 1+4k 2)2=
4√1+k 21+4k 2
．
由|AB|=
4√25，得4√1+k 2
1+4k 2
=
4√2
5
整理得32k 4−9k 2−23＝0，即(k 2−1)(32k 2+23)＝，解得k ＝±1． 经检验△>0符合题意，所以直线l 的倾斜角为π
4
或3π
4．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】
（1）根据离心率得出3a 2＝4c 2以及c 2＝a 2−b 2，求出a 、b 的值；
（2）由A(−2, 0)，设B(x 1, y 1)，直线l 的方程为y ＝k(x +2)，知A 、B 两点的坐标满足方程组 {y =k(x +2)
x 24+y 2
=1 ，由方程消去y 并整理得：(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4＝0，由−2x 1=
16k 2−4
1+4k 2
得x 1=2−8k 2
1+4k 2，从而y 1=4k 1+4k 2
，再由|AB|=
4√2
5
，求出k 的值，即可得到倾斜角． 【解答】 由e =c
a =
√32
，得3a 2＝4c 2．再由c 2＝a 2
−b 2，解得a ＝2b ＝2．
所以椭圆的方程为
x 24
+y 2＝1．
由（1）可知点A 的坐标是(−2, 0)．设点B 的坐标为(x 1, y 1)，
直线l 的斜率为k ．则直线l 的方程为y ＝k(x +2)．
于是A 、B 两点的坐标满足方程组{y =k(x +2)
x 24+y 2
=1 消去y 并整理， 得：(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4＝0 由−2x 1=
16k 2−4
1+4k 2
得x 1=2−8k 2
1+4k 2，从而y 1=4k
1+4k 2． 所以|AB|=√(−2−2−8k 2
1+4k 2)2+(4k
1+4k 2)2=4√1+k 21+4k 2
．
由|AB|=
4√25
，得4√1+k 2
1+4k 2=
4√25
整理得32k 4−9k 2−23＝0，即(k 2−1)(32k 2+23)＝，解得k ＝±1． 经检验△>0符合题意，所以直线l 的倾斜角为π
4或3π
4．
【答案】
f′(x)＝x 2−2(1+a)x +4a ＝(x −2)(x −2a)，
由已知a >1，∴ 2a >2，∴ 令f′(x)>0，解得x >2a 或x <2， 令f′(x)<0，解得2<x <2a ，
故当a >1时，f(x)在区间(−∞, 2)和(2a, +∞)上是增函数，在区间(2, 2a)上是减函数． 由（1）知，当x ≥0时，f(x)在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值．
f(2a)=1
3
(2a)3−(1+a)(2a)2+4a ⋅2a +24a =−4
3
a 3+4a 2+24a =−4
3
a(a −6)(a +3)，f(0)＝24a ．
则{a >1
f(2a)>0f(0)>0 即{a >1−4
3a(a +3)(a −6)>024a >0
解得1<a <6，
故a 的取值范围是(1, 6)． 【考点】
利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】
（1）先求出导函数，利用导数大于0对应的为原函数的增区间，导数小于0对应的为原函数的减区间，即可求f(x)的单调性；
（2）由（1）知，当x ≥0时，f(x)在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值，所以须满足最小值大于0，解不等式组{a >1
f(2a)>0f(0)>0
即可求a 的取值范围． 【解答】
f′(x)＝x 2−2(1+a)x +4a ＝(x −2)(x −2a)，
由已知a >1，∴ 2a >2，∴ 令f′(x)>0，解得x >2a 或x <2， 令f′(x)<0，解得2<x <2a ，
故当a >1时，f(x)在区间(−∞, 2)和(2a, +∞)上是增函数，在区间(2, 2a)上是减函数． 由（1）知，当x ≥0时，f(x)在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值．
f(2a)=1
3(2a)3−(1+a)(2a)2+4a ⋅2a +24a =−4
3a 3+4a 2+24a =−4
3a(a −6)(a +3)，f(0)＝24a ． 则{a >1
f(2a)>0f(0)>0 即{a >1−4
3a(a +3)(a −6)>024a >0 解得1<a <6，
故a 的取值范围是(1, 6)． 【答案】
解：(1)由{x =1−t 2
1+t 2,y =4t 1+t 2 （t 为参数），得{x =1−t 2
1+t 2
y 2
=2t
1+t
2
， 两式平方相加，得x 2+
y 24=1(x ≠−1)，
∴ C 的直角坐标方程为x 2
+
y 24
=1(x ≠−1)，
由2ρcos θ+√3ρsin θ+11=0，得2x +√3y +11=0． 即直线l 的直角坐标方程为得2x +√3y +11=0. (2)由(1)可设C 上的点P(cos θ, 2sin θ)(θ≠π)， 则P 到直线得2x +√3y +11=0的距离为：
d =
√3sin √7=
|4cos (θ−π3
)+11|
√7
．
∴ 当θ=−
2π3
时，d 有最小值为√7．
【考点】
利用圆锥曲线的参数方程求最值 圆的极坐标方程
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 点到直线的距离公式 【解析】
（1）把曲线C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入2ρcos θ+√3ρsin θ+11＝0，可得直线l 的直角坐标方程；
（2）法一、设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值； 法二、写出与直线l 平行的直线方程为2x +√3y +m =0，与曲线C 联立，化为关于x 的一元二次方程，利用
判别式大于0求得m ，转化为两平行线间的距离求C 上的点到l 距离的最小值． 【解答】 解：(1)由{x =1−t 2
1+t 2,
y =4t 1+t 2 （t 为参数），得{x =1−t 21+t 2y 2
=2t 1+t
2
，
两式平方相加，得x 2
+
y 24
=1(x ≠−1)，
∴ C 的直角坐标方程为x 2+
y 24
=1(x ≠−1)，
由2ρcos θ+√3ρsin θ+11=0，得2x +√3y +11=0． 即直线l 的直角坐标方程为得2x +√3y +11=0. (2)由(1)可设C 上的点P(cos θ, 2sin θ)(θ≠π)，
则P 到直线得2x +√3y +11=0的距离为： d =
√3sin √7=|4cos (θ−π3
)+11|
√7
．
∴ 当θ=−
2π3
时，d 有最小值为√7．
【答案】
证明：(1)∵ a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．
∴ (a −b)2≥0，(a −c)2≥0，(b −c)2≥0恒成立，当且仅当a =b =c =1时取等号，
∴ (a −b)2+(a −c)2+(b −c)2≥0， 2a 2+2b 2+2c 2−2bc −2ac −2ab ≥0， 2bc +2ac +2ab ≤2a 2+2b 2+2c 2， bc +ac +ab ≤a 2+b 2+c 2，
bc+ac+ab
abc ≤a 2+b 2+c 2，
∴ 1
a +1
b +1
c ≤a 2+b 2+c 2得证． (2)(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3
≥3√(a +b)3⋅(b +c)3⋅(c +a)33
=3(a +b )(b +c )(a +c )
≥3×(2√ab)×(2√bc)×(2√ac)=24 ,（当且仅当a =b =c =1时取等号）． ∴ (a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥24． 【考点】 不等式的证明 【解析】
（1）利用基本不等式和1的运用可证，（2）分析法和综合法的证明方法可证． 【解答】
证明：(1)∵ a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．
∴ (a −b)2≥0，(a −c)2≥0，(b −c)2≥0恒成立，当且仅当a =b =c =1时取等号，
∴ (a −b)2+(a −c)2+(b −c)2≥0， 2a 2+2b 2+2c 2−2bc −2ac −2ab ≥0， 2bc +2ac +2ab ≤2a 2+2b 2+2c 2，
bc +ac +ab ≤a 2+b 2+c 2， bc+ac+ab abc ≤a 2+b 2+c 2， ∴ 1a
+1b
+1
c
≤a 2+b 2+c 2得证．
(2)(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3
≥3√(a +b)3⋅(b +c)3⋅(c +a)33
=3(a +b )(b +c )(a +c )
≥3×(2√ab)×(2√bc)×(2√ac)=24 ,（当且仅当a =b =c =1时取等号）． ∴ (a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥24．。