让思维从数学课堂飞向人生舞台

让思维从数学课堂飞向人生舞台
郑华玉
宁波高新区外国语学校邮编315040
摘要：数学知识来源于生活，数学知识和数学思想方法与生活知识和生活中的道理有相似相通之处。

本文中的两个案例将数学与生活联系起来，让学生在进行数学学习的同时，受到思想教育，增长生活经验。

初中数学中的函数概念涉及到两个变量之间的关系，引申一下就得到了“人生函数”，从而可以引导学生得到一种分析问题的方法。

“从三到万”是一个笑话，但其蕴含的思想却与一类数学问题有一些相似，深入剖析则使学生在笑声中增长了生活智慧。

数学知识来源于生活，却以数字符号和图形等等的方式呈现给学生，充分展示其精确性和抽象性的特点，所以数学也因此成为了最难学好的课程之一。

若在数学教学中，适当借助某些问题背景，从数学知识说开去，让学生的思维从数学的课堂上飞向广阔的人生舞台中，能使枯燥抽象的数学变得生动有趣，能让铁面无私的数学答案饱含深情，能让学生从数学学习中增长生活的智慧。

人生函数
一名已读大学三年级的学生在聊天的时候对我说，您的人生函数我至今记忆犹新，多年来它使我受益非浅。

学生的话再次唤醒我九年前的记忆。

班上的高才生外号叫小园子的一名学生写了一篇文章名为《未来的我》，大意是：一个自称是小园子（竟与我的外号相同）的神秘人打来电话，邀我一同旅行，好奇的我赴约后到了一个亦幻亦真的世界：我是国家女足队员，同时在国家科学院上班……在这次旅行后，回到学校的我兴奋不已，学习劲头十足，为实现自己的理想奋力拼搏。

后来一想，反正我的未来已经注定，两大理想都能实现，又何必如此勤奋呢？于是学习松懈下来，成绩逐渐下滑，我开心依旧，相信神秘旅行中所见情形依然会变成现实。

不料我又一次接到那个小园子的约会电话，赴约后在那个亦幻亦真的世界里，国家女足解除了与我的合约，同时国家科学院因为我碌碌无为决定辞退我，我苦苦哀求，但
没有赢得任何同情，在伤心和无助中，我回到了家，回到了学校，反思后的我又恢复了以前的斗志，专心致志地学习，期待着第三次约会……
语文老师推荐了这篇文章，我从糊涂开始，到清晰结束，读完文章后，如获至宝，进一步了解到这篇构思巧妙的文章已经被语文老师在全班点评过，而我第二天要上《代数式的值》一课，正好可以借用。

关于代数式的值的定义，课本上是这样举例说明的：用数值替换代数式中的字母，计算的结果叫做代数式的值。

在上《代数式的值》的课上，我写出了下面的板书：
当x=0时，2x 2-1=-1;
当x=-21时，2x 2-1=-2
1; ……
字母的值—→代数式—→代数式的值
然后给出了代数式的值的定义，之后说：“人生就象是一个复杂的代数式，我们的思想就是代数式中的字母，不同的人有不同的思想，同一个人在不同阶段有不同的思想，正如代数式中的字母可以取很多不同的值一样，那么我们每天把自己的思想带入到人生这个复杂的代数式中，得到的人生代数式的值会是什么呢？”
我选择了学生答案中的“代数式的值就是我们的行动”和“代数式的值就是我们的未来”，写下如此板书：
思想—→人生代数式—→行动
行动—→人生代数式—→未来
思想—→人生代数式—→未来
有人喊小园子的作文《未来的我》就是这么写的，这一喊引得全班同学都起掌来！我再次板书：
胸无大志—→人生代数式—→得过且过—→人生代数式—→一事无成
远大理想—→人生代数式—→勤奋拼搏—→人生代数式—→理想实现
原来小园子的作文《未来的我》就是把字母取了两个不同的值代入到代数式中，求出了代数式的两个不同的值。

让语文老师叫好让同学佩服的一篇作文的奇妙构思竟然被数学老师变成了一个简单的数学概念，学生们欣喜异常，那节课真
轻松！
有趣的是，小园子写出《未来的我》之后，在她自己的学习经历中，成绩出现较大波动，把文章中的故事亲自演绎了一次。

在后来的学习生活中，《未来的我》与《人生代数式的值》在我班多次被提起，成为学生自我反思的有力武器：成绩下降的原因是什么？做出违纪事情的根源在哪里？这些问题都可以看成是人生代数式的值，并且是把字母换成了一个不恰当的值得到的，所以学生再也不好意思去寻找客观原因作为借口，而是慢慢学会了从自己的思想上索本求源。

一年后，学习函数——初中数学中最难的概念之一，在通过实例进行分析后，我写下了如下板书：
在某个过程中，存在两个变量x和y
变量x变化—→变量y随之变化
变量x确定—→变量y随之确定唯一的值
称y为x的函数，其中变量x叫自变量，变量y叫函数
学生异口同声地喊起：
行动是思想的函数
未来是今天行动的函数
未来也是今天思想的函数
我说，这些函数，可以称为——人生函数，而小园子等一些同学又说：
性格是习惯的函数
命运是性格的函数
命运也是习惯的函数
显然，他们把名言“习惯决定性格，性格决定命运”变成了函数语言，可见，一年前《代数式的值》那节课学生们不仅没忘，而且课后还在发展其中的思想，而今天新课的重要概念——函数只是代数式的值的另一种表述，并且这种表述比以前更加简洁。

至此，本节课的难点不攻自破！
数学概念经常是枯燥的，班主任工作中的思想工作经常是乏味的。

如果没有本班学生的那篇文章《未来的我》，我在数学课上即使提出“思想—→人生代数式—→行动”、“行动—→人生代数式—→未来”的观点，学生也可能会认为是牵强附会，如果没有《代数式的值》一课对《未来的我》的数学解释，老师用《未
来的我》中表达的思想观点对学生进行教育可能只会被学生当成一种教条。

两者结合，让学生作文中的思想来帮助加深对数学概念的理解，以数学的严谨性使学生坚信文章中的因果联系，给文章奇特的构思一个简单的数学解释，给枯燥的数学概念以形象化的生活意义，让看似毫不相关的两个问题产生了奇异的关联，使数学教学与思想教育有机地融合在了一起，二者相得益彰，枯燥与乏味同时消失， 可能这正是使学生记忆犹新的原因所在。

“从三到万”的智慧
有一个《从三到万》的笑话（附后），说的是一个小孩刚认识了一、二、三之后就认为学会了，辞了老师，其父让写请柬给姓万的客人……闹出了大笑话。

初二语文上有一篇文章《从三到万》讲述了这个故事，作者批评了象这个小孩一样学习想走捷径的人。

作者的观点固然正确，但笔者认为这篇文章出现在初二，对学生逻辑思维能力的形成发展不利，甚至会扼杀学生用归纳类比等方法探索世界的天性，所以为初三学生设计了下面这节课。

如图，用4根火柴棒可以摆出1个正方形，7根火柴棒可以摆2个正方形，10根火柴棒可以摆出3个正方形……照这种方法进行下去，当摆出连续n 个正方形的时候，需要多少根火柴棒？
n s n =? 3s 3=10 2
s 2=7 1s 1=4
这个问题学生在小学就做过，所以初三的学生们很快就给出了各种解法，在从各种不同解题方法中归纳出此类题的解题策略后，我将话题引到了数学课外：
很多题与本题类似，给出了三个（或有限个）与自然数有关的初始图形或者数据后，可以归纳出适合任意同类图形或数列的用字母表示的记数规律或公式，我想把这类题称之为“从三到万”的问题，不知大家认为如何？
生：我们在语文中学过一篇文章叫《从三到万》，作者对那个“从三到万”的小孩持批评态度，说他学习想走捷径是不对的。

师：批评学习想走捷径的人肯定没错。

不过一个上学仅三天的小孩，才学了“一二三”，就有从中总结规律的欲望，就猜想“万”的写法，这个小孩是不
是非常聪明呢？（学生点头）
我接着说，世界上很多民族最先表示4、5、6……时用的确实就是这个小孩的方法。

有人接着这则故事往下编，说其父亲问为何不换扫帚，用扫帚写一次有五百画的话，只要写20次就够了，如果有更大的扫帚的话，一次就够了，这简直就是数学上所用的换元法！“万”字其实就是对那一万笔进行的一次“换元”（学生大笑，鼓掌）。

回顾我们刚才做的题目，发现比较简单的方法都是利用前面两三个图中的信息，按“从三到万”的思路推出结果的。

数学中不能没有“从三到万”，科学中不能没有“从三到万”，生活中也不能没有“从三到万”。

谁知道哥德巴赫猜想说的是什么内容？
生：4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7……每一个大于或等于4的偶数都可以写成两个质数的和，简称“1+1”。

师：说得很好。

哥德巴赫猜想就是从很小的几个偶数开始，推测任意的大偶数也有一样的规律的，人们把这个猜想誉为数学皇冠上的明珠，可见它的价值，哥德巴赫猜想就是“从三到万”的典型。

相反，一个人如果没有“从三到万”的思想的话，可能会出问题的。

在《西游记》唐僧师徒四人中就有一个不知道“从三到万”的典型人物，你认为是谁呢？
学生活跃起来，说唐僧的声音最大。

一个学生讲，三打白骨精的故事中，唐僧先被那个小女子骗，后被老夫人骗，第三次被老爷爷骗，后来还是一次一次地被妖精们骗，我们看《西游记》的读者和观众都为他急死了，可唐僧还是一如既往地被妖精骗，所以唐僧是不知道“从三到万”的典型人物。

另一个学生站起来反对，说唐僧被骗三次还继续被骗，正好是“从三到万”的结果。

孙悟空却能一而再、再而三地识破伪装的妖精，唐僧却不相信孙悟空能第四第五次更多次地识别妖精，这才说明唐僧是不知道“从三到万”的典型人物。

学生为后一个发言的同学鼓起张来。

师：说得很有意思，唐僧若有“从三到万”的智慧，《西游记》的故事会会有怎样的变化呢？
生1：以后只要孙悟空说有妖精，唐僧就让孙悟空狠狠地打！
生2：这样的话唐僧让孙悟空一见妖怪就打，只要孙悟空说有妖精唐僧就警惕，可能象《大战红孩儿》等故事就没有了，唐僧就不必经历九九八十一难了，那样《西游记》就没有意思了！
在学生大笑之后，我将学生从《西游记》拉回到数学上来：
问题：将一张长方形的纸对折,如图所示可得一条折痕(图中虚线).继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕。

如果对折n 次,可以得到多少条折痕呢？
第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠 第n次折叠………
有的学生先找出三组数（1，1），（2，3），（3，7），设折痕条数为s ，用二次函数解得s=n 2-n+1，还有学生直接分析或者看出是s=2n -1，发现两个答案都满足前三个图形，怎么回事？当学生分析了未画出的第四个图后，立即否定了用函数法得到的结果，进一步分析找到了函数法的局限性：当规律不是我们所设的函数形式时，前面使用过的函数法失效！
师：在这个问题中，从前三组数竟可以归纳出两个不同的公式，可见“从三到万”的结果不经过证明，可能是错误的。

所以我们应该有“从三到万”这种意识，还要有证明“从三到万”的结论的习惯。

刚才做的这道题能否对大家改写《西游记》有所帮助呢？
生3：唐僧有了“从三到万”的智慧后，允许孙悟空不报告就直接打妖精，可后来孙悟空开始飘飘然，终于有一次打错了，唐僧不再坚信“从三到万”的结果，以后非常谨慎。

生4：在《三打白骨精》之后还可以加入这样的故事，先是唐僧有了“从三到万”的意识，让孙悟空打对了几次，可天外有天，后来竟然出现了一个孙悟空没能识破的妖精，差一点要了唐僧的命，唐僧由此想到孙悟空的本领也有局限，以后对“从三到万”的结果非常谨慎地验证，而孙悟空发现了自己的不足，经过修炼提高了火眼金睛之术……
师：刚才两位同学的构想不仅没有使西游记的故事减少，而且增加了孙悟空失误的故事能让神话人物更接近我们普通人，使故事更曲折诱人，很有新意。

不过，难道《西游记》的作者就如此马虎，让唐僧遭到我们的批评？《从三到万》
的故事我们是否也可以改写呢？……希望看到以后同学们创作的文学作品经得起数理推敲，成为经典。

记得前些年以数学老师老师的身份听语文老师的公开课《从三到万》时，隐约记起自己做学生时读这篇文章前后的心情。

当发现能从已知推出未知、可由有限探求无限时，对于逻辑思维能力处于发展初期的初中学生来说，就像《从三到万》中的那个小孩在认识了一、二、三之后一样地兴奋无比，求知探索欲望因此大大增强，然而中学语文中《从三到万》写得却那么残忍，把一颗有着强烈求知欲望的童心给扼杀了。

这节课为《从三到万》中的那个小孩平反，精心呵护和培养学生的求知探索欲望，期待能抚平一些有“从三到万”的想法而被大人们批评的学生们的心灵。

看似无关的两个问题，却有着奇妙的联系，这种联系不是把数学知识应用于生活中，或是从生活经验中找到解决数学问题的方法，而是找到生活经验与数学问题之间的相似相通之处，相互印证，促进理解，加深记忆，消除单纯学习数学知识时容易产生的枯燥感，增强学习的趣味。

有句流传很广的名言，说把教育的所有知识都忘记了，留下来的才是真正的教育。

老师时常从数学问题说开去，诱导学生的思维从数学课堂飞向广阔的人生舞台，可能学生最后留下记忆的就是说开去的内容。

附：“有田舍翁，家资殷盛，而累世不识之乎。

一岁，聘楚士训其子。

楚士始训之搦管临朱。

书一画，训曰：一字；书二画，训曰：二字；书三画，训曰：三字。

其子辄欣欣然，掷笔归告其父，曰：儿得矣，儿得矣；可无烦先生，重费馆谷也，请谢去。

其父喜，从之。

具币谢遗楚士。

逾时，其父拟征召姻友万氏者饮，令子晨起治状，久之不成。

父趣之，其子恚曰：“天下姓氏伙矣，奈何姓万！自晨起至今，才完五百画也。

”
引自原人教版初二语文下、浙教版八年级语文课文《从三到万》
注：本文所述除语文课文外，皆来自本人课堂教学，没有参考任何他人文章。