2019年高考数学(文)考点一遍过 考点33 直线的位置关系(含解析)

2019年高考数学（文）考点一遍过
（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. （2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
一、两条直线的位置关系
注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 二、两条直线的交点
对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，
1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220
A x
B y
C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．
（1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解； （2）方程组无解⇔1l ∥2l ；
（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合．
三、距离问题
（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|
（2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 002
2
A B
+
（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d 122
2
A B
+．
四、对称问题
（1）中心对称：点(,)B x y 为点11(,)A x y 与22(,)C x y 的中点，中点坐标公式为121
22
2
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．
（2）轴对称：若点P 关于直线l 的对称点为P'，则PP'l P P'l ⊥⎧⎨
⎩直线与的中点在上
．
考向一 两直线平行与垂直的判断及应用
由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解
.
典例1 若直线21y x =-与直线30x my ++=平行，则m 的值为 A ．
1
2
B ．12
- C ．2-
D ．2
【答案】
B
【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件，列出关于m 的方程求解即可.
1．“1a =”是“直线()2110a x ay +++=和直线330ax y -+=垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
考向二 两直线的相交问题
1．两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标. 2．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.
典例2 已知直线l 经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P ,且垂直于直线2x+3y+5=0,求直线l 的方程. 【答案】直线l 的方程为3x-2y-4=0.
方法二：由2304350x y x y --=⎧⎨--=⎩
,解得
,即点P 的坐标为(2,1)，
因为直线l 与直线2x+3y+5=0垂直，所以可设直线l 的方程为3x-2y+c =0，把点P 的坐标代入得3×2-2×1+c =0，解得c =-4.
故直线l 的方程为3x-2y-4=0.
方法三：直线l 的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0, 因为直线l 与直线2x+3y+5=0垂直,所以2413λλ++·(-2
3
)=-1,解得λ=1.
故直线l 的方程为3x-2y-4=0.
2．已知直线111:1＋＝
l a x b y 和直线222:1＋＝l a x b y 相交于点P (2,3)，则经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是________.
考向三 距离问题
1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.
2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.
3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
典例3 （1）若点A (2，3)，B (－4，5)到直线l 的距离相等，且直线l 过点P (－1,2)，则直线l 的方程为_________； （2）若直线m 被两直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22m 的倾斜角θ(θ 为锐角)为_________．
【答案】（1）x ＋3y －5＝0或x ＝－1；（2）15°或75°
方法二：当AB ∥l 时，有k l ＝k AB ＝1
3-，直线l 的方程为y －2＝13
-(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0． 当l 过AB 的中点时，由AB 的中点为(－1,4)，得直线l 的方程为x ＝－1． 综上，直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1． （2）显然直线l
1∥l 2，直线l 1，l 2之间的距离2d =
=
设直线m 与l 1，l 2分别相交于点B ，A ，则|AB |=，
过点A 作直线l 垂直于直线l 1，垂足为C ，则|AC |=d ， 在Rt ABC △中，sin ∠ABC =
||21
||2
22AC AB ==，所以∠ABC =30°， 又直线l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角为45°－30°=15°或45°+30°=75°， 故直线m 的倾斜角θ =15°或75°．
3．若动点()()111222,,,P x y P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则12P P 的中点P 到原点的距离的最小值是
A ．
B 152
C ．
D 52
考向四 对称问题
解决对称问题要抓住以下两点：
（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
典例4 已知直线l :3x-y+3=0,求:
（1）点P (4,5)关于直线l 的对称点的坐标; （2）直线x-y-2=0关于直线l 对称的直线方程. 【答案】（1）(-2,7)；（2）7x+y+22=0.
（2）用③④分别代换x-y-2=0中的x ,y ,得关于l 对称的直线方程为439343
2055
x y x y -+-++--=,
即7x+y+22=0.
4．光线通过点()2,3A ，在直线:10l x y ++=上反射，反射光线经过点()1,1B . （1）求点()2,3A 关于直线l 对称点的坐标； （2）求反射光线所在直线的一般式方程．
考向五 直线过定点问题
求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：
（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.
典例5 求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】详见解析.
【解析】证法一：对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0， 令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0. 解方程组3110
4100
x y x y --=⎧⎨
++=⎩得两直线的交点为(2，－3)．
将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝4m －2－3m －9－m ＋11＝0. 这表明不论m 为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)． 证法二：以m 为未知数，整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0. 由于m 取值的任意性，所以210
3110
x y x y +-=⎧⎨
-++=⎩，解得x ＝2，y ＝－3.
所以所给的直线不论m 取什么实数，都经过定点(2，－3)．
5．已知点()20A ，，点()20B -，，直线l ：()()3140x y λλλ++--=（其中λ∈R ）． （1）求直线l 所经过的定点P 的坐标；
（2）若分别过A ，B 3l 所得线段的长为43l 的方程．
1．过两直线3x ＋y −1=0与x ＋2y −7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是 A ．x −3y ＋7=0
B ．x −3y ＋13=0
C ．3x −y ＋7=0
D ．3x −y −5=0
2．已知m 为实数,直线1:10l mx y +-=,()2:3220l m x my -+-=,则“1m =”是“12l l ∥”的 A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x+2y-3=0垂直,则cos(
-2α)的值为
A ．
B ．-
C ．2
D ．-
4．若直线l 1:x+ay+6=0与l 2:(a-2)x+3y+2a =0平行,则两直线间的距离为
A ．2
B ．2
C ．
D ．
5．直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，垂足为()1,c ，则a b c ++= A ．2- B ．4- C ．6-
D ．8-
6．若点1
02
（，）到直线:300l x y m m ++=>（）10，则m =
A ．7
B ．
172
C ．14
D ．17
7．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108
c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是
A ，1
2
B 22
C 1
2
D ．
24
，14 8．设直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y ++=的交点为A ，,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若1
2
AM PQ =，则m 的值为 A ．2 B ．2- C ．3
D ．3-
9．已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为 A ．42,33⎧⎫
-
⎨⎬⎩
⎭
B ．4
2,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
C ．424,,333⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭
10．已知点P (m ,n )到点A (0,4)和B (-8,0)的距离相等,则()m +()n
的最小值为
A ．-3
B ．3
C ．16
D ．4
11．若直线
与直线
互相垂直，则实数
.
12．若直线1:2l y kx k =+-与直线2l 关于直线1y x =-对称，则直线2l 恒过定点________．
13．若直线1:10l ax y -+=与直线2:2210l x y --=的倾斜角相等，则实数a = .
14．已知0a >，0b >，若直线()1210a x y -+-=与直线0x by +=互相垂直，则ab 的最大值是__________． 15．若直线1:20(0)l x y m m -+=>与直线2:30l x ny +-=5，则m n +=_________. 16．设(
)2
,P n n
是函数2
y x
=图象上的动点，当点P 到直线1y x =-的距离最小时，n =_________.
17．一条光线从()3,2A )发出，到x 轴上的M 点后，经x 轴反射通过点()1,6B -，则反射光线所在直线的斜率为
________．
18．已知l 1,l 2是分别经过A (2,1),B (0,2)两点的两条平行直线,当l 1,l 2之间的距离最大时,直线l 1的方程是 . 19．已知直线
与
相交于点
（1）求交点的坐标； （2）设直线，分别求过点且与直线平行和垂直的直线方程.
20．已知直线.
（1）若，求实数的值；
（2）当
时，求直线与之间的距离.
21．已知ABC △的三个顶点为()4,0A 、()8,10B 、()0,6C .
（1）求过点A 且平行于BC 的直线方程； （2）求过点B 且与A 、C 距离相等的直线方程.
22．已知两条直线l 1:ax-by+4=0和l 2:(a-1)x+y-b =0.
（1）若l 1⊥l 2,且l 1过点(-3,-1),求实数a ,b 的值.
（2）是否存在实数a ,b ,使得l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由.
23．已知两条直线l 1:(a-1)x-2y+b =0,l 2:ax+(b-4)y+3=0,其中a >0.若l 1⊥l 2,且l 1过点(1,3).
（1）求l 1,l 2的方程;
（2）若光线沿直线l 1射入,遇到直线x =0后反射,求反射光线所在的直线方程.
24．已知三条直线l1:2x−y+a=0(a>0)，直线l2:4x−2y−1=0和直线l3:x+y−1=0，且l1和l2的距离是
5 10
.
（1）求a的值.
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的1
2
；
③P点到l1的距离与P点到l325
若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
1．【答案】A
【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的
变式拓展
考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212l l k k ⇔=∥；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 2．【答案】2x ＋3y ＝1
【解析】因为P (2,3)在直线l 1和l 2上，所以1122
231231a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点111()，P a b 和222()，P a b 的坐标是方程2x ＋3y
＝1的解，所以经过点111()，P a b 和222()，P a b 的直线方程是2x ＋3y ＝1. 3．【答案】A
【解析】因为12l l ∥,所以12P P 的中点P 的轨迹为直线：155
02
x y +--=，即100x y --=， 因此P =522
A. 4．【答案】（1）()4,3--；（2）4510x y -+=.
【解析】（1）设点()23A ，关于直线l 的对称点为()000,A x y ，则00
003
12
23102
2y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩， 解得004,3x y =-=-，即点()23A ，关于直线l 的对称点为()04,3A --． （2）由于反射光线所在直线经过点()04,3A --和()1,1B ， 所以反射光线所在直线的方程为()4
115
y x -=
-即4510x y -+=. 5．【答案】（1）直线l 过定点()1,3；（2）1x =或333y x =
-+．
（2360︒， 又水平线段4AB =，
所以两平行线间距离为4sin60d =⋅︒= 而直线l
被截线段长为
所以被截线段与平行线所成夹角为30︒，即直线l 与两平行线所成夹角为30︒， 所以直线l 倾斜角为6030︒±︒30=︒或90︒． 由（1），直线l 过定点()1,3，
则所求直线为1x =或33
3y x =
-． 【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直线的位置关系，属于中档题.
（1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于λ 的表达式，令系数与常数分别为0即可求得过定点的坐标. （2）根据平行线间距离公式，求得平行线间距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程.
1．【答案】B
【解析】由310270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得1
4x y =-⎧⎨=⎩
，即交点为(−1,4)．∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂直，∴
所求直线的斜率为1
3.∴由点斜式方程得所求直线方程是y −4=13
(x ＋1)，即x −3y ＋13=0. 2．【答案】A
【名师点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
（2）本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.
考点冲关
3．【答案】B
【解析】由题意可知tan α=2,所以cos(
-2α)=cos(1 008π+-2α)=-sin
2α=-=-=-.
4．【答案】C
【解析】由l 1∥l 2知,≠,解得a =-1,所以l 1:x-y+6=0,l 2:x-y+=0,两条平行直线l 1与l 2间的距离
d =
.故选C.
5．【答案】B
【解析】∵直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，∴2
145
a -⨯=-，∴10a =， ∴直线420ax y +-=即为5210x y +-=．
将点()1,c 的坐标代入上式可得5210c +-=，解得2c =-．
将点()1,2-的坐标代入方程250x y b -+=得()2520b -⨯-+=，解得12b =-． ∴101224a b c ++=--=-． 故选B ．
【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点()1,c 是两直线的交点．根据两直线垂直可得a ，然后将点()1,c 的坐标代入直线
420ax y +-=可得c ，同理可得b ，于是可得a b c ++的值．
6．【答案】B
21
3317210,10,0,22
31
m m m m ⨯+=+
=±>∴=+.故选B.
7．【答案】A
故选A.
【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意a b c ，，之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题. 8．【答案】A
【解析】根据题意画出图形，如图所示：
直线1210l x y -+=：与直线230l mx y ++=：的交点为A ，M 为PQ 的中点， 若1
2
AM PQ =，则PA QA ⊥，即121210l l m ⊥∴⨯+-⨯=，（），解得2m =．
故选A ． 9．【答案】D
【解析】因为三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，所以直线10mx y --=与2310x y -+=，4350x y ++=平行，或者直线10mx y --=过2310x y -+=与4350x y ++=的交点，直线10mx y --=与2310x y -+=，4350x y ++=分别平行时，23m =
，或4
3
-，直线10mx y --=过2310x y -+=与4350x y ++=的交点时，23m =-
，所以实数m 的取值集合为422,,333⎧⎫
--⎨⎬⎩⎭
，故选D.
10．【答案】C
11．【答案】
【解析】由题得，,解得
.故答案为.
12．【答案】()3,0
【解析】
直线1:2l y kx k =+-经过定点()1
2，，点()12，关于直线1y x =-对称的点为()30，，∴点()30，在直线2l 上，即直线2l 恒过定点()30，
，故答案为()30，. 13．【答案】1
【解析】直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合，据此有：1
22
a -=-，求解关于实数a 的方程可得：1a =. 14．【答案】
18
【解析】因为直线()1210a x y -+-=与直线0x by +=互相垂直，所以()1120a b -⨯+=，21a b +=，又
0,0a b >>，所以()2
112122228a b ab a b +⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即11,24a b ==时，等号成立.所以ab 的最大值为1
8
.
【名师点睛】本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等式，属于中档题.本题使用基本不等式时，注意凑项，方便使用基本不等式. 15．【答案】0
【解析】
直线1:20(0)l x y m m -+=>与直线2:30l x ny +-=5
2
5n =-⎧∴=2n =-，2m =（负值舍去），则220m n +=-=.
故答案为0.
【名师点睛】本题主要考查了两条平行直线间的距离公式，理解题目意思，运用公式来求解即可，较为基础. 16．【答案】
1
2
【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．由点到直线的距离公式求得n 的关系式，从而求得距离最小时n 的值． 17．【答案】−2
【解析】如图所示：
作A 点关于x 轴的对称点A '，则点A '在直线MB 上，由对称性可知()32A '-，
， 则光线MB 所在直线的斜率()62213
A B k '--=
=---，故答案为2-.
【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景的问题，实质就是对称问题，求解这类问题一般要转化为求对称点的问题，判断点A '在直线MB 上，是解题的关键. 18．【答案】2x-y-3=0
【解析】由平面几何知识,得当l 1⊥AB 时,l 1,l 2之间的距离最大.∵A (2,1),B (0,2),∴k AB =-,=2.
则直线l 1的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0. 19．【答案】（1）
；（2）
，.
【解析】（1）由
，得
，
.
（2）与平行直线方程，即.
与垂直的直线方程，即
.
20．【答案】（1）；（2）
.
【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意： （1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值； （2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算. 21．【答案】（1）240x y --=；（2）7640x y -+=或32440x y +-=.
【解析】（1）直线BC 的斜率为1
2BC k =
， 过点A 与BC 平行的直线方程为()1
042
y x -=-，即240x y --=.
【名师点睛】本题考查直线的点斜式，考查平行关系的应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力，属于中档题． 22．【答案】（1）a =2,b =2；（2）不存在.
【解析】（1）由已知可得l 2的斜率存在,为k 2=1-a . 若k 2=0,则1-a =0,a =1. ∵l 1⊥l 2,
∴直线l 1的斜率必不存在,即b =0. 又l 1过点(-3,-1), ∴-3a+4=0,即a =(矛盾).
∴此种情况不存在,
∴k2≠0,直线l1的斜率存在,设为k1.
∵k2=1-a,k1=,l1⊥l2,
∴k1k2=-1,即(1-a)=-1.①
又l1过点(-3,-1),
∴-3a+b+4=0.②
由①②联立,解得a=2,b=2.
（2）不存在,理由如下:
∵l2的斜率存在,l1∥l2,
∴直线l1的斜率存在.
又坐标原点到这两条直线的距离相等,
∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=-b,该方程无实数解.
∴不存在满足条件的实数a,b，使得l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 23．【答案】（1）l1,l2的方程分别为l1:x-2y+5=0,l2:2x+y+3=0；（2）x+2y-5=0.
（2）由,解得入射点A(0,).
取直线x-2y+5=0上一点B(-5,0),点B关于直线x=0的对称点B1(5,0)必在反射线上, 所以直线AB1的方程即为所求的反射光线所在的直线方程,
由y-0=(x-5),整理得x+2y-5=0.
即反射光线所在的直线方程为x+2y-5=0.
24．【答案】（1）3；（2）P(137
,
918
).
【解析】（1）l 2的方程即为1
202
x y --
=， ∴l 1和l 2的距离d
75=， ∴17
22
a +
=. ∵a >0, ∴a =3.
【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题.
（1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a 的值.
（2）根据点到直线的距离公式，讨论当P 点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍.。