第8章高斯光束

F2
w
2 0
1
f F1
2
F2 f
1
f F1
2
F2 F1
1
F1 f
2
F2 F1
② l>>F1
w0
(l
F F)2
f
2
w0
l l(l F) f 2 F (l F)2 f 2
例1 某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的(1)q参数 (2)光斑半径w与等相位面曲率半径R
解 (1)
w0
f
z=0.5m
f
w
2 0
3.14 106 3.14 106
1m
q=0.5+i(m)
(2)
w(z) w0
1 z2 f2
w0
1 0.52 12
2 2
RR
F
2
结论 只有 F 1 R(l) ,才有聚焦作用
2
3、高斯光束的聚焦方法
(1) 使用小焦距透镜(F<f)
(2)将透镜置于腰处(l=0)或距腰足够远处(l>>f)
例1 波长为3.14m的高斯光束,腰半径1mm,使用焦
距F=0.1m的透镜对它进行聚焦,分别将腰置于透镜
处、距离透镜２m处,求聚焦后的腰半径及其位置.
解
q=2+i
q Fq 2 i (2 i)( 1 i) 2 i 2i 1 3 i
F q 1 2 i (1 i)( 1 i)
11
2
1.5 0.5i
l =1.5m f =0.5m
§3 高斯光束的聚焦与准直 一、透镜对高斯光束的变换公式
(已知l、f、F,求l 、f )
f
R FR FR
四、高斯光束q参数的传输规律
1、传播L距离
q q L
证 传播L距离的光学变换矩阵
q 1 q L q L 0q 1
T
1 0
L 1
或 q=q(z)=z+if
q=q(z)=z+if
q-q=z-z=L ∴q=q+L
2、通过透镜
q Fq Fq
证 透镜的光学变换矩阵
1 0
T
(l=0) F1 F2
S
(1) l=0
(2) l>>F1
2、准直倍率
w0,f, w0,f,
(1)定义 (2)计算
M w0
w0
①l=0
M F2 F1
② l>>F1 M F2
F1
l F1 F2
S
1
l f
2
w0,f, w0,f,
证
①l=0
w0
(l
F F)2
f
2
w0
w0,f,
w0,f,
第八章 高斯光束 §1 高斯光束的特征参数 一、定义
可以完全确定高斯光束形状与位置的物理量
二、参数类型
１、fz参数
焦参数f (或腰斑半径w0)与腰位置z(观察点坐标)
w0
f
f w02
２、wR参数
观察点z处光斑半径w(z)与等相位面曲率半径R(z)
z2
z2
w(z) w0 1 f 2
(f )
l 2 2Fl f 2 0
2F l
(2)F<f
w 0
w0
１
F f
1
1
f F
2
F
(l F)2 f 2 F 2
4F 2 4 f 2 F
F2 f 2
2
l
结论 ①若F<f,总有聚焦作用
②若F>f,只有l F F2 f 2及 l F F2 f 2 才有聚焦作用
2、l固定,w0随F的变化规律
2 )2
f
2
(l2
f 2l
2
)w0
(l 2 f 2 )2
4l 2
(l2 f 2l l2
2
)w0
f2
w0
2l
②在高斯光束任一处,置一个与该处 等相位面曲率半径相等的反射镜,可 实现自再现变化
F w0 , w0
Z
l ,l
二、高斯光束的聚焦
1、F固定,w0随l的变化规律
w0
F
w0 (l F)2 f 2
ifF
F
q l f
l
l(F l) (F l)2
f2 f2
F
l(l F) (l F)2
f f
2 2
F
f
(l
F2 F)2
f
2
f
f w02
f w02
w0
F (l F)2 f 2 w0
w讨0论=w0,①l 当=l。F 即12 R：(l)透 12镜(l焦fl2距) 时等,于
F
w0
解
f
w02
3.14 106 3.14 106
1m
(1)l=0
1 2
R(l)
使用多大焦距的透镜都可以有聚焦作用
(2)l=２m
1 2
R(l)
l2
f 2l
2
4 1 1.25m 4
使用焦距小于1.25m的透镜可以有聚焦作用
三、高斯光束的扩束准直
1、装置
w0,f, w0,f,
(F1 <<f, F2>>F1; F1+F2=S)
R=R(z) R=R(z)
z
0 z z
L
2、通过透镜 R FR
FR
F:透镜焦距(凸透镜为正)
证 透镜的光学变换矩阵
T
1
1 F
0 1
R
1 1
R
R
0
1
R 1 R
FR F R
F
F
或
Ru
11 1 uv F
R v 1 1 1 R R F
R R
o u v o z
F
1 1 1 FR R R F FR
例3 高斯光束波长为=3.14m,某处的q参数 为q=1+i(m),求(1)此光束腰斑半径w0及腰位置 (2)该处光斑半径w与等相位面曲率半径R
解 (1) z=1m f=1m
w0
f
3.14 106 1 1mm 3.14
腰位置为在该处左方1m处
(2) 1 1 1 i 1 i 1
q 1i 2 2 2
f
R(z) z f 2 z
３、q参数
(1)定义
1 q(z)
1 R(z)
i
w 2 (z)
(2)计算
q(z) z if
证
w(z) ( f z2 )
f
1 W2
f f 2 z2
R(z) z f 2 z
1z R z2 f 2
1 1 i z i f z if q R W 2 z2 f 2 z2 f 2 z2 f 2
l
f4 l2
f
2
f l
l l2 f 2
l2 f 2
f
2
1
l f
(3) F 1 R(l) 1 (l f 2 )时,
2
2l
(4)F
时，
w0 w0
1
w0 1 w0
lim w0 lim
F
w 0 w0
F w0 F (l F )2 f 2
1
l
f
2
lim
1
1
1
F
(l
- F)2 F
f F
(1)F=0时，ww00 0
w0
F
w0 (l F)2 f 2
(2) F R(l) l f 2
l
时,
w0 w0
有极大值
w0 w0
1
l f
2
证
(l F )2 f 2 F 2(l F )
d (w0 w0 ) dF
2 (l F )2 f 2
(l F )2 f 2
0
(l F )2 f 2 F (l F ) 0 (l F )2 f 2
R AR B CR D
q Aq B Cq D
R、q:通过元件前的参数 R、q:通过元件后的参数
三、球面波R参数的传输规律
1、传播L距离 R=R+L
证 传播L距离的光学变换矩阵
T
1 0
L 1
R 1 R L R L 0 R 1
或 R=R(z)=z R=R(z)=z
R-R=z-z=L ∴R=R+L
f 2 4 f 2 1 f
f 0 (舍去)
①
②/①: z 2
②
f
5f2 f
5f2 f 0
f 0.2m
z2f
f (5 f 1) 0
0.22 z2 1 0.2
z2 0.2 0.22 0.16
w0
f
3.14106 0.2 0.447mm 3.14
腰位置在该处左方0.4m
z 0.4m
w0
物光束在透镜处等相面半径之半
Z
时，物、像光束实现自再现变化
证
l
l(l F) (l F)2
f f
2 2
F
l(l l 2 f 2 ) 2l
(l l 2 f 2 )2
f f
2 2
l l (l2 f 2 )
2l
2l
l(l2 f 2 ) 2l
(l2
f
2
)2
2l
f f
2 2
l2 (
f 2l
q=l+if q=-l+if
q Fq Fq
q、q:透镜处物、像高斯光束q参数
l、l :物、像高斯光束腰到透镜距离
f、f :物像高斯光束焦参数
q q
f(w0)
O
f(w0) Z
O
l F l
例1 某高斯光束焦参数为f=1m,将焦距F=1m 的凸透镜置於其腰右方l=2m处,求经透镜变换 后的像光束的焦参数f及其腰距透镜的距离l
1 1 R2
R 2m
W 2
1 2
W 2 2 3.14106 1.414mm
3.14
§2 高斯光束的传输规律
一、球面波的R参数 R(z)=z
R(z):等相位面曲率半径(凸向z轴为正)
R(z) z
0
z
二、ABCD定律
若某元件的光学变换矩阵为
A C
B D
，则通过
此元件前、后的球面波R参数和高斯光束q参 数满足关系
1.12mm
R(z) z f 2 0.5 12 2.5m
z
0.5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位
面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参
数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为=3.14m)
解 (1)
1 q
1 R
i w2
1 0.5
i
3.14 106 3.14 (103)2
解
f
w02
3.14 106 3.14 106
1m
(1)l=0 q i
q Fq 0.1i 0.1i(0.1 i) 0.099 0.0099i F q 0.1 i (0.1 i)(0.1 i)
l 0.099m
w0
f
3.14 106 0.0099 0.0995mm 3.14
(l F)2 f 2 F(l F) 0
l 2 2lF F 2 f 2 lF F 2 0
l 2 f 2 lF
F l f2 l
将F l f 2 l2 f 2
l
l
代入 w0
w0
F (l F)2 f 2
w0 w0
l2 f 2
l
(l
l2
f
2
)2
f
2
l
l2 f 2
l2 f 2
q z2 f 2 (z2 f 2 )(z if ) z if z if (z if )(z if )
讨论 腰处的q参数 q0=q(0)=if
w(z)
(f
z2 )
f
R(z) z f 2 z
fz参数
q(z) z if
WR参数
q参数
1 q(z)
1 R(z)
i
w 2 (z)
2i
q 1 2 i 2 i 0.4 0.2i(m) 2i 41 5
(2)
w(z) w0
1
z2 f2
( f z2 )
f
R(z) z f 2 z
z f 2 0.5 z
f z2 1 f
z2 f 2 0.5 ① z
f 2 z2 1 ②
f
z2 f 2 0.5 z
f 2 z2 1 f
2
)
l2 f 2 l2 f 2
2 2l (l 2 f 2 )2 4l 2 f
4l 2
2
(l 2 f 2 )2
4l (l 2 f 2 )2
l
4l 2
w0
(l
F F)2
f
2
w0
(l2
f 2l
2
)w0
[l (l 2 f 2 )]2 f 2 2l
(l
2
2l
f
2
)w0
(l 2
f 4l 2
(l
F2 F)2
f
2
f
w0
F (l F)2
f2
w0
l
l(l F) (l F)2
f f
2 2
F
证 q=l+if
q F(l if) (F l) if
(l if)[(F l) if] [(F l) if][(F l)
if]
F
[l(F l) f 2 ] (F l)2 f 2
1 F
1
q
1 1
q q
0 1
q 1 q
Fq F q
F
F
或
1 1 i q R w 2
1 q
1 R
i
w2
q q w w
Z
R FR FR
1 1 1 R R F
w w
R R F
பைடு நூலகம்
1 1 1 1 1 q q R R F
1 1 1 F q q Fq
q q F Fq
Fq
五、透镜对高斯光束的变换规律
(1)l=2 q 2 i
q Fq 0.1(2 i) 0.1(2 i)(-1.9 i) 0.104 0.00217i F q 0.1 2 i (-1.9 i)(-1.9 i)
l 0.104m
w0
f
3.14 106 0.00217 0.0466mm 3.14
例２波长为3.14m的高斯光束,腰半径1mm,分别将 一个透镜置于腰处、距离腰２m处,问使用多大焦 距的透镜便可对它有聚焦作用？
l=0时,
w0 F 1
w0
F2 f 2
1
f F
2
(1)F>f
w 0 w0
F
f
1
1
1
f F
2
F
F F2 f 2 F F2 f 2
l=F时,
w0 w0
有极大值
w0 w0
F f
l时，ww00 0
l F 或 F2 f 2
l F
F2 f 2
时,
w0 1 w0
l
证 令 w0
F
1
w0 (l F )2 f 2