冲刺2020高考数学(文)之少丢分题目强化卷(新课标版)

__________ 姓名：__________ 班级：__________
评卷人 得分
一、选择题
1．已知i 为虚数单位，则复数133i
i -+的虚部是（ ） A ．－1
B ．1
C ．i
D ． i -
2．若函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，且()2,()0,f f αβαβ==-的最小值是
2
π
，则()f x 的单调递增区间是（ ） A. 5[2,2]()66
k k k z ππ
ππ-+∈ B. 2[2,2]()33
k k k z ππ
ππ-+∈ C. [,]()36
k k k z π
π
ππ-
+∈ D. 5[,]()1212
k k k z ππ
ππ-
+∈ 3．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则r =
（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4．已知函数()tan 2f x x =，则下列说法不正确的是（ ） A. ()y f x =的最小正周期是π B. ()y f x =在ππ
(,)44
-
上单调递增 C. ()y f x =是奇函数
D. ()y f x =的对称中心是
π
(
,0)()4k k ∈Z 评卷人 得分
二、填空题
5．已知直线l :y =k (x -2)与抛物线C :y 2=8x 交于A ,B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|AF |=3|BF |，则直线l 的倾斜角为_________。

6．已知(0,)2
π
α∈，若2sin 2sin αα=，则=αtan _____.
三、解答题
7．已知函数()2
ln (f x x ax bx =++其中a ，b 为常数且0)a ≠在1x =处取得极值．
(1)当1a =时，求()
f x 的单调区间；
(2)若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值．
8．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 2sin x t y t α
α=-+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），其中
2
k π
απ≠+
，k Z ∈.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极
坐标方程为2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，点(1,2)P -，求2
2
PA PB +的取值范围. 9．已知函数()|2|f x x a a =-+.
（1）当a=2时，求不等式()6
f x ≤的
解集；
（2）设函数()|21|g x x =-.当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 10．已知圆C 的圆心坐标()2,0且与线y=3x+4相切， （1）求圆C 的方程；
（2）设直线y x m =-+与圆C 交于M ，N 两点，那么以MN 为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN 的方程；若不能，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A 2．B 解析：B 【解析】
【分析】
由条件求得ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f （x ）的单调递增区间．
【详解】()cos f x x x ωω=+2sin 6x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
， 因为()2f α=，k 1-
，所以αβ-的最小值为42
T π=， 所以T=2π，1ω=， 令222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，k Z ∈，解得22233
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k Z ∈， 所以()f x 的单调增区间为2[2,2]()33
k k k z ππ
ππ-+∈ 故选B.
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，解答本题的关键是求得ω，属于基础题．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和
1
4
圆锥组成的几何体，利用几何体的体积求出r 的值.
【详解】通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和1
4
圆锥组成的几何体，设组合体的体积为V , 所以21111
943342448,24332
V r r r r r r ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⇒+=，故本题选B.
【点睛】本题考查了通过三视图识别组合体的形状，并根据体积求参数问题，考查了数学运算能力.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
对()tan 2f x x =进行研究，求出其最小正周期，单调区间，奇偶性和对称中心，从而得到答案.
【详解】()tan 2f x x =，最小正周期为2
T π
=
；
单调增区间为22
2
k x k π
π
ππ-
<<+
，即2424k k x
x ππ
ππ⎧⎫-<<+⎨⎬⎩
⎭，故0k =时，()f x 在,44ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增；
()f x 定义域关于原点对称，()()()tan 2tan 2f x x x f x -=-=-=-，故()f x 为奇函
数；
()f x 对称中心横坐标为22k x π=
，即4k x π=，所以对称中心为,04k π⎛⎫
⎪⎝⎭
()k ∈Z 【点睛】本题考查了正切型函数的最小正周期，单调区间，奇偶性和对称中心，属于简单题.
二、填空题
5．或 【解析】
设交点，由于直线过焦点，所以将代入并整理可得，则，又由抛物线的定义可得，故由题设可得代入可得，解之得或（舍去），故时，，代入可得，所以直线的倾斜角是或，应填答案或。

点睛：解答本题的关
解析：
3π
或23
π 【解析】
设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由于直线:(2)l y k x =-过焦点(2,0)F ，所以将(2)
y k x =-代入28y x =并整理可得2222
(48)40k x k x k -++=，则12122
8
4,4x x x x k +=+
=，又由抛物线的定义可得122,2AF x BF x =+=+，故由题设可得1234x x =+代入124x x =可
得2
223440x x +-=，解之得223x =
或22x =-（舍去），故22
3
x =时，16x =，代入
122
84x x k +=+
可得2
3tan k k α=⇒==，所以直线的倾斜角是3πα=或23
πα=
，应填答案3π
或23π。

点睛：解答本题的关键是求出直线的斜率，再借助斜率与倾斜角之间的关系求出倾斜角。

求解时先将直线与抛物线联立，借助题设条件探求交点坐标之间的关系，通过建立方程求出交点坐标及直线的斜率，从而使得问题获解。

6．【解析】
【分析】
利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简后即得. 【详解】因为，故， 因，故，故即.
【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构 解析：2
【解析】 【分析】
利用倍角公式和同角的
三角函数的基本关系式化简后即得tan 2α=. 【详解】因为2sin 2sin αα=，故22sin cos sin ααα=，
因(0,)2π
α∈，故sin cos 0αα≠，故2sin 2sin cos α
αα
=即tan 2α=.
【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．
三、解答题
7．（1）见解析；（2）1
2
a e =-或2a =- 【解析】 【分析】
()1由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据1x =是()f x 的一个极值点
()'10f =，可构造关于a ，b 的方程，根据1a =求出b 值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x 的范围，可得函数()f x 的单调区间；()2对函数求导，
写出函数的导函数等于0的x 的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，求出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a 的方程求得结果．
【详解】() 1因为()2
ln f x x ax bx =++所以()1
'2f x ax b x
=
++， 因为函数()2
ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值，
()'1120f a b =++=，
当1a =时，3b =-，()2231
'x x f x x
-+=，
()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递增区间为0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
()2因为()(
)()
211'ax x f x x --=
令'0f x
，11x =，21
2x a
=
因为()f x 在 1x =处取得极值，所以211
12x x a
=≠=， 当
1
02a
<时，()f x 在()0,1上单调递增，在(]1,e 上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为()1f ， 令()11f =，解得2a =- 当0a >，21
02x a
=
> 当112a <时，()f x 在10,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，()1,e 上单调递增 所以最大值1可能在1
2x a
=或x e =处取得 而()2111111ln ()21ln 0222224f a a a a a a a a ⎛⎫=+-+=-<
⎪
⎝⎭
所以()()2
ln 211f e e ae a e =+-+=，解得1
2
a e =- 当112e a ≤<时，()f x 在区间()0,1上单调递增，11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，1,2e a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
所以最大值1可能在1x =或x e =处取得 而()()1ln1210f a a =+-+<，
所以()()2
ln 211f e e ae a e =+-+=，
解得1
2
a e =-，与2112x e a <=<矛盾. 当21
2x e a
=
≥时，()f x 在区间()0,1上单调递增，在()1,e 单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而()()1ln1210f a a =+-+<，矛盾。

综上所述，1
2
a e =
-或 2.a =- 【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定a ，b 值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键.属于中档题． 8．（1）曲线1C 的普通方程(1)tan 2y x α=++，其中2
k π
απ≠+，k Z ∈；
曲线2C 的直角坐标方程2
2
(1)(2)1x y -+-=. （2）(6,10] 【解析】 【分析】
（1）根据参数方程与普通方程的互化，可得曲线1C 的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得曲线2C 的直角坐标方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线2C ，利用韦达定理和参数t 的几何意义，即可求解，得到答案.
【详解】（1）曲线1C 的普通方程()1tan 2y x α=++，其中2
k π
απ≠+，k Z ∈；
曲线2C 的直角坐标方程()()2
2
121x y -+-=.
（2）将1,2x tcos y tsin αα
=-+⎧⎨=+⎩代入()()22
121x y -+-=，
化简得24cos 30t t α-+=，因为0∆>，所以2
3cos 4
α>
. 设,A B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则有124cos t t α+=，1230t t =>，
()2
2
2
||2PA PB PA PB PA PB +=+- ()
2
12
122t t t t =+-
()(]2
21212216cos 66,10t t t t α=+-=-∈，
所以2
2
||PA PB +的取值范围是(]
6,10.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及合理利用直线参数方程参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运
算能力属于基础题.
9．（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞． 【解析】
试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由
()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于 |1|3a a -+≥，解之得2a ≥.
试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为.
（2）当x R ∈时，
()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，
当1
2
x =
时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ①
当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 考点：不等式选讲.
10．（1）（x -2）2
+y 2
=10（2）y =-x 7或y =-x 7 【解析】 【分析】
（1）由直线与圆相切得，圆心到直线的距离即为半径，从而得解；
（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），进而通过直线与圆联立得到2x 2-（4+2m ）x +m 2-6=0，由韦达定理可得MN 中点H 的坐标为（22m +，2
2
m -），假设以MN 为直径的圆经过原点，则有|OH |=
1
2
|MN |，进而由垂径定理及坐标表示距离列方程求解即可. 【详解】（1）根据题意，2
2
641031
r d +==
=+
所以圆的标准方程为：（x -2）2
+y 2
=10；
（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是直线y =-x +m 与圆C 的交点， 联立y =-x +m 与（x -2）2+y 2=10可得：2x 2-（4+2m ）x +m 2-6=0，
则有x 1+x 2=m +2，x 1•x 2=26
2
m -，
则MN中点H的坐标为（
2
2
m+
，
2
2
m-
），
假设以MN为直径的圆经过原点，则有|OH|=1
2
|MN|，
圆心C到MN的距离d，
则有|MN
又由|OH|=1
2
|MN|，
则有（
2
2
m+
）2+（
2
2
m-
）2=10-
2
(2)
2
m-
，
解可得m
经检验，m时，直线与圆相交，符合题意；
故直线MN的方程为：y=-x y=-x
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.。