2021-2022学年四川省成都市外国语中学高三数学文期末试题含解析

2021-2022学年四川省成都市外国语中学高三数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知是所在平面内一点，为边中点，且，则( ) A．B．C．D．
参考答案：
B
略
2. 已知角A是△ABC的一个内角，且tan=，则△ABC的形状是（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．无法判断△ABC的形状
参考答案：
C
【分析】利用倍角公式得到tanA===﹣4＜0．由此推知三角形ABC的形状．【解答】解：∵，
∴tanA===﹣4＜0．
又角A是△ABC的一个内角，
∴90°＜A＜180°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选：C．
3. 在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】几何概型．
【分析】由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．
【解答】解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2，
由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为6，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}这个事件的测度为3，
故区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为，
故选：D．
4. 已知复数，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
参考答案：
A
5. 若双曲线的渐近线与抛物线相切，则此双曲线的离心率等于
A．B．C．
D．
参考答案：
B
6. 已知一组抛物线，其中为2、4、6、8中任取的一个数，为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
答案：B
解析：选B．这一组抛物线共条，从中任意抽取两条，共有种不同的方法．它们在与直线交点处的切线的斜率．若，有两种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有四种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有两种情形，从中取出两条，有种取法．由分类计数
原理知任取两条切线平行的情形共有种，故所求概率为．本题是把关题．
7. 数列的前项和，则当时，有( )
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
D
8. 已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填
（）
A．a＞3？B．a≥3？C．a≤3？D．a＜3？
参考答案：C
【考点】程序框图．
【专题】图表型；算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量b的值，并输出，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
【解答】解：a=1时进入循环，此时b=21=2，a=2时，
再进入循环此时b=22=4，a=3，
再进入循环此时b=24=16，
∴a=4时应跳出循环，
∴循环满足的条件为a≤3？
∴故选：C．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．9. 已知全集U={1，2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，3}，则集合（?U N）∩M=（）
A．{2} B．{1，3} C．{2，5} D．{4，5}
参考答案：
D
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出N的补集，然后求解交集即可．
【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，N={2，3}，则集合?U N={1，4，5}，M={3，4，5}，
集合（?U N）∩M={4，5}．
故选：D．
10. 已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m 的取值范围是( )
A．B．C．D．
参考答案：
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列命题：
①已知ξ服从正态分布N （0，δ2
），且P （﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P （ξ＞2）=0.3；
②函数f （x ﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f （2）＞f （log 2）＞f[（）2]
③已知直线l 1：ax+3y ﹣1=0，l 2：x+by+1=0，则l 1⊥l 2的充要条件是=﹣3， 其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上）．
参考答案：
①②
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据随机变量ξ服从标准正态分布N （0，σ2），得到正态曲线关于ξ=0对称，利用P （﹣2＜ξ≤2）=0.4，即可求出P （ξ＞2）．
②确定函数f （x ）图象关于x=﹣1对称，在（﹣1，+∞）上单调递增，即可得出结论； ③已知直线l 1：ax+3y ﹣1=0，l 2：x+by+1=0，则l 1⊥l 2的充要条件是a+3b=0．
【解答】解：①∵随机变量ξ服从正态分布N （0，σ2
），∴正态曲线关于ξ=0对称，
∵P（﹣2＜ξ≤2）=0.4，∴P（ξ＞2）=（1﹣0.4）=0.3．正确；
②∵函数f （x ﹣1）是偶函数，∴f（﹣x ﹣1）=f （x ﹣1），∴函数f （x ）图象关于x=﹣1对称，∵函数f （x ﹣1）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增， ∵f（log 2）=f （﹣3）=f （1），（）2＜1＜2，∴f（2
）＞f （log 2）＞f[（）2]，正
确；
③已知直线l 1：ax+3y ﹣1=0，l 2：x+by+1=0，则l 1⊥l 2的充要条件是a+3b=0，故不正确． 故答案为：①②．
12.
已知(1 - 2x )n 的展开式的二项式系数和为64, 则它的展开式的中间项是 . 参考答案：
答案：- 160x 3
13. 经过圆上一点的切线方程为．类比上述性质，可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点
的切线方程
为
． 参考答案：
14. 过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P 、Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 面积的最
大值是 ．
参考答案：
12
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由题意，S △ABF =S △OBF +S △AOF ，从而可知当直线与y 轴重合时，面积最大．
解答： 解：
，a=5，b=4，c=3，
如图，S △ABF =S △OBF +S △AOF ，
则当直线与y 轴重合时，面积最大，
故最大面积为×3×8=12．
故答案为：12．
点评：本题考查了椭圆的图形特征即面积的等量转化，属于基础题．
15. 若不等式
对任意的
恒成立，则实数的取值范围为__________．
参考答案：
（0,2）
16. 抛物线
的焦点到准线的距离为 .
参考答案：
17. 已知是实数，是虚数单位，若
是纯虚数，则
．
参考答案：
1
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）讨论
的单调区间；
（2）若
，求证：当
时，
.
参考答案：
（1）【考查意图】本小题以含指数函数的初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.
【解法综述】只要掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则、导数与函数单调性的关系和含参数一元二次不等式的解法，便可解决问题. 思路：求得
，对
的符号进行讨论.先讨论
的情况，再对的情况结合的图象和判别式进一步分成三种情况进行讨论，即可求解.
【错因分析】考生可能存在的错误有：求导函数出错；求根计算错误或两根大小关系判断错误；分类讨论错误或不完整. 【难度属性】中.
（2）【考查意图】本小题以不等式证明为载体，考查利用导数研究函数的极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力和创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思
想、分类与整合思想、特殊与一般思想等.
【解法综述】只要掌握利用导数研究函数性质的基本思路，具备较强的运算求解能力、推理论证能力和一定的创新意识，并能灵活运用数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想等，便可解决问题.
思路一：将的取值分成
，
两部分进行讨论，对于
的情形可直接
根据（1）的结论进行证明：对于的情形，将所证不等式转化为证明的最大值
小于零，再利用
得到，进而得
到，通过分析法转化为证明函数
在恒
小于零.
思路二：通过变换主元将
改写成关于的函数，将求证不等式
转化为证明，再利用分析法进一步转化为证明
，然
后构造
，证明
的最小值大于零即可.
思路三：同思路一得到，通过分析法转化为求证函数
在
恒大于1.
思路四：同思路一得到，通过分析法转化为求证函数
在恒小于零.
【错因分析】考生可能存在的错误有：不会对参数的取值进行合理分类；不会通过消元将函数最值转化为仅关于极值点的表达式；不能变换主元对问题进行合理转化；不会根据题意构造恰当的函数.【难度属性】难.
19. （本小题满分12分）
如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC，AB=BC=PC=1，D是PB上一点，且CD平面PAB，点E为PA的中点。

（1）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（2）求二面角C-BE-A 的大小。

参考答案：
解法一：（1） PC平面ABC，AB平面ABC，PC AB，
CD平面PAB，AB平面PAB，
CD AB。

又，
AB 平面PCB 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF、FC，
则为异面直线PA与BC所成的角。

由（1）可得AB BC，CF AF，
由三垂线定理，得PF AF，则AF=CF=1，PF=。

在Rt中，，
异面直线PA与BC所成的角为…………………………… 8分（2）在中过点C作CG⊥BE，垂足为G，连结FA，，，为二面角C-BE-A的平面角，在中BC=1，CE=BE=，由面积相等得
CG=，同理AG=，在中，由余弦定理得，，所以二面角C-BE-A为。

解法二：（1）同解法一………………………………………………………4分
（2）由（1）AB 平面PCB ，PC=1，AC=，以B为原点，如图建立空间直角坐标系，则A（0，1，0），B（0，0，0）， C（1，0，0），P（1，0，1）
=（1，-1，1），=（1，0，0），则=1
异面直线AP与BC所成的角为8分
（3）设平面PAB的法向量为m=（x，y，z）=（0，-1，0），=（1，-1，1）
则，可取m=（-1，0，1），设平面CBE的法向量为n=（x，y，z）=（1，0，0），=（，，），则，
可取n=（0，-1，1） Cos<m,n>=
二面角C-BE-A大小为……………………………..12分
略
20. 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若，且.
（Ⅰ）求及a的值；
（Ⅱ）求的值.
参考答案：
（Ⅰ）,;（Ⅱ）
.
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理可得，再利用二倍角的正弦公式可得，从而根据余弦定理
可得；（2）利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式求得的值，再由两角和的余弦公式可得结果.
【详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理，
得，
，，即，
解得,
在中，由余弦定理，
得，解得或．
，．
（Ⅱ），
，
，
.
【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
21. 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：
，．
其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．
若对于任意的，总有，则称集合具有性质．
（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；
（II）对任何具有性质的集合，证明：；
（III）判断和的大小关系，并证明你的结论．
参考答案：
解析：（I）集合不具有性质．
集合具有性质，其相应的集合和是，
．
（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．
因为，所以；
又因为当时，时，，所以当时，
．
从而，集合中元素的个数最多为，
即．
（III）解：，证明如下：
（1）对于，根据定义，，，且，从而．
如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而
与中也不至少有一个不成立，
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
由（1）（2）可知，．
22. （2016?晋城二模）已知函数f（x）=blnx．
（1）当b=1时，求G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间[，e]上的最值；
（2）若存在一点x0∈[1，e]，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求实数b的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）把b=1代入函数解析式，求出函数G（x）的导函数，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数的符号得到原函数在各区间段内的单调性，从而求得函数在区间[，e]上的最值；
（2）构造函数，求导后对1+b≤0和b+1＞0分段讨论，然后进一步对b分段分析得答案．
【解答】解：（1）当b=1时，G（x）=x2﹣x﹣f（x）=x2﹣x﹣lnx（x＞0），
，令G'（x）=0，得x=1，
列表如下：
∵，
∴G（x）在区间上；
（2）若在[1，e]上存在一点x0，使得成立，
即在[1，e]上存在一点x0，使得成立，
设，
又，
①当1+b≤0，即b≤﹣1时，在x∈（0，+∞）上h'（x）＞0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当b+1＞0，即b＞﹣1时，在x∈（0，1+b）上h'（x）＜0，在x∈（1+b，+∞）上，h'（x）＞0，
∴h（x）在（0，1+b）上单调递减，在（1+b，+∞）上单调递增；
综上所述：当b＞﹣1时，h（x）的递减区间为（0，1+b）；递增区间为（1+b，+∞）；
当b≤﹣1时，h（x）只有递增区间为（0，+∞）．
∴要使得在[1，e]上存在一点x0，使得成立，
则只需要函数在[1，e]上的最小值小于零．
①当1+b≥e，即b≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，
故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由，可得，
∵，∴；
②当1+b≤1，即b≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，
故h（x）在[1，e]上最小值为h （1），由h （1）=1+1+b＜0，
可得b ＜﹣2（满足b≤0）；
③当1＜1+b＜e ，即0＜b ＜e ﹣1时，h （x ）在[1，1+b]上单调递减，在（1+b ，e]上单调递增，
∴h（x）在[1，e]上最小值为h（1+b）=2+b﹣bln（1+b），
∵0＜ln（1+b）＜1，∴0＜bln（1+b）＜b，
∴2+b﹣bln（1+b）＞2，即h（1+b）＞2，不满足题意，舍去．
综上b＜﹣2或b＞，
∴实数b的取值范围为．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查分类讨论、数学转化等基本数学思想方法，考查计算能力，是压轴题．。