2022年新教材高一寒假数学知识复习与巩固精练9 必修一测试一 含答案

2
5
5
又因为α 是第三象限角，∴ cosα =− 1− sin2 α =− 2 6 ， 5
∴ f (α )
sin(α − π ) cos(3π + α ) tan(π −α ) = 2 2
(− cosα ) ⋅sinα ⋅ (− tanα )
tan(−π −α ) sin(−π −α )
− tanα ⋅sinα
∴在区间[a,3a] 上有 f (= x)max f= (3a) loga (3a + 2) ， f (x= )min f= (a) loga (a + 2) ，
∴ f (x)max − f (x= )min loga (3a + 2) − loga (a += 2) 1，解得 a = 2 ， a = −1 （舍去）．
+a +1
ห้องสมุดไป่ตู้是奇函数．
（1）求实数 a 的值；
（2）判断并用定义证明该函数在定义域 R 上的单调性； （3）若方程 f (4x − b）+ f (−2x+1) =0 在 (−3, log2 3) 内有解，求实数 b 的取值范围． 【答案】（1） a = 1；（2）减函数，证明见解析；（3） b ∈[−1, 3) ．
任取 x1, x2 ∈ (0, +∞) ，且 x1 < x2 ，
则
f (x1) −
f (x2 ) =
2x1 −
3 x1
− (2x2 −
3)= x2
(x1 − x2 )(2 +
3 x1x2 ) ，
∵0<
x1
<
x2 ，∴ (x1
− x2 )(2 +
3 )< x1x2
0 ，∴
f
( x1 )
<
f
(x2 ) ，
A． 3
B． 9
C． ( 3, 0)
D． (9, 0)
8．若函数= f (x) loga (x + 2) (a > 1) 在区间[a,3a] 上的最大值比最小值大1，则 a 的值为
（）
A． −1
B． 2
C． 3
2
D．
3
二、填空题
9．已知 f (x +1) = x2 − 2x ，则 f (3) = _______．
（1）求抛物线函数解析式； （2）求抛物线的顶点坐标．
12．已知 a > 0 ， b > 0 ，且 ab = ba ， b = 9a ，求 a 的值．
13．已知 f (x=) 3 sin 2x + cos2 x − 1 ， x ∈ R ．
2
2
（1）求函数
f
(x)
的最小正周期及在区间
0,
π 2
上的最大值；
≤
7π 6
，∴ sin(2x
+
π 6
)
∈[−
1 2
,1]
，
所以
f
(x)
在区间
0,
π 2
的最大值是1．
（2）∵= f (x)
sin(2x
+
π)， 6
f
(x0 )
=
1 3
，∴ sin(2x0
+
π) 6
= 1 ， 3
又
x0
∈
π 6
,
5π 12
，所以
2 x0
+
π 6
∈[
π 2
,
π]
，所以 cos(2x0
（2） f (x) 在 R 上是减函数，证明如下：
22
2
（1）求函数 f (x) 的图像的对称轴方程；
（2）求函数 f (x) 在区间[−π, 0] 上的最大值和最小值以及相应的 x 值．
【答案】 x =kπ + π (k ∈ Z) ；（2）当 x = − 2π 时，函数的最小值为 − 1 ；
3
3
2
当 x = 0 时，函数的最大值为1．
【解析】（1）函数 f (x)= 3 sin x cos x − sin2= x +1 3 sin x − 1− cos x +1
+
π) 6
= − 2
2 3
，
所以 sin = 2x0
sin(2x0
+
π 6
−= π ) 6
sin(2x0
+
π 6
)
cos
π 6
−
cos(2x0
+
π 6
)
sin
π 6
= 1 × 3 − (− 2 2 )× 1 = 3 + 2 2 ．
32
32
6
寒假精练 1
必修第一册测试二
典题温故
1．已知函数 f (x)= 3 sin x cos x − sin2 x +1．
【解析】（1）依题意得= f (0) −= 1+ a 0 ，故 a = 1，此时 f (x) = −2x +1 ，
2
2x +1
对任意 x ∈ R
均有
f
(−x)
=−22−−xx++11
=−1+ 2x 1+ 2x
=− f
(x) ，
∴ f (x) = −2x + a 是奇函数，∴ a = 1． 2x +1
（2）若
f
(x0 )
=
1 3
，
x0
∈
π 6
,
5π 12
，求 sin
2 x0
的值．
【答案与解析】
一、选择题 1．【答案】C
【解析】由 x2 + 3x −10 ≤ 0 ，得 −5 ≤ x ≤ 2 ，故 A = {0,1, 2} ， ∴集合 A 中元素的个数为 3 ．
2．【答案】D
【解析】设 a = 1， b = −2 ，则有 a > b ，但 a2 < b2 ，故 a > b 不能推出 a2 > b2 ；
2．设 a,b 是实数，则“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．某电视新产品投放市场后第一个月销售100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销售台数 y 与投放市场的
x−2
x−2
x−2
∵ x > 2 ，∴ x − 2 > 0 ，∴ y = (x − 2) + 4 ≥ 2 (x − 2) × 4 = 2 4 = 4 ，
x−2
x−2
当且仅当 x − 2 = 4 ，即 x = 4 时取等号，故最小值为 4 ． x−2
7．【答案】B
【解析】令幂函数 f (x) = xα ，
= − cosα = 2 6 ． 5
三、简答题
11．【答案】（1） y = x2 − 2x − 3 ；（2） (1, −4) ． 【解析】（1）∵抛物线 y = x2 + bx + c 的图象经过点 (−1, 0) ，点 (3, 0) ，
∴抛物线的解析式为 y =(x +1)(x − 3) ，即所求函数的解析式为 y = x2 − 2x − 3 ．
设 a = −2 ， b = 1显然 a2 > b2 ，但 a < b ，即 a2 > b2 不能推出 a > b ．
故“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的既不充分也不必要条件．
3．【答案】C 【解析】根据函数模型的增长差异和题目中的数据，代入选项计算分析可知， 最贴合的模型应为指数型函数模型． 4．【答案】A
A． (− 1 ,1]
2
B．[− 1 ,1]
2
C．
(−∞,
−
1 2
)
[1,
+∞)
D．
(−∞,
−
1 2
]
[1,
+∞)
6．已知 x > 2 ，则函数 y = x2 − 4x + 8 的最小值是（ ） x−2
A． 5
B． 4
C． 9
D． 6
7．若幂函数 f (x) 的图象过点 (2, 2) ，则函数 g= (x) f (x) − 3 的零点是（ ）
故 f (x) 在 (0, +∞) 上是增函数． （3）∵ 0 < log2 7 < 3 < π ，∴ f (π) > f (log2 7) ．
经典集训
一、选择题
1．已知集合 A = {x ∈ N | x2 + 3x −10 ≤ 0} ，则集合 A 中元素的个数为（ ）
A． 5
B． 4
C． 3
D． 2
第 x 月之间关系的是（ ）
A． y = 100x
B． y = 50x2 − 50x +100
C． =y 50 × 2x
= D． y 100 log2 x +100
4．若=a 3 (3 − π)3 ，=b 4 (2 − π)4 ，则 a + b =（ ）
A．1
B． 5
C． −1
D． 2π − 5
5．不等式 x −1 ≤ 0 的解集为（ ） 2x +1
二、填空题 9．【答案】0
【解析】设 x +1 =t ，则 x= t −1， ∴ f (t) = (t −1)2 − 2(t −1) = t2 − 4t + 3 ，∴ f (3) = 9 −12 + 3 = 0 ．
26
10．【答案】
5
【解析】因为 cos(α − 3π ) = − sinα = 1 ，所以 sinα = − 1 ，
22
2
2
2
= sin(x + π ) + 1 ， 62
令 x + π = kπ + π (k ∈ Z) ，整理得 x =kπ + π (k ∈ Z) ，
6
2
3
所以函数图象的对称轴方程为 x =kπ + π (k ∈ Z) ． 3
（2）由（1）得 f (x)= sin(x + π ) + 1 ， 62
（3） f (π) > f (log2 7) ．
【解析】（1） f (x=)
2
x
−
3 x
的定义域为
(−∞,
0)
(0,
+∞)
，
∵ f (−x) =2(−x) − 3 =−(2x − 3) =− f (x) ，∴ f (x) 为奇函数．
−x
x
（2）函数 f (x) 在 (0, +∞) 上是增函数，证明如下：
寒假精练 1
必修第一册测试一
典题温故
1．若集合=A {x | x2 − 2x − 8 < 0} ，=B {x | x2 − 2mx + m2 − 4 ≤ 0}．
（1）若 m = 3 ，全集U = R ，求 A U B ； （2）若 A B = B ，求实数 m 的取值范围． 【答案】（1）{x | −2 < x < 1}；（2） 0 < m < 2 ．
13．【答案】（1）最小正周期为 π ，1；（2）
3+2 2
．
6
【解析】= f (x) 3 sin 2x + 1+ cos 2= x − 1 3 sin 2x + 1 c= os 2x sin(2x + π ) ，
2
2
22
2
6
∴函数的最小正周期T = π ．
当
x
∈
0,
π 2
时，
π 6
≤
2x
+
π 6
（2）抛物线的解析式为 y = x2 − 2x − 3 = (x −1)2 − 4 ，
∴抛物线的顶点坐标为 (1, −4) ．
12．【答案】 4 3
【解析】∵ a > 0 ， b > 0 ， ab = ba ，
1
1
a
1
8
1
∴ (ab )b = (ba )b ⇒ a = bb ⇒ a = (9a)9 ，∴ a9 = 99 ⇒ a8 = 32 ⇒ a = 4 3 ．
由于 x ∈[−π, 0] ，所以 − 5π ≤ x + π ≤ π ，则 −1 ≤ sin(x + π ) ≤ 1 ，所以 − 1 ≤ f (x) ≤ 1，
6
66
62
2
当 x = − 2π 时，函数的最小值为 − 1 ；当 x = 0 时，函数的最大值为1．
3
2
2．已知定义域为
R
的函数
f
(x)
=
−2x 2x
，则
B
⊆
A
，∴
m m
− +
2 2
> <
−2 4
，解得
0
<
m
<
2
．
2．已知 f (x=) 2x − 3 ． x
（1）求函数的定义域，并证明 f (x) 为奇函数；
（2）判断函数 f (x) 在 (0, +∞) 上的单调性并用定义证明；
（3）试比较 f (π) 与 f (log2 7) 的大小关系．
【答案】（1） (−∞, 0) (0, +∞) ，奇函数，证明见解析；（2）增函数，证明见解析；
【解析】因为 a =3 (3 − π)3 =3 − π ， b =4 (2 − π)4 =π − 2 ，所以 a + b =1．
5．【答案】A
【解析】
x −1 2x +1
≤
0
⇒
(x −1)(2x 2x +1 ≠ 0
+ 1)
≤
0
⇒
−
1 2
<
x
≤
1．
6．【答案】B
【解析】 y = x2 − 4x + 8 = (x − 2)2 + 4 = (x − 2) + 4 ，
【解析】 A= {x | −2 < x < 4} ，=B {x | m − 2 ≤ x ≤ m + 2} ，
（1）若 m = 3 ，则 B= {x |1 ≤ x ≤ 5}，∴= U B {x | x < 1 或 x > 5} ，
∴ A U B= {x | −2 < x < 1} ．
（2）若
A
B
=
B
∵图象过点 (2, 2) ，∴ f (2=) 2=α
2
，解得 α
=
1 2
，∴
f
(x)
=
1
x2
，
1
令函数 g(x) = f (x) − 3 = x2 − 3 = 0 ，得 x = 9 ．
∴函数 g= (x) f (x) − 3 的零点是 9 ．
8．【答案】B
【解析】∵ a > 1，∴函数= f (x) loga (x + 2) 在定义域内单调递增，
10．已知角α 是第三象限角， cos(α − 3π ) = 1 ，求 25
sin(α − π ) cos(3π + α ) tan(π −α ) f (α ) = 2 2 ________ ．