2020届高三精准培优专练二 匀变速直线运动及其公式(教师版)

1．本专题在高考中主要考点有：匀变速直线运动公式的灵活运用；自由落体运动和竖直上抛运动；匀变速直线运动规律在生活中的应用。

题型主要以选择题为主，但也会与其他知识点结合在大题中考查多过程运动问题。

2．方法技巧：
(1)匀变速直线运动的基本公式(v－t关系、x－t关系、x－v关系)原则上可以解决任何匀变速直线运动问题；
(2)已知某段时间内的位移、初末速度可求平均速度，应用平均速度公式往往会使解题过程变的非常简捷。

典例1.( 2019全国I卷∙18)如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。

上升第一个
4
H所用的时间为t1，第四个
4
H所用的时间为t2。

不计空气阻力，则2
1
t
t
满足()
A．1＜
2
1
t
t＜2 B．2＜
2
1
t
t＜3
C．3＜
2
1
t
t＜4 D．4＜
2
1
t
t＜5
【解析】运动员起跳到达最高点的瞬间速度为零，又不计空气阻力，故可逆向处理为自由落体运动。

则根据初速度为零匀加速运动，相等相邻位移时间关系：t1∶t2∶t3∶…∶t n＝1∶(2－1)∶(3－2)∶(2－3)∶…∶(n－n－1)，可知
2
1
2
t
t
==
，即3＜
2
1
t
t＜4，故选C。

【答案】C
典例2.(2019全国II卷∙25)一质量为m＝2000 kg的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。

行驶过程中，司机忽然发现前方100 m处有一警示牌，立即刹车。

刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间变化可简化为图（a）中的图线。

图（a）中，0～t1时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间（这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶），t1＝0.8 s；t1～t2时间段为刹车系统的启动时间，t2＝1.3 s；从t2时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止。

已知从t2时刻开始，汽车第1 s内的位移为24 m，第4 s 内的位移为1 m。

二、考题再现
一、考点分析
培优点二匀变速直线运动及其公式
(1)在图（b ）中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的v －t 图线； (2)求t 2时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；
(3)求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及t 1～t 2时间内汽车克服阻力做的功；司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少？（以t 1～t 2时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度）
【解析】(1)v －t 图像如图所示。

(2)设刹车前汽车匀速行驶时的速度大小为v 1，则t 1时刻的速度也为v 1，t 2时刻的速度也为v 2，在t 2时刻后汽车做匀减速运动，设其加速度大小为a ，取Δt ＝1 s ，设汽车在t 2＋(n －1)Δt 内的位移为s n ，n ＝1，2，3，…。

若汽车在t 2＋3Δt ～t 2＋4Δt 时间内未停止，设它在t 2＋3Δt 时刻的速度为v 3，在t 2＋4Δt 时刻的速度为v 4，由运动学有： s 1－s 4＝3a (Δt )2 ① s 1＝v 2Δt －1
2a (Δt )2 ②
v 4＝v 2－4a Δt ③
联立①②③式，代入已知数据解得
417
6v =-
m/s ④
这说明在t 2＋4Δt 时刻前，汽车已经停止。

因此，①式不成立。

由于在t 2＋3Δt ～t 2＋4Δt 内汽车停止，由运动学公式 v 3＝v 2－3a Δt ⑤
2
43
2as v = ⑥
联立②⑤⑥，代入已知数据解得a ＝8 m/s 2，v 2＝28 m/s ⑦
或者
288
25a =
m/s 2，v 2＝29.76 m/s ⑧
但在⑧式情形下，v 3＜0不合题意，舍去。

(3)设汽车的刹车系统稳定工作时，汽车所受阻力的大小为f 1，由牛顿定律有：f 1＝ma ⑨
在t 1～t 2时间内，阻力对汽车冲量的大小为：1211
()2I f t t =
- ⑩
由动量定理有：I ＝mv 1－mv 2
由动量定理，在t 1～t 2时间内，汽车克服阻力做的功为：22
121122W mv mv =
-
联立⑦⑨⑩
式，代入已知数据解得：v
1＝30 m/s
W ＝1.16×105 J
从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离s 约为：2
21112211
()()22v s v t v v t t a =++-+
联立⑦，代入已知数据解得：s ＝87.5 m
【答案】见解析
1．图中ae 为珠港澳大桥上四段110 m 的等跨钢箱连续梁桥，若汽车从a 点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab 段的时间为t ，则通过ce 段的时间为( ) A ．t B ．2t C ．(2－2)t D ．(2＋2)t 【答案】C
【解析】设汽车的加速度为a ，经历bc 段、ce 段的时间分别为t 1、t 2，根据匀变速直线运动的位移时间公式有：x ab ＝12at 2，x ac ＝12a (t ＋t 1)2，x ac ＝1
2
a (t ＋t 1＋ t 2)2，解得：t 2＝(2－2)t ，故C 正确。

2．如图所示，在水平面上固定一点光源，在点光源和右侧墙壁的正中间有一小球自水平面以初速度v 0竖直上抛，已知重力加速度为g ，不计空气阻力，则在小球竖直向上运动的过程中，关于小球的影子在竖直墙壁上的运动情况，下列说法正确的是( )
A ．影子做初速度为v 0，加速度为g 的匀减速直线运动
B ．影子做初速度为2v 0，加速度为2g 的匀减速直线运动
C ．影子做初速度为2v 0，加速度为g 的匀减速直线运动
D ．影子做初速度为v 0，加速度为2g 的匀减速直线运动 【答案】B
【解析】设经过时间t ，则小球的竖直位移：
，由几何关系可知，影子的位移：
，
则影子做初速度为2v 0，加速度为2g 的匀减速直线运动，故选B 。

三、对点速练
3．某同学将一足球竖直砸向水平地面，足球以5 m/s 的速度被地面反向弹回，当足球上升到最高点后落回地面，以后足球每次与地面碰撞被弹回时速度均为碰撞前速度的3
4。

不计足球与地面碰撞的时间和空气阻力，
取g ＝10 m/s 2，则足球从第一次被弹回到最后停止运动的总时间为( ) A ．8 s B ．4 s C ．2 s D ．1.5 s 【答案】B
【解析】足球第一次被弹回的速度 v 1＝5m/s ，第一次在空中竖直上抛运动的总时间；足球第二次被弹回的速度 v 2＝3
4v 1，第二次在空中竖直上抛运动的总时间
2223
4v t s g =
=；足球第三次被弹
回的速度 v 3＝34v 2＝（3
4
）2v 1，第三次在空中竖直上抛运动的总时间
33223()4v t s g =
=……则足球从第一次被
弹回到最后停运动的总时间为 t ＝t 1＋t 2＋…＝1
13/4t
-＝4s ，故选B 。

4．(多选)如图所示，处于平直轨道上的甲、乙两物体相距s ，同时同向开始运动，甲以初速度v 1、加速度a 1做匀加速运动，乙由静止开始以加速度a 2做匀加速运动，下述情况可能发生的是(假设甲能从乙旁边通过且互不影响)( ) A ．a 1＝a 2，能相遇一次 B ．a 1＞a 2，能相遇两次 C ．a 1＜a 2，可能相遇一次 D ．a 1＜a 2，可能相遇两次 【答案】ACD
【解析】画出满足题给条件的v －t 图象，如图所示，图甲对应a 1＝a 2的情况，两物体仅在t ＝t 1时相遇一次（图中阴影部分面积为s ）；图乙对应a 1＞a 2的情况，两物体仅在t ＝t 2时相遇一次（图中阴影部分面
积为s ）；图丙对应a 1＜a 2的情况，若阴影部分面积等于s ，则相遇一次；若阴影部分面积小于s ，则A 、B 不可能相遇；若阴影部分面积大于s ，则可能相遇两次，如图丁所示。

故选ACD 。

5．一根轻质细线将2个薄铁垫圈A 、B 连接起来，一同学用手固定B ，此时A 、B 间距为3L ，距地面为L ，如图所示，由静止释放A 、B ，不计空气阻力，且A 、B 落地后均不再弹起。

从释放开始到A 落地历时t 1，A 落地前瞬间速率为v 1，从A 落地到B 落在A 上历时t 2，B 落在A 上前瞬间速率为v 2，则( )
11225
110
v t s s g ⨯=
=
=
∶t2＝2∶1
A．t
B．两垫圈加速度不确定，时间无法比较
C．v1∶v2＝1∶2
D．两垫圈作为整体，同时落地
【答案】C
【解析】由静止释放A、B，AB都做自由落体运动，A运动的位移为L，B运动的位移为4L，根据
可知，A落地的时间为，B落地的时间为：所以有：t2＝t－t1＝，所以有：t1＝t2，故A、B错误；A落地前瞬间速率为：B落地前瞬间速率为：，所以v1：v2＝1：2，故C正确；因A落地时B还没有落地，故不可能同时落地，故D错误。

6．如图所示，在水平线OO′某竖直平面内，距地面高度为h，一条长为L(L＜h)的轻绳两端分别系小球A和B，小球A在水平线OO′上，竖直向上的外力作用在A上，A和B都处于静止状态。

现从OO′上另一点静止释放小球1，当小球1下落至与小球B等高位置时，从OO′上静止释放小球A和小球2，小球2在小球1的正上方。

则下列说法正确的是()
A．小球1将与小球B同时落地
B．在小球B下落过程中，轻绳对B的拉力竖直向上
C．h越大，小球A与小球B的落地时间差越大
D．在小球1落地前，小球1与2之间的距离随时间的增大而增大
【答案】D
【解析】设小球1下落到与B等高的位置时的速度为v，设小球1还需要经过时间t1落地，则：
①，设B运动的时间为t2，则：②，比较①②可知，t1＜t2，故A错误；小球A与B都做自由落体运动，所以二者之间的轻绳没有作用力，故B错误；设A运动时间为t3，则
③；可得：，可知l是一个定值时，h越大，则小球A与小球B的落地时间差越小，故C错误；1与2两球的距离：，可见两球间的距离随时间的推移，越来越大，故D正确。

7．(多选)矿井中的升降机以5 m/s的速度竖直向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，经过3 s升降机底板上升至井口，此时松脱的螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，下列说法
6
正确的是( )
A ．螺钉松脱后做自由落体运动
B ．矿井的深度为45 m
C ．螺钉落到井底时的速度大小为25 m/s
D ．螺钉随升降机从井底出发到落回井底共用时6 s 【答案】BC
【解析】螺钉松脱时具有有升降机相同的向上的初速度，故螺钉脱落后做竖直上抛运动，A 项错误；由运动学公式可得，螺钉自脱落至井底的位移h 1＝－v 0t ＋1
2gt 2，升降机这段时间的位移h 2＝v 0t ，故矿井的深度
为h ＝h 1＋h 2＝45m ，B 项正确；螺钉落到井底时点速度大小为v ＝－v 0＋gt ＝25m/s ，C 项正确；螺钉松脱前运动的时间为h 1＝v 0t ʹ，解得tʹ＝6s ，所以螺钉运动的总时间为t ＋tʹ＝9s ，D 项错误。

8．甲、乙两辆汽车在同一直轨道上向右匀速行驶，甲车的速度v 1＝16 m/s ，乙车的速度为v 2＝12 m/s ，乙在甲前面L ＝6 m 时，两车同时开始刹车，从此时开始计时，甲车以a 1＝2 m/s 2的加速度刹车，6 s 后立即改做匀速运动，乙车刹车的加速度为a 2＝1 m/s 2。

从两车刹车开始计时，下列关于甲车第一次追上乙车的时间t 1、两车相遇的次数n 、两车速度相等时的时间t 2的说法正确的是( )
A ．3 s 、3次、8 s
B ．3 s 、2次、6 s
C ．2 s 、3次、8 s
D ．2 s 、2次、6 s 【答案】C
【解析】设刹车后经过t 时间两车速度相等，有：v 1−a 1t ＝v 2−a 2t ，解得：t ＝4s ，6s 后甲车匀速，速度v ＝16−2×6m/s ＝4m/s ，再次相等有：v ＝v 2−a 2t′，解得：t′＝8s ；在甲减速时，设经时间t 相遇，甲和乙的位移分别为x 1、x 2，则有：x 1＝v 1t−
，x 2＝v 2t−
，x 1－x 2＝L ，得：t 1＝2s ，t 2＝6s ；甲车减速时间恰好为6s ，即在
甲车减速阶段，相遇两次，第一次t 1＝2s ，第二次t 2＝6s ，此时甲车的速度为：v′1＝v 1−a 1t 2＝4m/s ，乙车的速度为：v′2＝v 2−a 2t 2＝6m/s ，设再经△t 甲追上乙，有：v′1△t ＝v′2△t−
，代入数据解得：△t ＝4s ，此
时乙仍在做减速运动，此解成立，所以甲、乙两车第3次相遇，相遇时刻为t 3＝t 2＋△t ＝10s ，故C 正确。

9．如图所示，左图为大型游乐设施跳楼机，右图为其结构简图。

跳楼机由静止从a 自由下落到b ，再从b 开始以恒力制动竖直下落到c 停下。

已知跳楼机和游客的总质量为m ，ab 高度差为2h ，bc 高度差为h ，重力加速度为g 。

则( )
A ．从a 到b 与从b 到c 的运动时间之比为2∶1
B ．从a 到b ，跳楼机座椅对游客的作用力与游客的重力大小相等
C ．从a 到b ，跳楼机和游客总重力的冲量大小为m 2gh
D ．从b 到c ，跳楼机受到制动力的大小等于2mg
【答案】A
【解析】由题意可知，跳楼机从a 运动b 过程中做自由落体运动，由2
1
122h gt =
可得，下落时间
1t =
由
222b v g h
=⋅可知，运动到b 的速度大小为
b v ==b 运动
c 过程中做减速运动，同
理可得22212b h v t at =-，22b v ah =，解得减速过程的加速度大小为a ＝2g ，时间为
2t =，故从a 到b 与
从b 到c 的运动时间之比为
12:2:1t t =，故A 正确；从a 到b ，跳楼机做自由落体运动，故跳
楼机座椅对游客的作用力为零，故B 错误；从a 到b ，根据动量定理可得
2G b I mv ==
游客总重力的冲量大小为2C 错误；从b 到c ，根据牛顿第二定律有：2F mg ma mg -==，解得跳楼机受到制动力的大小为3F mg =，故D 错误。

10．蓝牙是一种无线技术，可实现固定设备、移动设备和楼宇个人域网之间的短距
离数据交换，但设备间超过一定距离时便无法实现通讯。

某次实验中，在甲、乙两
小车上安装了某种蓝牙设备，该蓝牙设备正常通选的有效距离为10米。

两车只能沿一条直线运动，如图所示。

共完成了两组实验，每组实验两车的起始距离都为d 。

两组实验的相关数据如下。

第一组，乙车保持静止，甲车从O 点由静止出发，以a 1＝1 m/s 2的加速度向右做匀加速直线运动，发现3.10 s 后两车不能够再通讯。

第二组，乙车向左具有一定的初速度v 0，以a 2＝0.6 m/s 2的加速度做匀加速直线运动，而甲车仍做上述运动，发现1 s 后两车不能够再通讯。

请完成下列问题，要求所有问题的最终结果均保留两位有效数字。

(1)求甲、乙两车初始距离d ； (2)求乙车的初速度v 0的大小；
(3)若将乙车的初速度、加速度方向均变为向右，其他条件不变。

甲、乙两车蓝牙信号中断两次。

请计算这
两次蓝牙信号中断时刻之间的时间间隔。

2.50 5.57） 【答案】(1)5.2 m (2)4.0 m/s (3)16 s
【解析】(1)乙车保持静止，甲车从O 点由静止向右做匀加速直线运动，则有：
x 甲1＝1
2
a 1t 12
有题意可有：x 甲1＋d ＝s ＝10 m
联立解得甲、乙两车初始距离：d ＝5.195 m ≈5.2m
(2)乙车向左做匀加速直线运动，而甲车仍做上述运动，则有： x 甲2＝1
2a 1t 22
x 乙＝v 0t 2＋1
2
a 1t 22
有题意可有：x 甲2＋d ＋x 乙＝s ＝10 m
联立解得乙车的初速度：v 0＝4.005 m/s ≈4.0 m/s
(3)开始乙车追上甲车并超过甲车，后甲车又追上乙车并超过乙车，这两次蓝牙信号中断时刻之间的时间间隔会出现两次
设第一次蓝牙信号中断时的时间为t 3，则有：v 0t ＋12a 2t 2－d －1
2a 1t 2＝s ＝10 m
解得：t 3＝5.00 s
设第二次蓝牙信号中断时的时间为t 4，则有： 12a 1t 2＋d －(v 0t ＋1
2a 2t 2)＝s ＝10 m
解得：t 4＝21.14 s
这两次蓝牙信号中断时刻之间的时间间隔：Δt ＝t 4－t 3＝16.14 s ≈16 s 。